4.4.3 两平面垂直的判定与性质（教案）-高教版第三版《数学 拓展模块一（上册）》【上好课】

该教案聚焦立体几何中两平面垂直的判定与性质，课堂导入从教室墙面与地面垂直现象切入，联系二面角平面角和线面垂直知识，搭建前后知识脉络的学习支架。 此资料以情境探究和条件辨析为特色，通过镜框安装等实际情境培养直观想象，用定理条件核对训练逻辑推理，讲练结合助学生掌握垂直关系转化，提升规范推理能力，为教师提供清晰教学路径与实例支持。

高教版第三版《数学》拓展模块一（上册） 第4章 立体几何 4.4 平面与平面的位置关系——4.4.3 两平面垂直的判定与性质 授课班级 授课类型 新授课 授课教师 教学时长 1课时（45分钟） 教材分析 教材以二面角及其平面角、直线与平面垂直的判定和性质为基础，从教室墙面与地面的垂直现象提出检验问题，先借助平面角给出两平面垂直的定义，再由线面垂直推导面面垂直的判定定理，继而反向研究面面垂直对线面垂直的作用，并通过典型例题呈现线线、线面与面面垂直关系的转化。 本课承接二面角平面角与线面垂直知识，是学生完整建立平面间特殊位置关系的重要环节；判定定理和性质定理为棱锥、圆与平面等空间证明以及墙面安装等实际问题提供基本依据，也为第4章空间关系的综合应用奠定基础。 学情分析 学生已经能够识别二面角的平面角，并能运用线面垂直的判定和性质进行简单推理，但容易混淆面面垂直判定与性质的使用方向，也容易忽略性质定理中“直线在一个平面内且垂直于交线”的完整条件。教学中应借助图形标注、条件逐项核对和证明链书写，促进学生由直观判断过渡到规范推理。 教学目标 1．理解两平面垂直的定义，掌握两平面垂直的判定定理和性质定理。 2．能依据图形条件选择判定或性质定理，在线线垂直、线面垂直和面面垂直之间进行转化并完成规范证明。 3．通过观察空间情境、辨析定理条件和说明推理依据，发展直观想象与逻辑推理素养，形成逐项核对条件的习惯。 教学重难点 教学重点：用线面垂直判定面面垂直；用面面垂直的性质推出线面垂直。 教学难点：应用性质定理时确保直线位于一个平面内且垂直于两平面的交线；根据题设正确组织垂直关系的转化链。 教学方法 情境探究法、直观演示法、条件辨析法、讲练结合法。 课前准备 教师准备：教材、演示课件。 学生准备：教材、笔记本。 教学环节设计 教学环节 教学内容 设计意图 教学导入 教师请学生观察教室的墙面与地面，提出问题：怎样检验墙面和地面确实互相垂直？学生联系二面角的平面角，提出作出平面角并测量是否为直角。 当两个平面所成的角是时，称这两个平面互相垂直。此时两个平面相交形成的四个二面角都是。平面与平面垂直，记作。 教师追问：除了测量二面角的平面角，能否利用已经掌握的直线与平面垂直关系作出判定？由此进入新知学习。 从教室墙面与地面的垂直现象引出检验问题，激活二面角和线面垂直知识并形成探究需要。 新知讲授 一、两平面垂直的判定 如图4-95所示，直线，垂足为，且。设，在平面内过点作。 由可知，，所以是二面角的平面角且为直角，从而。 两个平面垂直的判定定理 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。 教师强调：先证明一条直线垂直于一个平面，再确认该直线在另一个平面内，即可判定两个平面垂直。 例6 如图4-96所示，已知∠ACB=90°，P是平面ABC外一点，且PA⊥平面ABC，求证：平面PAC⊥平面PBC。 证明 因为，所以。因为，，所以。又因为，所以。因为，所以。 基础练习1 判断：如果一个平面内有一条直线垂直于另一个平面，那么这两个平面互相垂直。 【答案】正确。 【解析】该直线是另一个平面的垂线，而第一个平面经过这条垂线，满足两平面垂直的判定定理。 基础练习2 已知直线，且，判断平面与平面的位置关系。 【答案】。 【解析】平面α经过平面β的一条垂线l，依据判定定理可得两平面垂直。 二、两平面垂直的性质 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。 已知，，，，垂足为，如图4-97所示。求证：。 证明 在平面内过点作。由可知是二面角的平面角。因为，所以，即。则与平面内两条相交直线、都垂直，故。 教师强调性质定理的三个条件：两个平面垂直；直线在其中一个平面内；直线垂直于两平面的交线。 例7 已知α⊥β，点A∈α，且AB⊥β，垂足为B，求证：AB⊆α。 证明 设，假设。在平面内经过点作，垂足为。因为，所以。又因为，所以，这与、相交矛盾，故。 基础练习3 已知，，直线且，写出直线与平面的关系。 【答案】。 【解析】直线在平面α内且垂直于两平面的交线l，满足两平面垂直的性质定理。 知识检测 比较两平面垂直判定定理与性质定理的推理方向。 【答案】判定定理由线面垂直推出面面垂直；性质定理由面面垂直结合直线垂直于交线推出线面垂直。 【解析】使用时应先识别已知关系和目标关系，再逐项核对相应定理的条件。 按线面垂直与面面垂直的双向转化展开，通过例题和即时练习突出两个定理的条件与使用方向。 课堂背诵 1．补全：如果一个平面经过另一个平面的一条________，那么这两个平面互相垂直。 【答案】垂线。 2．补全：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于________的直线垂直于另一个平面。 【答案】交线。 3．说出使用两平面垂直性质定理时必须核对的三个条件。 【答案】两个平面互相垂直；直线在其中一个平面内；直线垂直于两个平面的交线。 用补全和条件复述提取两条定理的关键词，检查学生能否准确记住并完整说出适用条件。 师生互动 任务：在墙上挂一个矩形镜框，为使镜框下沿与地面平行，可拿两根等长木棍紧靠墙壁放在地上，让木棍与墙角线垂直，再把镜框下沿放到木棍上。小组说明这一方法依据的数学原理。 【答案】墙面与地面垂直，木棍位于地面内并垂直于墙面与地面的交线，所以木棍垂直于墙面；两根等长木棍把镜框下沿支撑在同一高度，镜框下沿与地面平行。 【解析】教师引导学生先用两平面垂直的性质说明木棍垂直于墙面，再结合等长支撑和矩形镜框的结构说明镜框下沿保持水平。 把性质定理用于镜框安装情境，引导学生逐项匹配空间关系，在交流中形成完整的应用说明。 课堂练习 1．判断：如果，，那么。 【答案】正确。 【解析】平面α经过平面β的垂线，满足两平面垂直的判定定理。 2．判断：如果，，且，那么。 【答案】错误。 【解析】仅有两个平面内各一条直线互相垂直，不能保证其中一条直线垂直于另一个平面。 3．判断：如果，，那么。 【答案】错误。 【解析】还必须保证直线垂直于平面α与平面β的交线。 4．判断：如果，，，那么。 【答案】错误。 【解析】还必须说明直线位于平面α内；缺少所在平面条件，不能使用性质定理。 5．已知AB为一个圆的直径，点C为圆上不同于A、B的点，PA垂直于圆所在的平面，如图4-99所示，求证：平面PAC⊥平面PBC。 【答案】平面PAC⊥平面PBC。 【解析】因为，所以；因为，所以。又，故。由于，所以。 用条件辨析和教材证明题形成练习梯度，检测学生对判定、性质及垂直关系转化的掌握。 课堂小结 教师请学生回答：两平面垂直怎样定义？判定两平面垂直可抓住哪条直线？已知两平面垂直后，怎样得到线面垂直？ 【答案】两个平面所成的角为直角时，两平面互相垂直；判定时在一个平面内找到另一个平面的垂线；应用性质时，在一个平面内找到垂直于两平面交线的直线，即可推出它垂直于另一个平面。 教师归纳：判定定理由线面垂直推出面面垂直，性质定理由面面垂直推出线面垂直。解题时先明确目标关系，再按定理逐项写清直线所在平面、垂直对象和交线。 通过学生回顾和教师归纳整理面面垂直的双向转化路径，形成便于迁移使用的条件清单。 作业布置 1．复习本节课的知识点； 2．完成课后练习； 3．整理笔记和易错题。 教学反思 课堂实施中需要进一步优化定义、判定定理和性质定理之间的衔接，避免学生只依据图形直观判断垂直，而忽略直线所在平面及交线条件。对基础较弱的学生，可增加在图中圈画交线、标注垂线的口头训练；证明题应留出时间让学生独立写出条件链，再通过展示比较纠正对象不清和推理跳步。镜框情境能增强应用意识，后续可在活动后及时抽象数学关系，使生活经验更顺畅地转化为规范证明。 学科网（北京）股份有限公司 $