4.4.2 二面角及其平面角（教案）-高教版第三版《数学 拓展模块一（上册）》【上好课】

该教案聚焦立体几何中“二面角及其平面角”核心知识点，通过笔记本计算机开合情境导入，联系生活经验激活认知。承接直线所成角、线面垂直知识，为后续相交平面角度关系学习搭建支架，梳理空间角概念体系。 特色在于融合情境探究与直观演示，利用GeoGebra动态演示二面角变化，结合实物模型辨析平面角“顶点在棱上、两边在面内且垂直于棱”三条件，发展直观想象与逻辑推理素养。讲练结合设计梯度练习，如正方体中找平面角、判断作角条件，助学生规范表达空间关系，提升教师教学效率与学生空间概念构建能力。

高教版第三版《数学》拓展模块一（上册） 第4章 立体几何 4.4 平面与平面的位置关系——4.4.2 二面角及其平面角 授课班级 授课类型 新授课 授课教师 教学时长 1课时（45分钟） 教材分析 教材以平面内直线分割平面和空间中直线垂直关系为基础，从笔记本计算机的开合情境引入半平面、二面角、棱和面的概念，继而用棱上同一点处分别垂直于棱的两条射线定义二面角的平面角，并通过零角、平角、直二面角和取值范围完善概念体系，再由例题呈现作出与证明平面角的基本方法。 本课承接直线所成的角、线面垂直与射影知识，重点建立二面角及其平面角的规范表述和作法，使学生能够识别、作出并证明一个角是二面角的平面角，为后续利用平面角研究相交平面的角度关系奠定基础。 学情分析 学生已经掌握空间直线的位置关系、线面垂直及直线与平面所成的角，能够从立体图形中识别垂直关系，但容易把二面角本身与它的平面角混淆，也可能忽略平面角顶点必须在棱上、两边必须分别在两个面内且都垂直于棱。教学中应结合实物开合、图形标注和条件辨析，帮助学生形成稳定的作角与证明步骤。 教学目标 1．理解半平面、二面角、棱、面和二面角平面角的概念，掌握二面角的记法、特殊类型及取值范围。 2．能在空间图形中识别二面角及其平面角，能依据顶点、所在面和垂直关系作出或证明一个角是二面角的平面角。 3．通过观察开合模型、辨析作角条件和说明证明依据，发展直观想象与逻辑推理素养，形成严谨表达空间角的习惯。 教学重难点 教学重点：二面角及其平面角的概念、记法、取值范围和基本作法。 教学难点：构造平面角时确保顶点在棱上，两边分别在两个面内且都垂直于棱；区分二面角与它的平面角。 教学方法 情境探究法、直观演示法、对比辨析法、讲练结合法。 课前准备 教师准备：教材、演示课件。 学生准备：教材、笔记本。 教学环节设计 教学环节 教学内容 设计意图 教学导入 教师展示笔记本计算机不同开合程度的教材图片，请学生观察键盘与显示屏所在平面的相对位置，并思考：怎样描述开合程度的不同？ 学生结合生活经验回答可以用角度描述。教师指出：这里研究的不是同一平面内两条射线形成的角，而是两个半平面组成图形的大小，由此进入二面角的学习。 从熟悉的开合现象提取两个平面的角度特征，激活角的经验并形成学习二面角的认知需要。 新知讲授 一、半平面与二面角 平面内的一条直线把这个平面分成两部分，其中的每一部分都称为半平面。从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的棱，这两个半平面称为二面角的面。 教师结合图4-88指出二面角的两个面和棱，说明不同摆放位置下的规范画法。 当二面角的棱为，两个面分别为、时，二面角记为；图4-88(4)所示的二面角也可记为。 基础练习1 指出教室中一个二面角的两个面和棱，并用文字说明。 【答案】例如：地面与前墙组成一个二面角，地面和前墙所在的两个半平面是二面角的面，它们的交线是二面角的棱。 【解析】识别二面角时先找两个半平面，再找它们共同的边界直线。 二、二面角的平面角 如图4-89所示，在二面角的棱上任取一点，分别在两个面内作垂直于棱的射线、。 射线、所成的最小正角称为这个二面角的平面角。 可以用二面角的平面角的大小度量二面角的大小。在图4-89中，平面角的大小就是二面角的大小。 规定，当二面角的两个半平面重合时，二面角为零角；当二面角的两个半平面构成一个面时，二面角为平角。于是，二面角的取值范围是。当二面角的平面角为直角时，称为直二面角。 教师归纳作平面角必须同时满足三个条件：顶点在棱上；两条射线分别在二面角的两个面内；两条射线都垂直于棱。 基础练习2 判断：在二面角的两个面内各取一条相交直线，这两条直线所成的角一定是二面角的平面角。 【答案】错误。 【解析】还必须保证交点在棱上，并且两条直线分别在两个面内且都垂直于棱。 三、作出并证明二面角的平面角 通过GeoGebra演示拖动滑动条改变二面角大小，观察平面角随之变化。教师引导学生确认平面角始终由棱上同一点处两条垂直于棱的射线构成。 例3 已知二面角α-l-β是锐角，其面α内一点A到棱l的距离为2，到面β的距离为1，求这个二面角的大小。 解 如图4-91所示，过点作，垂足为；再作，垂足为，连接。由题意可知，，。 因为，，所以。又因为，交于点，所以。又因为，所以，从而是二面角的一个平面角。 因为，，是直角三角形，所以。因此，二面角的大小是。 例4 求证：如果一个平面γ垂直于二面角α-l-β的棱l，点O为垂足，且与两半平面的交线分别为OA、OB，那么∠AOB是α-l-β的平面角。 证明 因为，，所以，。又因为，所以，。因此，是二面角的一个平面角。 教师归纳：当图中难以直接在两个面内分别作垂线时，可以作一个垂直于棱的平面，该平面与二面角两个面的交线构成二面角的平面角。 基础练习3 作二面角的平面角时，为什么垂直于棱的平面与两个面的交线都垂直于棱？ 【答案】因为棱垂直于这个平面，所以棱垂直于该平面内经过垂足的两条交线。 【解析】利用直线与平面垂直的定义，把线面垂直转化为棱与平面内两条交线分别垂直。 按定义、度量、特殊类型和作角方法展开，通过例题把空间垂直关系转化为平面角的识别与证明。 课堂背诵 1．补全：从一条直线出发的两个________所组成的图形称为二面角。 【答案】半平面。 2．说出二面角平面角的顶点、两边所在位置以及与棱的关系。 【答案】顶点在二面角的棱上；两边分别在二面角的两个面内；两边都垂直于棱。 3．说出二面角的取值范围，并说明什么是直二面角。 【答案】二面角的取值范围是；平面角为直角的二面角称为直二面角。 通过补全与条件复述提取概念关键词，检查学生能否准确记住平面角的三个构造条件。 师生互动 任务：观察例4图形，小组讨论并依次说明：为什么OA、OB分别位于两个面内？为什么它们都垂直于棱l？据此如何判定∠AOB？ 【答案】OA、OB分别是平面γ与二面角两个面的交线，所以分别位于两个面内；因为l⊥γ，所以l垂直于平面γ内经过垂足O的OA、OB；因此∠AOB是二面角-β的平面角。 【解析】教师引导学生按照“顶点在棱上—两边分别在两个面内—两边都垂直于棱”的顺序核对条件，并归纳利用垂直于棱的平面作平面角的方法。 组织学生逐项核对平面角条件，在交流和纠错中形成有依据、按顺序的空间角证明表达。 课堂练习 1．已知二面角，，，，，垂足均为，则二面角的一个平面角是________。 【答案】。 【解析】点A在棱AB上，射线AC、AD分别在两个面内，且都垂直于棱AB，满足二面角平面角的定义。 2．已知正方体₁B₁C₁D₁，试找出二面角A₁-与二面角A₁-的一个平面角，并分析二者之间的大小关系。 【答案】取棱BD的中点O，连接OA、OC、OA₁，则∠A₁OA是二面角A₁-的一个平面角，∠A₁OC是二面角A₁-的一个平面角；两角互为补角。 【解析】在正方形ABCD中，AC⊥BD；在正方体中可证A₁O⊥BD，因此三个射线OA、OC、OA₁都经过棱上同一点O并垂直于BD。又OA与OC为反向射线，所以两个平面角互为补角。 3．判断：二面角的取值范围是[0,π]。 【答案】正确。 【解析】二面角可以是零角和平角，其大小由平面角度量，取值范围为[0,π]。 4．判断：在正方体₁B₁C₁D₁中，∠D₁AB₁是二面角D₁-AA₁-B₁的平面角。 【答案】错误。 【解析】二面角D₁-AA₁-B₁的棱是AA₁，平面角的顶点必须在棱AA₁上；∠D₁AB₁虽然顶点A在棱上，但两边AD₁、AB₁并不都垂直于AA₁。 5．判断：在二面角的两个面内各取一条直线，使两条直线相交，则相交直线所成的角是二面角的平面角。 【答案】错误。 【解析】两条直线还必须交于棱上一点，并分别垂直于二面角的棱。 用找角、比较和判断组成练习梯度，检测学生对二面角平面角定义、取值范围和作法的掌握。 课堂小结 教师请学生回答：什么是二面角？什么是二面角的平面角？作出或证明平面角时必须核对哪些条件？ 【答案】从一条直线出发的两个半平面组成二面角；棱上同一点处，分别在两个面内作垂直于棱的射线，两射线所成的最小正角是二面角的平面角；必须核对顶点在棱上、两边分别在两个面内、两边都垂直于棱。 教师归纳：二面角是空间图形，平面角是度量二面角大小的平面角。基本作法是在棱上取点分别作垂线，或作一个垂直于棱的平面，利用它与两个面的交线得到平面角。 通过学生回顾和教师归纳整理概念、度量与作角方法，形成可用于识别和证明的条件清单。 作业布置 1．复习本节课的知识点； 2．完成课后练习； 3．整理笔记和易错题。 教学反思 课堂实施中需要进一步优化实物观察、概念表述与作角证明之间的衔接，避免学生只凭图形直观判断平面角，而忽略顶点、所在面和垂直于棱三个条件。对基础较弱的学生，可增加在图中逐项标注条件的练习；例3的空间关系转化应留出时间让学生独立说明依据。师生互动后还需及时比较直接作垂线与作垂直截面两种方法，使学生能根据图形条件选择更简洁的作法，并在书面表达中保持对象和符号一致。 学科网（北京）股份有限公司 $