4.4.2 两平面所成的角（课件）-高教版第三版《数学 拓展模块一（上册）》【上好课】

**基本信息** 以“概念理解-情境应用-综合辨析”分层，通过正方体、折叠、工程情境递进，强化直观想象与逻辑推理，实现从定义到实际应用的知识巩固。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础概念层|两平面所成角的定义、取值范围|选择题（如练习四、五）直接考查概念辨析，夯实基础认知| |情境应用层|平面角构造、证明及计算|解答题（折叠、长方体问题）结合空间模型，培养逻辑推理与转化能力| |综合辨析层|二面角与两平面所成角的区别|对比辨析题（例5及师生互动）深化概念理解，提升数学思维严谨性|

高教版第三版《数学》 拓展模块一（上册） 第4章 立体几何 4.4.2 两平面所成的角 学习目标 1．理解两个相交平面所成的角的定义、取值范围及与二面角的区别。 2．能在正方体、折叠和工程情境中构造并证明平面角，利用直角三角形求两平面所成的角。 3．通过空间图形观察、条件辨析和规范推理，提升直观想象与逻辑推理素养。 两个相交平面怎样确定一个角？ 回顾二面角定义，观察墙面与地面、折叠纸板：两个相交平面会形成几个二面角？应该选哪一个角表示两平面所成的角？ 两平面所成的角 【答案】在两个相交平面形成的四个二面角中，至少有一个不大于，这个二面角称为两个相交平面所成的角。 两平面所成的角范围是[0,]。 由此，我们得到了两个相交平面所成的角的定义 概念辨析 二面角与两平面所成的角 二面角是由两个半平面和公共棱构成的空间图形； 两平面所成的角取其中不大于直角的二面角，二者概念相关但取值约定不同。 例5：正方体中找出平面角 例5：在正方体中，求平面AB₁C₁D与平面ABCD所成的角。 例5：正方体中找出平面角 解：且，所以AD⊥平面AA₁B₁B；AB₁在该平面内，故。 因此∠B₁AB是二面角的平面角。 AB₁是正方形AA₁B₁B的对角线，所以。 因此两平面所成的角为 找角—证明—计算：通用流程 求两平面所成的角的通用流程： ①找公共棱；②在两个面内作垂直于棱的射线；③证明构成平面角；④用平面三角形计算。 课堂背诵：定义与流程 两个相交平面形成四个二面角时，应该用哪一个角表示两平面所成的角？ 答案：选取不大于的二面角。 解析：两平面所成的角范围是[0,]。 不同问题中的两平面夹角 折叠模型中，折痕是公共棱；在垂直于折痕的截面内作图，可把空间夹角转化为平面角。 长方体问题中，先作垂直于棱的截面，再在截面直角三角形中计算平面角。 工程情景下，大坝斜坡面与水平面形成两平面夹角；竖直截面给出直角三角形，斜坡长度是待求斜边。 课堂练习（一）：折叠问题 1．已知等腰三角形ABC的腰长为5 cm，底边长为8 cm，沿底边上的高AD对折，折后cm，求二面角的大小。 答案：。 解析：折叠后以AD为棱构成二面角，在垂直于AD的截面中由直角三角形确定平面角。 课堂练习（二）：长方体问题 2．在长方体中，，，求二面角的大小。 答案： 解析：先证明截面内两条交线分别垂直于CD，再把二面角转化为平面角。 课堂练习（三）：大坝长度计算 3．水库大坝斜坡面与水平面成45°角，坝高185 m，求斜坡面坝顶到坝底的长度。 答案：185m。 解析：斜坡面与水平面的夹角为45°，竖直截面构成等腰直角三角形，斜边为185m。 课堂练习：三题方法复盘 三类题目共同方法：识别两平面→确定公共棱或截面→构造平面角→用直角三角形求长度或角度。 师生互动：例5的平面角条件 观察例5正方体图形，小组讨论：为什么∠B₁AB是二面角的平面角？为什么它等于两平面AB₁C₁D与ABCD所成的角？ 答案：AD垂直于平面AA₁B₁B，且AB₁在该平面内，所以；∠B₁AB满足顶点在棱上、两边分别在两个面内并垂直于棱的条件。 解析：按“顶点—所在面—垂直棱”逐项核对，再用正方形对角线求角。 易错辨析 易错点：把任意二面角当作两平面夹角；只指出垂直却未说明顶点和所在面；忽略角度范围不大于。 课堂练习（四） 若二面角的平面角为60∘，则该二面角大小为（　　） A．30∘ B．45∘ C．90∘ D．60∘ 课堂练习（五） 课堂小结 回顾两个相交平面所成的角的定义、取值范围和计算流程。 【答案】取四个二面角中不大于的一个作为两平面所成的角；计算时先构造并证明平面角，再转化为平面三角形求解。 作业布置 1．复习本节课的知识点； 2．完成课后练习； 3．整理笔记和易错题。 【答案】D 【详解】已知二面角的平面角为，该二面角大小等于其平面角的大小，所以该二面角大小为. 故选：D. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 【答案】D 【解析】根据两个相交平面所成的角的概念即可解得. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 两个相交平面所成的角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） $