4.3.3 斜线、射影与线面角（教案）-高教版第三版《数学 拓展模块一（上册）》【上好课】

该教案聚焦立体几何中“斜线、射影与线面角”核心知识点，以斜拉索桥倾斜程度问题导入，在直线与平面位置关系、线面垂直知识基础上，依次引入斜线、斜足、射影概念，定义线面角，构建空间角向平面角转化的学习支架。 此资料亮点在于情境探究与素养培养融合，通过斜拉索桥真实情境激发兴趣，借助正方体实例和即时练习引导学生作垂线、找射影、转化直角三角形，发展直观想象与数学运算素养。小组任务与挖空复述强化数学语言表达，助学生准确掌握线面角确定方法，也为教师提供清晰教学路径，提升课堂效率。

高教版第三版《数学》拓展模块一（上册） 第4章 立体几何 4.3.3 斜线、射影与线面角 授课班级 授课类型 新授课 授课教师 教学时长 1课时（45分钟） 教材分析 教材在直线与平面位置关系以及线面垂直知识的基础上，从斜拉索桥的倾斜程度问题出发，依次给出斜线、斜足和射影的概念，借助射影定义直线与平面所成的角，并规定直线在平面内、平行于平面和垂直于平面时所成角的大小。随后通过正方体和牵拉绳两个例题，形成找垂足、确定射影、识别线面角、利用直角三角形计算的基本路径。本课综合运用线面位置关系、线面垂直和三角函数知识，为二面角的研究及空间角度计算奠定基础。 学情分析 学生已经能够判断直线与平面的基本位置关系，并能运用线面垂直的定义和判定寻找垂线、垂足，但容易把斜线与平面内任意直线所成的角误认为线面角，也可能在立体图形中找错射影。教学中应结合图形标注和正方体实例，反复突出垂足、斜足和射影之间的对应关系，引导学生将空间角转化为直角三角形中的锐角，再进行规范计算。 教学目标 1．理解斜线、斜足、射影和直线与平面所成的角，掌握线面角的特殊规定及取值范围。 2．能通过作垂线、找射影确定直线与平面所成的角，并运用直角三角形知识求角或相关线段。 3．通过观察斜拉索桥、正方体和牵拉绳中的空间关系，形成空间角向平面角转化的意识，提升直观想象与数学运算素养。 教学重难点 教学重点：斜线在平面上的射影、直线与平面所成的角及其确定方法。 教学难点：在立体图形中正确找到垂足、斜足和射影，把线面角转化为直角三角形中的角。 教学方法 情境探究法、直观演示法、讲练结合法。 课前准备 教师准备：教材、演示课件。 学生准备：教材、笔记本。 教学环节设计 教学环节 教学内容 设计意图 教学导入 情境与问题 我国是拥有斜拉索桥最多的国家。斜拉索桥是大跨度桥梁的主要桥型，依靠若干斜拉索将梁体重量和桥面载荷传至桥塔、桥墩。斜拉索安装位置的设计是斜拉索桥设计的重要内容。如图4-68所示，斜拉索AC所在的直线与桥面所在的平面相交，但是它们并不垂直。不同的斜拉索相对于桥面的倾斜程度是不同的，如何描述这种不同呢？ 教材图4-68 学生观察不同斜拉索与桥面的相交关系，比较它们的倾斜程度。教师追问：线与平面的倾斜程度能否转化为两条直线所成的角来刻画？ 【答案】 可以先确定斜拉索在桥面内的射影，再用斜拉索与其射影所成的角刻画倾斜程度。 【解析】 线面角不是斜线与平面内任意直线所成的角。必须经过作垂线确定垂足，连接垂足和斜足得到射影，才能识别规定的角。 教师归纳：要用一个确定的角描述斜线相对于平面的倾斜程度，需要先认识斜线在平面上的射影。 从斜拉索桥的真实问题激活空间位置经验，引导学生产生用确定角度描述线面倾斜程度的需要。 新知讲授 一、斜线、斜足和射影 如果直线与平面相交但不垂直，就称直线是平面的斜线。斜线与平面的交点称为斜足，经过斜线上不是斜足的一点作平面的垂线，连接垂足与斜足的直线称为斜线在这个平面上的射影。 如图4-69所示，直线是平面的斜线，点P为斜足，且，垂足为B，则BP是斜线在平面内的射影。显然，直线AP与射影BP所成的角反映了斜线相对于平面的倾斜程度。 教材图4-69 教师引导学生在图中依次指出斜线、斜足、垂线、垂足和射影，强调射影的两个端点分别是斜足和垂足。 【即时练习1】在上述图形中，若点P是斜足，AB垂直于平面，那么斜线AP在平面上的射影是哪条线段？ 【答案】 线段BP。 【解析】 P是斜足，B是垂足，连接垂足B与斜足P得到线段BP。 【即时练习2】判断：斜线AP与平面内任意一条过点P的直线所成的角，都能表示AP与平面所成的角。 【答案】 错误。 【解析】 必须取斜线与它在平面上的射影所成的角，不能任取平面内直线。 二、直线与平面所成的角 一般地，平面的一条斜线与它在该平面上的射影所成的角，称为这条斜线与这个平面所成的角。 规定：当直线在平面内或直线与平面平行时，它与平面所成的角是0；当直线与平面垂直时，它与平面所成的角为。于是，直线与平面所成的角的范围为。 确定线面角时，先由斜线上一点向平面作垂线，找到垂足；再连接垂足与斜足，得到斜线在平面上的射影；最后认出斜线与射影所成的角。 【即时练习3】若直线平行于平面，则直线与平面所成的角是多少？ 【答案】 0。 【解析】 根据教材规定，直线在平面内或与平面平行时，线面角都是0。 【即时练习4】若直线垂直于平面，则它们所成的角是多少？ 【答案】 。 【解析】 根据教材规定，直线与平面垂直时，它们所成的角为直角。 三、在立体图形和实际情境中求线面角 例7 如图4-71所示，正方体 的棱长为 。 （1）找出 在底面 ABCD 上的射影； （2）求 与底面 ABCD 所成的角的大小； （3）求 与底面 ABCD 所成的角的正切值。 教材图4-71 【答案】 （1）BC；（2）；（3）。 【解析】 （1）因为正方体各个面都是正方形，所以，，且，从而，垂足为C。又，故BC是在平面ABCD上的射影。 （2）由（1）可知，与底面ABCD所成的角是。因为是正方形的对角线，所以。 （3）同理，BD是在平面ABCD上的射影。在直角三角形中，，，所以。 例8 我国于2015年实现了“无电地区人口全部用上电”的目标。如图4-72所示，为防止电杆倾斜，工作人员用一根钢丝绳作牵拉绳。受周围环境影响，牵拉绳接地点A到电杆与地面的交点C的距离是2.5 m。若牵拉绳与水平地面所成的角为，求牵拉绳与电杆的连接处点B到点C的距离。 教材图4-72 【答案】 。 【解析】 由题意可知，电杆与地面垂直，所以，且AC是AB在地面上的射影，于是。在直角三角形ABC中，因为，所以。 【知识检测】确定一条斜线与平面所成的角，需要依次找到哪些对象？ 【答案】 先找到斜足，再从斜线上一点向平面作垂线找到垂足，连接垂足与斜足得到射影，最后认出斜线与射影所成的角。 【解析】 关键是射影必须由垂足与斜足确定，不能把斜线与平面内任意直线所成的角当作线面角。 按照概念形成、特殊规定、空间认角和实际计算的顺序组织学习，突出由空间角向直角三角形转化的方法。 课堂背诵 完成下列挖空并逐项复述。 1．如果直线与平面相交但不垂直，就称直线是平面的____；斜线与平面的交点称为____。 【答案】 斜线；斜足。 【解析】 两者分别描述直线与平面的关系和它们的交点。 2．连接垂足与斜足的直线称为斜线在这个平面上的____。 【答案】 射影。 【解析】 射影的两个关键端点是垂足与斜足。 3．平面的一条斜线与它在该平面上的____所成的角，称为这条斜线与这个平面所成的角。 【答案】 射影。 【解析】 线面角必须由斜线和它在该平面上的射影共同确定。 4．直线在平面内或与平面平行时，线面角为____；直线与平面垂直时，线面角为____。 【答案】 0；。 【解析】 直线与平面所成的角的范围为。 用术语、定义关键词和特殊角度挖空检查全课记忆，帮助学生准确复述并辨析线面角的构成条件。 师生互动 小组任务：观察同一正方体中的三条直线，分别确定它们与底面ABCD所成的角，并说明射影。 （1）直线；（2）直线；（3）直线AB。 学生先独立标出垂足和射影，再在组内说明判断依据。 【答案】 （1）在底面ABCD上的射影为AB，线面角为；（2）垂直于底面，所成角为；（3）AB在底面内，所成角为0。 【解析】 相交但不垂直时要用斜线与射影认角；垂直和平面内两种情形直接使用教材规定。 教师归纳：先判断直线与平面的位置关系，再决定是直接使用特殊规定，还是通过作垂线、找射影确定线面角。 通过同一正方体中三类线面位置的比较组织表达与互评，诊断学生能否区分一般情形和特殊规定。 课堂练习 1．一条直线和一个平面所成的角为，判断：。 【答案】 正确。 【解析】 直线与平面所成的角的范围为。 2．已知，线段AB的长是它在平面上射影的2倍，求直线AB与平面所成的角。 【答案】 。 【解析】 设射影长为x，则斜线段长为2x。在由斜线段、垂线段和射影构成的直角三角形中，设线面角为，有，所以。 3．在长方体中，指出对角线在底面ABCD上的射影。 【答案】 AC。 【解析】 点到底面ABCD的垂足为C，点A在底面内，因此连接A、C所得线段AC为射影。 4．在正方体中，求与平面ABCD所成的角。 【答案】 。 【解析】 在底面ABCD上的射影为AD，因此线面角为。在正方形中，该角为。 5．某牵拉绳接地点到电杆底端的水平距离为3 ，牵拉绳与地面所成的角为45°，求牵拉绳连接点离地面的高度。 【答案】 3 。 【解析】 在直角三角形中，高度。 以范围判断、射影识别、正方体计算和实际测量形成梯度检测，反馈学生认角与计算方法的达成情况。 课堂小结 学生回答：怎样确定直线与平面所成的角？遇到直线在平面内、与平面平行或垂直时怎样处理？ 【答案】 相交但不垂直时，先从斜线上一点向平面作垂线，找到垂足；再连接垂足与斜足得到射影；斜线与射影所成的角就是线面角。直线在平面内或与平面平行时，线面角为0；直线与平面垂直时，线面角为。计算时把空间角转化为直角三角形中的角。 【解析】 射影由垂足与斜足确定。认角时不能任取平面内直线；计算时应先确认直角三角形中的斜边、射影和垂线段，再选择适当的三角函数。 整理斜线、射影、线面角和计算方法之间的联系，形成可迁移的认角路径并回应导入问题。 作业布置 1．复习本节课的知识点； 2．完成课后练习； 3．整理笔记和易错题。 教学反思 课堂实施中需重点观察学生能否准确区分斜足、垂足与射影，并避免把斜线与平面内任意直线所成的角误认为线面角。导入和图的标注可适当放慢，让学生先独立指出各对象再互相纠错；例7信息较多，应通过分步提问控制推理跨度，防止直接套用结论。若学生在正方体中找射影仍有困难，可增加垂线段的颜色提示和口头说明；实际计算要加强直角三角形边角对应检查，并根据课堂作答压缩重复讲解，把更多时间留给方法表达与反馈。 学科网（北京）股份有限公司 $