4.3.2 直线与平面垂直的性质（课件）-高教版第三版《数学 拓展模块一（上册）》【上好课】

该中职数学课件聚焦直线与平面垂直的性质，核心知识点包括性质定理（两直线同垂直一平面则平行）、判定定理（平行线中一条垂直平面则另一条也垂直）及过一点作平面垂线的唯一性。课堂通过复习提问“平行线与平面垂直关系”导入，从线面垂直判定定理出发，引导学生推理新知，构建旧知到新知的学习支架。 其亮点是以例5、例6为载体，通过多步推理培养逻辑推理素养，即时练习与课堂背诵强化知识内化。师生互动中分组任务引导从目标反推证明路径，提升直观想象。小结通过学生梳理判定与性质，帮助构建知识体系。学生能提升逻辑推理和直观想象，教师可获得结构化资源便于实施探究式教学。

高教版第三版《数学》 拓展模块一（上册） 第4章 立体几何 4.3.2 直线与平面垂直的性质 学习目标 1．理解平行线与同一平面的垂直关系，掌握直线与平面垂直的性质定理，了解过一点作平面垂线的唯一性。 2．能根据证明目标选择直线与平面垂直的判定或性质，建立所需的相交直线，并完成平行、垂直关系的规范证明。 3．通过例5、例6的条件分析和多步推理，提升直观想象与逻辑推理素养，形成从目标反推证明依据的意识。 由平行与线面垂直可以推出什么？ 复习提问：若直线，直线n与m平行，那么n与平面α有怎样的位置关系？请说明判断思路。 学生根据已有知识尝试回答。 答案：直线。 解析：在平面α内任取两条相交直线c、d。由可得、；又因n∥m，所以、。根据直线与平面垂直的判定定理，。 思考：能否在平面α内选取两条相交直线，把线线平行与线面垂直的判定联系起来？ 例5：平行线与同一平面的垂直关系 例5 证明：如果两条平行线中有一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。已知：m∥n，，如图4-64所示。求证：。 证明目标：由 m∥n、 推出 。 例5证明 在平面α内任取两条相交直线c和d。 ，，且c与d相交。 要证，需要建立与。 例5证明 由，得、。 由n∥m，得、。 由线面垂直判定定理，得到。 例5结论：另一个判定定理 如果两条平行线中有一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。 m∥n， ⇒ 这是直线与平面垂直的另一个判定定理。 即时练习：另一条平行线的位置关系 【即时练习1】已知∥b，，判断b与平面β的位置关系。 答案：。 解析：两条平行线中有一条垂直于一个平面，另一条也垂直于这个平面。 即时练习：为什么要取两条相交直线？ 【即时练习2】证明例5时，为什么要在平面α内选取两条相交直线？ 答案：为了把结论转化为使用直线与平面垂直判定定理所需要的条件。 解析：要证明一条直线垂直于平面，需要证明它与平面内两条相交直线都垂直；所选两线相交是使用判定定理的必要条件。 例5的逆命题 例5命题的逆命题也成立吗？ 若，，猜想：m∥n。 直线与平面垂直的性质定理 可以证明，例5命题的逆命题也成立，即如果两条直线都垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。 ， ⇒ m∥n 过一点作平面垂线的唯一性 在空间中经过一点有且只有一条直线与已知平面垂直。 若过同一点的两条直线都垂直于该平面，则由性质定理它们平行；过同一点的平行直线只能重合。 即时练习：同垂直于一个平面的两直线 【即时练习3】判断：若，，则。 答案：错误。 解析：根据直线与平面垂直的性质定理，应有l∥m。 即时练习：垂线为什么唯一？ 【即时练习4】若空间中过点P有两条直线都垂直于平面α，会出现什么矛盾？ 答案：两条直线既经过同一点又互相平行，只能重合，与“两条直线”矛盾。 解析：同垂直于一个平面的两条直线平行；两条过同一点的平行直线只能是同一条直线，因此过一点作平面垂线具有唯一性。 例6：垂线段为什么相等？ 例6 如图4-66所示，已知一条直线l和平面α平行，过直线l上任意两点A、B分别引平面α的垂线'、'，垂足分别为A'、B'。求证：'='。 目标：证明两条垂线段'与'相等。 例6：性质定理连接平面几何 '⊥α，'⊥α，所以'∥'。 设经过'、'的平面为β，则=A'B'。 由l∥α，可知l∥A'B'。 四边形'B'B为平行四边形，所以'='。 知识检测：何时可用性质定理？ 【知识检测】证明两条空间直线平行时，何时可以使用直线与平面垂直的性质定理？ 答案：当能够证明这两条直线都垂直于同一个平面时。 解析：使用性质定理必须同时明确两条直线和同一个平面，并分别证明两条直线都与该平面垂直。 课堂背诵（一）：判定与性质 1．如果两条平行线中有一条垂直于一个平面，那么另一条也____于这个平面。 答案：垂直。 解析：这可作为直线与平面垂直的另一个判定定理。 2．如果两条直线都垂直于同一个平面，那么这两条直线____。 答案：平行。 解析：使用性质定理时，要核对“两条直线”和“同一个平面”。 课堂背诵（二）：唯一性 3．在空间中经过一点有且只有____条直线与已知平面垂直。 答案：一。 解析：“有且只有”同时说明存在性和唯一性。 师生互动：从目标反选证明路径 分组任务：根据目标选择证明路径，并说明需要补充或寻找的条件。 （1）已知∥b，，目标是证明。 （2）已知，，目标是证明∥b。 （3）已知，直线b与平面α平行，目标是证明。 【答案】（1）使用例5中的判定命题；（2）使用直线与平面垂直的性质定理；（3）在平面α内寻找一条与b平行的直线，再由线面垂直推出线线垂直并传递垂直关系。 【解析】证明线面垂直时要建立平面内两条相交直线；证明两直线平行时可寻找共同垂直的平面；证明线线垂直时可把平行于平面的直线转化为平面内的平行线。 课堂练习（一）：判断与关系转化 1．判断：如果，，那么。 答案：错误。 解析：根据直线与平面垂直的性质定理，应有l∥m。 2．已知，m∥α，求证：。 答案：。 解析：过直线m作一个与平面α相交的平面，设交线为n，则m∥n。因为，且，所以。又m∥n，故。 课堂练习（二）：平行四边形证明 3．已知线段、位于平面α的同侧，，，垂足分别为B、C，。求证：。 答案：。 解析：因为，，所以∥。又，因此四边形的一组对边平行且相等，四边形为平行四边形，所以。 课堂练习（三）：旗杆检验方案 4．某中职学校安装旗杆时，要保证旗杆与地面垂直。请设计一种利用地面标线进行检验的方案，并说明依据。 答案：在地面上画两条相交标线，分别检验旗杆与两条标线是否垂直；若均垂直，则旗杆与地面垂直。 解析：两条标线都在地面内且相交，旗杆分别与它们垂直，满足直线与平面垂直判定定理的条件。 课堂小结 学生回答：本课形成了哪些判定和性质？遇到空间平行、垂直证明时，应怎样选择证明方向？ 答案：两条平行线中有一条垂直于一个平面，另一条也垂直于这个平面；两条直线都垂直于同一个平面，则这两条直线平行；空间中过一点有且只有一条直线与已知平面垂直。证明时先确定目标关系，再从已知条件中选择线面垂直判定、线面垂直性质或线线平行传递垂直关系。 解析：证明线面垂直要建立平面内两条相交直线；证明线线平行可寻找两直线共同垂直的平面；证明线线垂直可借助平面内直线或平行关系完成转化。 作业布置 1．复习本节课的知识点； 2．完成课后练习； 3．整理笔记和易错题。 $