4.4.2 两平面所成的角（教案）-高教版第三版《数学 拓展模块一（上册）》【上好课】

该中职数学教案聚焦“两平面所成的角”，通过回顾二面角平面角，结合教室墙面与地面、折叠纸板模型提问，引导学生发现需选取不大于直角的二面角，承接线面垂直等知识，搭建学习支架。 特色在于情境探究与模型演示结合，以“找角—证明—计算”流程贯穿，通过正方体、折叠及工程情境例题，提升直观想象与逻辑推理素养，帮助学生形成解题框架，为教师提供清晰教学路径，高效突破重难点。

高教版第三版《数学》拓展模块一（上册） 第4章 立体几何 4.4 平面与平面的位置关系——4.4.2 两平面所成的角 授课班级 授课类型 新授课 授课教师 教学时长 1课时（45分钟） 教材分析 教材在二面角及其平面角的基础上，先通过探究明确两个相交平面所成的角，再用正方体例题展示从空间角到平面角、从垂直关系到平面三角形计算的转化过程，最后安排折叠、长方体和工程情境练习形成应用链条。 本课承接二面角平面角、线面垂直与射影知识，建立两平面夹角取不大于直角的规范定义和计算方法，为后续两平面垂直及立体几何综合应用奠定基础。 学情分析 学生已能识别二面角并作出平面角，但容易把二面角的取值范围与相交平面夹角混淆，也可能在正方体、折叠图形中找错棱或漏证垂直关系。教学中需用“找角—证明—计算”流程逐步固定方法。 教学目标 1．理解两个相交平面所成的角的定义、取值范围及与二面角的区别。 2．能在正方体、折叠和工程情境中构造并证明平面角，利用直角三角形求两平面所成的角。 3．通过空间图形观察、条件辨析和规范推理，提升直观想象与逻辑推理素养。 教学重难点 教学重点：两平面所成的角的定义、取值范围和计算流程。 教学难点：准确选取不大于90°的二面角平面角，并完成垂直关系证明与三角计算。 教学方法 情境探究法、模型演示法、对比辨析法、讲练结合法。 课前准备 教师准备：教材、演示课件。 学生准备：教材、笔记本。 教学环节设计 教学环节 教学内容 设计意图 教学导入 回顾二面角平面角，提出问题：两个相交平面形成四个二面角时，应该用哪一个角表示两平面所成的角？ 观察教室墙面与地面、折叠纸板等模型，发现需要选取不大于直角的二面角。 从熟悉的开合现象提取两个平面的角度特征，激活角的经验并形成学习二面角的认知需要。 新知讲授 一、两个相交平面所成的角 在两个相交平面形成的四个二面角中，至少有一个不大于，这个二面角称为两个相交平面所成的角。两个相交平面所成的角的范围是[0,]。 二、例5：正方体中求两平面所成的角 例5 如图所示，在正方体₁B₁C₁D₁中，求平面AB₁C₁D与平面ABCD所成的角。 解：利用正方体各面为正方形，得AD⊥AA₁且AD⊥AB，所以AD⊥平面AA₁B₁B；又AB₁⊆平面AA₁B₁B，故AD⊥AB₁，从而∠B₁AB是二面角B₁-的一个平面角。 因为AB₁是正方形AA₁B₁B的对角线，所以；因此平面AB₁C₁D与平面ABCD所成的角为。 三、应用：折叠、长方体与工程情境中的两平面夹角 通过练习4—6，继续使用“找棱—作平面角—证明垂直—转化为平面三角形”的流程解决折叠、长方体和大坝坡面问题。 按定义、度量、特殊类型和作角方法展开，通过例题把空间垂直关系转化为平面角的识别与证明。 课堂背诵 1．补全：两个相交平面所成的角，是四个二面角中不大于直角的那个角。 【答案】不大于。 2．说出求两平面所成的角的基本流程。 【答案】找棱、作平面角、证明垂直、转化计算。 通过关键定义和流程复述，检查学生能否准确区分二面角与两平面夹角并记住计算路径。 师生互动 观察例5正方体图形，小组讨论：为什么∠B₁AB是二面角B₁-的平面角？为什么它等于两平面AB₁C₁D与ABCD所成的角？ 【答案】AD垂直于平面AA₁B₁B，且AB₁在该平面内，所以AD⊥AB₁；∠B₁AB满足顶点在棱上、两边分别在两个面内并垂直于棱的条件。 【解析】按“顶点—所在面—垂直棱”逐项核对，再用正方形对角线求角。 通过例5逐项核对构角条件，训练从空间垂直关系中识别平面角并进行规范说明。 课堂练习 1．已知等腰三角形ABC的腰长为5 cm，底边长为8 cm，沿底边上的高AD对折，折后 cm，求二面角的大小。 【答案】。 【解析】折叠后以AD为棱构成二面角，在垂直于AD的截面中由直角三角形确定平面角。 2．在长方体₁B₁C₁D₁中，，₁=1，求二面角B₁-的大小。 【答案】。 【解析】先证明截面内两条交线分别垂直于CD，再把二面角转化为平面角。 3．水库大坝斜坡面与水平面成45°角，坝高185 ，求斜坡面坝顶到坝底的长度。 【答案】185 。 【解析】斜坡面与水平面的夹角为45°，竖直截面构成等腰直角三角形，斜边为185 。 4. 若二面角的平面角为60°，则该二面角大小为（　　） 【答案】D 【详解】已知二面角的平面角为，该二面角大小等于其平面角的大小，所以该二面角大小为. 故选：D. 5. 两个相交平面所成的角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据两个相交平面所成的角的概念即可解得. 用找角、比较和判断组成练习梯度，检测学生对二面角平面角定义、取值范围和作法的掌握。 课堂小结 回顾两个相交平面所成的角的定义、取值范围和计算流程。 【答案】取四个二面角中不大于的一个作为两平面所成的角；计算时先构造并证明平面角，再转化为平面三角形求解。 整理定义、范围和计算步骤，形成可迁移到正方体、折叠及工程问题的解题框架。 作业布置 1．复习本节课的知识点； 2．完成课后练习； 3．整理笔记和易错题。 教学反思 课堂实施中应进一步加强二面角与两平面夹角的对比，利用折叠模型和正方体剖面让学生先找棱、再定平面角，避免只凭图形直观认角。例5证明环节可安排学生独立写出两条垂直依据后再交流，练习中分层处理折叠、长方体和工程情境，及时纠正角的范围、单位和根式表达错误，并根据学生反馈优化“找角—证明—计算”三步衔接。 学科网（北京）股份有限公司 $