4.4.1 两平面平行（教案）-高教版第三版《数学 拓展模块一（上册）》【上好课】

该中职数学教案聚焦“两平面平行的判定与性质”，通过观察教室空间抽象出平面相交与平行关系，承接线面平行、垂直知识，为棱柱等应用搭建学习支架，引导学生从公共点特征切入新知。 特色在于情境探究与直观演示结合，如工程水平仪检验地板情境让学生用判定定理分析，发展直观想象与逻辑推理素养，对比辨析强化“相交直线”等关键条件，助力学生形成严谨思维，为教师提供清晰教学环节与实例，提升课堂效率。

高教版第三版《数学》拓展模块一（上册） 第4章 立体几何 4.4 平面与平面的位置关系——4.4.1 两平面平行 授课班级 授课类型 新授课 授课教师 教学时长 1课时（45分钟） 教材分析 教材以平面的基本性质、空间直线的位置关系以及直线与平面平行和垂直为基础，先从教室的六个面抽象出两个平面相交与平行的位置关系，再借助两条相交直线确定一个平面，推导两个平面平行的判定定理，继而研究平行平面对直线和平面关系的影响，并通过典型例题呈现线线、线面、面面关系之间的转化。 本课承接直线与平面平行、垂直的判定和性质，是学生由线面关系进一步研究面面关系的重要环节，也为在棱柱、棱锥和工程情境中证明平面平行、处理平行截面问题奠定基础。 学情分析 学生已经认识空间中直线与直线、直线与平面的位置关系，并能运用线面平行和线面垂直的判定与性质进行简单推理。学习本课时，容易忽略判定定理中“两条相交直线”这一关键条件，也容易把两个平行平面内的任意两条直线误判为平行，需要结合图形观察、条件辨析和规范证明逐步纠正。 教学目标 1．理解两个平面相交、平行的概念和规范表示，掌握两个平面平行的判定定理与性质定理。 2．能依据定理条件判断两个平面的位置关系，能在线线平行、线面平行和面面平行之间进行转化并完成规范证明。 3．通过观察空间图形、辨析定理条件和说明推理依据，发展直观想象与逻辑推理素养，体会工程检验中严谨求证的重要性。 教学重难点 教学重点：两个平面平行的判定定理和性质定理，以及线线平行、线面平行与面面平行的转化。 教学难点：判定面面平行时正确选取同一平面内的两条相交直线；应用性质时明确两个平行平面与第三个平面的交线。 教学方法 情境探究法、直观演示法、对比辨析法、讲练结合法。 课前准备 教师准备：教材、演示课件。 学生准备：教材、笔记本。 教学环节设计 教学环节 教学内容 设计意图 教学导入 教师请学生观察教室的天花板、地面和相邻墙面，提出问题：两个平面之间有几种位置关系？学生根据公共点情况进行判断。 学生回答：天花板与地面没有公共点，相邻墙面有一条公共直线。教师归纳：两个平面之间的位置关系有相交和平行两种。 一般地，当两个平面有一条公共直线时，称两个平面相交；当两个平面没有公共点时，称两个平面平行。平面与平面相交于直线，记作；平面与平面平行，记作，此时。 本章中，如果两个平面重合，我们将其视作一个平面。画两个平面平行时，要使表示平面的两个平行四边形的对应边平行。 教师继续追问：教室的天花板和地面所在平面看起来平行，但平面可以无限延展，怎样用有限条件判断两个平面平行？由此进入新知学习。 从学生熟悉的教室空间提取公共点特征，完成位置分类，并形成寻找有限判定条件的认知需要。 新知讲授 一、两个平面平行的判定 教师引导学生思考：若一个平面内的所有直线都与另一个平面平行，当然可以说明两平面平行，但逐一检验所有直线无法实现。两条相交直线可以确定一个平面，因此尝试把“所有直线”缩减为两条相交直线。 如图4-80(1)所示，如果，，且，，，是否有呢？ 假设平面与不平行，设，则由可知；同理，。根据直线平行的传递性，得，这与矛盾，所以。 两个平面平行的判定定理 如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面互相平行。 教师强调三个条件：两条直线在同一个平面内；两条直线必须相交；两条直线都平行于另一个平面。缺少“相交”条件，结论不一定成立。 例1 证明：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面互相平行。 已知：，，，，，且，，如图4-81所示。 求证：。 证明 因为，，，所以。同理可证，。又因为，，，根据两个平面平行的判定定理可知。 基础练习1 判断：如果一个平面内有两条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。 【答案】错误。 【解析】还必须保证这两条直线相交；若两条直线平行，不能据此判定两个平面平行。 基础练习2 已知直线，，，，，则平面与平面的位置关系是什么？ 【答案】。 【解析】同一平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，满足两个平面平行的判定定理。 二、两个平面平行的性质 如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。也就是说，如果，，那么。 两个平面平行的性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么两条交线互相平行。 已知：，，，如图4-82所示。求证：。 证明 因为，，所以、共面。又因为，，，所以、没有公共点。因此，。 例2 证明：如果一条直线与两个平行平面中的一个平面垂直，那么它也与另一个平面垂直。 已知：，，如图4-83所示。求证：。 证明 过直线分别作平面、，设，，，。由，得，。 因为，所以，，则，。显然，与是平面内的相交直线，故。 基础练习3 已知，直线，则直线与平面的位置关系是什么？ 【答案】。 【解析】两个平面平行，其中一个平面内的直线与另一个平面没有公共点。 基础练习4 已知，平面与、的交线分别为、，则与的位置关系是什么？ 【答案】。 【解析】两个平行平面同时与第三个平面相交，两条交线互相平行。 知识检测 判定两个平面平行时，为什么不能只找到两条分别平行于另一个平面的平行直线？ 【答案】因为两条平行直线不能唯一控制所在平面与另一个平面的关系，判定定理要求两条直线相交。 【解析】相交条件保证两条直线能够确定一个平面，是由线面平行推出面面平行的关键。 沿着有限条件判定、线面关系转化和第三平面截线的顺序展开，突出相交条件与第三个平面的作用。 课堂背诵 1．补全：如果一个平面内的两条________直线都平行于另一个平面，那么这两个平面互相平行。 【答案】相交。 2．补全：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么两条________互相平行。 【答案】交线。 3．说出运用两个平面平行判定定理时必须逐项核对的三个条件。 【答案】两条直线在同一个平面内；两条直线相交；两条直线都平行于另一个平面。 用补全和条件复述提取核心定理，检查学生能否准确记住关键词并完整说出适用条件。 师生互动 任务：工程人员为检验所铺设的地板是否达到水平要求，将水平仪分两次交叉放置在地板上。如果气泡两次都在正中间，则说明地板与水平面平行。请分组说明其中的原理。 【答案】两次交叉放置确定地板所在平面内两条相交直线；气泡都在正中间说明这两条直线都与水平面平行，因此地板所在平面与水平面平行。 【解析】教师引导学生依次指出“同一平面内”“两条直线相交”“分别与水平面平行”三个条件，再依据两个平面平行的判定定理得出结论。归纳时强调工程检验必须交叉放置，不能只检验一个方向。 把判定定理用于真实工程检验，引导学生逐项匹配条件，在交流纠错中形成严谨的说明理由。 课堂练习 1．判断：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面平行。 【答案】正确。 【解析】这正是两个平面平行的定义。 2．判断：如果直线，直线，且，，那么。 【答案】错误。 【解析】还缺少两条直线相交这一条件。 3．判断：如果，直线，直线，那么。 【答案】错误。 【解析】两个平行平面内的两条直线可能平行，也可能异面；还需要第三个平面同时与两个平行平面相交，才能判断两条交线平行。 4．已知平面，平面分别与平面、相交于直线、。写出结论并说明依据。 【答案】。 【解析】两个平行平面同时和第三个平面相交，两条交线互相平行。 5．已知平面，三角形的边在平面内，、分别与平面相交于、两点，如图4-85所示。求证：。 【答案】。 【解析】因为平面，平面与平面、的交线分别为、，所以。由平行线分线段成比例，得。 用判断、条件补全和规范证明形成练习梯度，检测学生对判定条件、性质条件及推理依据的掌握。 课堂小结 教师请学生回答：本课研究了什么位置关系？判定两个平面平行要抓住什么条件？已知两个平面平行后可以推出哪些关系？ 【答案】两个平面有相交和平行两种位置关系；判定平行要在同一平面内找到两条相交直线，并证明它们都平行于另一个平面；两个平面平行可推出其中一个平面内的直线平行于另一个平面，也可推出它们被第三个平面所截的两条交线平行。 教师归纳：判定面面平行是由线面平行推向面面平行；运用面面平行的性质可以得到线面平行或线线平行。解题时应先写清对象所在的平面，再逐项核对定理条件。 通过学生回顾和教师归纳整理线线、线面、面面关系的转化路径，回应导入中的判定问题。 作业布置 1．复习本节课的知识点； 2．完成课后练习； 3．整理笔记和易错题。 教学反思 课堂实施中需要进一步优化判定定理推导与练习反馈的衔接，避免学生只记住结论而忽略“两条相交直线”这一关键条件。对基础较弱的学生，可增加从图形中指出直线所在平面和第三个平面的口头训练；对证明题，应留出更多时间让学生独立写出条件链，再通过展示比较纠正跳步、对象不清等问题。水平仪情境能促进应用理解，后续可加强实物操作后的语言归纳，使直观经验更顺畅地转化为规范推理。 学科网（北京）股份有限公司 $