4.3.3 斜线、射影与线面角（课件）-高教版第三版《数学 拓展模块一（上册）》【上好课】

该中职数学课件聚焦斜线、射影与线面角核心知识，以斜拉索桥实例导入，通过定义斜线、斜足、射影概念，结合即时练习巩固，再以正方体、牵拉绳问题展开应用，构建从具体情境到抽象概念的学习支架。 其亮点在于用斜拉索桥等真实情境培养直观想象，通过“作垂线—找射影—认角”三步法发展数学思维，小组任务与课堂练习强化理解。小结以问题梳理方法，助力学生提升空间观念与运算能力，为教师提供结构化教学流程和丰富实例。

高教版第三版《数学》 拓展模块一（上册） 第4章 立体几何 4.3.3 斜线、射影与线面角 学习目标 1．理解斜线、斜足、射影和直线与平面所成的角，掌握线面角的特殊规定及取值范围。 2．能通过作垂线、找射影确定直线与平面所成的角，并运用直角三角形知识求角或相关线段。 3．通过观察斜拉索桥、正方体和牵拉绳中的空间关系，形成空间角向平面角转化的意识，提升直观想象与数学运算素养。 教材引入 我国是拥有斜拉索桥最多的国家。斜拉索桥是大跨度桥梁的主要桥型，依靠若干斜拉索将梁体重量和桥面载荷传至桥塔、桥墩。斜拉索安装位置的设计是斜拉索桥设计的重要内容。如图4-68所示，斜拉索AC所在的直线与桥面所在的平面相交，但是它们并不垂直。不同的斜拉索相对于桥面的倾斜程度是不同的，如何描述这种不同呢？ 教材引入 答案：可以先确定斜拉索在桥面内的射影，再用斜拉索与其射影所成的角刻画倾斜程度。 观察不同斜拉索与桥面的相交关系，比较它们的倾斜程度。 追问：线与平面的倾斜程度能否转化为两条直线所成的角来刻画？ 斜线、斜足与射影 如果直线与平面相交但不垂直，就称直线是平面的斜线。 斜线与平面的交点称为斜足；连接垂足与斜足的直线称为射影。 ，，BP是斜线m在平面内的射影。 在图中找准斜足、垂足和射影 斜足：P 垂足：B 垂线段：AB 射影：BP 线面角：∠APB 即时练习：识别射影与线面角 【即时练习1】在上述图形中，若点P是斜足，AB垂直于平面，那么斜线AP在平面上的射影是哪条线段？ 答案：线段BP。 解析：P是斜足，B是垂足，连接垂足B与斜足P得到线段BP。 【即时练习2】判断：斜线AP与平面内任意一条过点P的直线所成的角，都能表示AP与平面所成的角。 答案：错误。 解析：必须取斜线与它在平面上的射影所成的角，不能任取平面内直线。 直线与平面所成的角 平面的一条斜线与它在该平面上的射影所成的角，称为这条斜线与这个平面所成的角。 直线在平面内或与平面平行：线面角为0。 直线与平面垂直：线面角为。 直线与平面所成的角的范围为[0,]。 即时练习：特殊位置的线面角 【即时练习3】若直线l平行于平面，则直线l与平面所成的角是多少？ 答案：0。 解析：根据教材规定，直线在平面内或与平面平行时，线面角都是0。 【即时练习4】若直线l垂直于平面，则它们所成的角是多少？ 答案：。 解析：根据教材规定，直线与平面垂直时，它们所成的角为直角。 作垂线—找射影—认角 1．作垂线，确定垂足 2．连接垂足与斜足，找射影 3．认出斜线与射影所成的角 例7：正方体中的射影与线面角 例7 如图4-71所示，正方体 的棱长为 a。 （1）找出 B 在底面 ABCD 上的射影； （2）求 B 与底面 ABCD 所成的角的大小； （3）求 BD1 与底面 ABCD 所成的角的正切值。 例7（1）：确定射影 ，，且。 所以，垂足为C。 BC是BC1在平面ABCD上的射影。 例7（2）：求线面角 BC1与底面ABCD所成的角是∠C1BC。 BC1是正方形BCC1B1的对角线。 。 例7（3）：求线面角的正切值 BD是BD1在平面ABCD上的射影，且。 ，。 。 例8：牵拉绳与地面所成的角 例8 我国于2015年实现了“无电地区人口全部用上电”的目标。如图4-72所示，为防止电杆倾斜，工作人员用一根钢丝绳作牵拉绳。受周围环境影响，牵拉绳接地点A到电杆与地面的交点C的距离是2.5 m。若牵拉绳与水平地面所成的角为60°，求牵拉绳与电杆的连接处点B到点C的距离。 例8：把空间角转化为直角三角形 ，AC是AB在地面上的射影。 所以°。 ∠.5×tan60°= m。 知识检测：确定线面角的顺序 【知识检测】确定一条斜线与平面所成的角，需要依次找到哪些对象？ 答案：先找到斜足，再从斜线上一点向平面作垂线找到垂足，连接垂足与斜足得到射影，最后认出斜线与射影所成的角。 解析：关键是射影必须由垂足与斜足确定，不能把斜线与平面内任意直线所成的角当作线面角。 课堂背诵（一）：斜线、斜足与射影 1．如果直线与平面相交但不垂直，就称直线是平面的____；斜线与平面的交点称为____。 答案：斜线；斜足。 解析：两者分别描述直线与平面的关系和它们的交点。 2．连接垂足与斜足的直线称为斜线在这个平面上的____。 答案：射影。 解析：射影的两个关键端点是垂足与斜足。 课堂背诵（二）：定义与特殊规定 3．平面的一条斜线与它在该平面上的____所成的角，称为这条斜线与这个平面所成的角。 答案：射影。 解析：线面角必须由斜线和它在该平面上的射影共同确定。 4．直线在平面内或与平面平行时，线面角为____；直线与平面垂直时，线面角为____。 答案：0；。 解析：直线与平面所成的角的范围为[0,]。 师生互动：同一正方体中的三类线面角 小组任务：观察同一正方体中的三条直线，分别确定它们与底面ABCD所成的角，并说明射影。 （1）直线AB1；（2）直线AA1；（3）直线AB。 学生先独立标出垂足和射影，再在组内说明判断依据。 答案：（1）AB1在底面ABCD上的射影为AB，线面角为∠B1AB；（2）AA1垂直于底面，所成角为；（3）AB在底面内，所成角为0。 解析：相交但不垂直时要用斜线与射影认角；垂直和平面内两种情形直接使用教材规定。 课堂练习（一） 1．一条直线和一个平面所成的角为，判断：0≤。 答案：正确。 解析：直线与平面所成的角的范围为[0,]。 2．已知，线段AB的长是它在平面上射影的2倍，求直线AB与平面所成的角。 答案：。 解析：设射影长为x，则斜线段长为2x。在由斜线段、垂线段和射影构成的直角三角形中，设线面角为，有=，所以。 课堂练习（二） 3．在长方体中，指出对角线AC_1在底面ABCD上的射影。 答案：AC。 解析：点到底面ABCD的垂足为C，点A在底面内，因此连接A、C所得线段AC为射影。 课堂练习（三） 4．在正方体中，求AD1与平面ABCD所成的角。 答案：。 解析：AD1在底面ABCD上的射影为AD，因此线面角为∠D1AD。在正方形ADD1A1中，该角为。 课堂练习（四） 5．某牵拉绳接地点到电杆底端的水平距离为3 m，牵拉绳与地面所成的角为45°，求牵拉绳连接点离地面的高度。 答案：3 m。 解析：在直角三角形中，高度°=3 m。 课堂小结 怎样确定直线与平面所成的角？遇到直线在平面内、与平面平行或垂直时怎样处理？ 答案：相交但不垂直时，先从斜线上一点向平面作垂线，找到垂足；再连接垂足与斜足得到射影；斜线与射影所成的角就是线面角。直线在平面内或与平面平行时，线面角为0；直线与平面垂直时，线面角为。计算时把空间角转化为直角三角形中的角。 解析：射影由垂足与斜足确定。认角时不能任取平面内直线；计算时应先确认直角三角形中的斜边、射影和垂线段，再选择适当的三角函数。 作业布置 1．复习本节课的知识点； 2．完成课后练习； 3．整理笔记和易错题。 $