4.4.2 二面角及其平面角（课件）-高教版第三版《数学 拓展模块一（上册）》【上好课】

该中职数学课件聚焦二面角及其平面角，通过笔记本开合实例导入，从半平面概念过渡到二面角的定义、记法，再到平面角的构成条件和度量，构建从直观到抽象的学习支架。 其亮点在于以直观想象和逻辑推理为核心，通过辨析平面角三条件、小组讨论例题条件等环节，培养严谨表达习惯。采用基础练习与实例分析结合，学生能深化空间概念，教师可依托清晰结构提升教学效果。

高教版第三版《数学》 拓展模块一（上册） 第4章 立体几何 4.4.2 二面角及其平面角 学习目标 1．理解半平面、二面角、棱、面和二面角平面角的概念，掌握二面角的记法、特殊类型及取值范围。 2．能在空间图形中识别二面角及其平面角，能依据顶点、所在面和垂直关系作出或证明一个角是二面角的平面角。 3．通过观察开合模型、辨析作角条件和说明证明依据，发展直观想象与逻辑推理素养，形成严谨表达空间角的习惯。 怎样描述笔记本计算机的开合程度？ 观察笔记本计算机不同的开合程度：怎样描述键盘与显示屏所在平面相对位置的不同？ 答案：可以用角度描述。 解析：这里研究的是两个半平面组成图形的大小。 从半平面到二面角 平面内的一条直线把平面分成两部分，每一部分称为半平面。 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角。 这条直线称为二面角的棱，两个半平面称为二面角的面。 识别二面角的面与棱 先找共同的边界直线（棱），再确认从这条直线出发的两个半平面（面）。 二面角怎样记？ 棱为l，两个面为、： 二面角记为 用面内点和棱上两点表示： 二面角记为 基础练习：指出面和棱 基础练习1 指出教室中一个二面角的两个面和棱，并用文字说明。 答案：例如：地面与前墙组成一个二面角，地面和前墙所在的两个半平面是二面角的面，它们的交线是二面角的棱。 解析：识别二面角时先找两个半平面，再找它们共同的边界直线。 二面角的平面角 在棱l上任取一点O。 分别在两个面内作垂直于棱的射线OA、OB。 射线OA、OB所成的最小正角称为二面角的平面角。 用平面角度量二面角 ∠AOB的大小就是二面角的大小。 两个半平面重合：零角；构成一个面：平角。 二面角的取值范围是[0,]；平面角为直角时称为直二面角。 作平面角必须核对三个条件 ① 顶点在二面角的棱上 ② 两条射线分别在二面角的两个面内 ③ 两条射线都垂直于二面角的棱 基础练习：辨析平面角 基础练习2 判断：在二面角的两个面内各取一条相交直线，这两条直线所成的角一定是二面角的平面角。 答案：错误。 解析：还必须保证交点在棱上，并且两条直线分别在两个面内且都垂直于棱。 例3：由点到棱、面的距离求二面角 例3 已知二面角是锐角，其面内一点A到棱l的距离为2，到面的距离为1，求这个二面角的大小。 已知：，。 例3：证明∠ABC是平面角 过A作；作，连接BC。 且，所以；又，故。 ，所以；∠ABC是二面角的平面角。 例3：计算二面角的大小 △ACB是直角三角形，，。 sin∠。 ，所以二面角的大小是。 例4：用垂直于棱的平面作平面角 例4 求证：如果平面垂直于二面角的棱l，点O为垂足，且与两半平面的交线分别为OA、OB，那么∠AOB是的平面角。 例4：核对平面角的三个条件 ，，所以OA、OB分别位于两个面内。 ，所以，。 顶点O在棱l上，三个条件齐备，因此∠AOB是二面角的平面角。 基础练习：为什么两条交线都垂直于棱？ 基础练习3 作二面角的平面角时，为什么垂直于棱的平面与两个面的交线都垂直于棱？ 答案：因为棱垂直于这个平面，所以棱垂直于该平面内经过垂足的两条交线。 解析：利用直线与平面垂直的定义，把线面垂直转化为棱与平面内两条交线分别垂直。 课堂背诵：概念与作角条件 1．补全：从一条直线出发的两个________所组成的图形称为二面角。 答案：半平面。 2．说出二面角平面角的顶点、两边所在位置以及与棱的关系。 答案：顶点在二面角的棱上；两边分别在二面角的两个面内；两边都垂直于棱。 课堂背诵：取值范围与直二面角 3．说出二面角的取值范围，并说明什么是直二面角。 答案：二面角的取值范围是[0,]；平面角为直角的二面角称为直二面角。 例4图形中的条件从哪里来？ 任务：观察例4图形，小组讨论并依次说明：为什么OA、OB分别位于两个面内？为什么它们都垂直于棱l？据此如何判定∠AOB？ 答案：OA、OB分别是平面与二面角两个面的交线，所以分别位于两个面内；因为，所以l垂直于平面内经过垂足O的OA、OB；因此∠AOB是二面角的平面角。 课堂练习（一）：识别平面角与取值范围 1．已知二面角，，，，，垂足均为A，则二面角的一个平面角是________。 答案：∠CAD。 解析：点A在棱AB上，射线AC、AD分别在两个面内，且都垂直于棱AB，满足二面角平面角的定义。 3．判断：二面角的取值范围是[0,]。 答案：正确。 解析：二面角可以是零角和平角，其大小由平面角度量，取值范围为[0,]。 课堂练习（二）：正方体中的两个二面角 2．已知正方体，试找出二面角与二面角的一个平面角，并分析二者之间的大小关系。 答案：取棱BD的中点O，连接OA、OC、OA₁，则∠A₁OA是二面角的一个平面角，∠A₁OC是二面角的一个平面角；两角互为补角。 解析：在正方形ABCD中，；在正方体中可证，因此三个射线OA、OC、OA₁都经过棱上同一点O并垂直于BD。又OA与OC为反向射线，所以两个平面角互为补角。 课堂练习（三）：平面角条件辨析 4．判断：在正方体中，∠D₁AB₁是二面角的平面角。 答案：错误。 解析：二面角的棱是AA₁，平面角的顶点必须在棱AA₁上；∠D₁AB₁虽然顶点A在棱上，但两边AD₁、AB₁并不都垂直于AA₁。 5．判断：在二面角的两个面内各取一条直线，使两条直线相交，则相交直线所成的角是二面角的平面角。 答案：错误。 解析：两条直线还必须交于棱上一点，并分别垂直于二面角的棱。 课堂小结 教师请学生回答：什么是二面角？什么是二面角的平面角？作出或证明平面角时必须核对哪些条件？ 答案：从一条直线出发的两个半平面组成二面角；棱上同一点处，分别在两个面内作垂直于棱的射线，两射线所成的最小正角是二面角的平面角；必须核对顶点在棱上、两边分别在两个面内、两边都垂直于棱。 作业布置 1．复习本节课的知识点； 2．完成课后练习； 3．整理笔记和易错题。 $