4.3.2 直线与平面垂直的性质（教案）-高教版第三版《数学 拓展模块一（上册）》【上好课】

该教案聚焦“直线与平面垂直的性质”核心知识点，课堂导入通过复习线面垂直判定定理，设置平行线与平面垂直的问题，引导学生用平面内相交直线转化关系，搭建新旧知识学习支架。 特色是以问题探究和推理论证为主线，通过例5证明、性质定理辨析、例6综合应用，培养逻辑推理与直观想象素养。即时练习和分组任务助学生区分判定与性质，分层练习从判断到实际应用，提升学生规范表达能力，为教师提供清晰教学路径和有效反馈工具。

高教版第三版《数学》拓展模块一（上册） 第4章 立体几何 4.3.2 直线与平面垂直的性质 授课班级 授课类型 新授课 授课教师 教学时长 1课时（45分钟） 教材分析 教材在直线与平面垂直的定义和判定定理之后，先以例5说明平行线与同一平面的垂直关系，再由其逆命题形成直线与平面垂直的性质定理，并据此得到过一点作平面垂线的唯一性。随后通过例6综合运用线面垂直、线线平行和平行四边形知识完成证明。 本课承接线面垂直的定义与判定，进一步沟通线线平行、线线垂直和线面垂直，为研究直线与平面所成的角及后续空间关系证明奠定基础。 学情分析 学生已经学习直线与平面垂直的定义、判定定理以及由线面垂直推出线线垂直的方法，能够识别基本空间位置关系。但在综合证明中，学生可能混淆判定与性质的使用方向，也容易遗漏平面内两条直线相交、直线属于平面等条件。教学中应通过例5的证明链、性质定理辨析和例6的关系转化，引导学生先确定目标，再选择合适定理并规范说明依据。 教学目标 1．理解平行线与同一平面的垂直关系，掌握直线与平面垂直的性质定理，了解过一点作平面垂线的唯一性。 2．能根据证明目标选择直线与平面垂直的判定或性质，建立所需的相交直线，并完成平行、垂直关系的规范证明。 3．通过例5、例6的条件分析和多步推理，提升直观想象与逻辑推理素养，形成从目标反推证明依据的意识。 教学重难点 教学重点：直线与平面垂直的性质定理及平行、垂直关系的相互转化。 教学难点：根据证明目标选择判定或性质，并在综合证明中建立所需的相交直线和平面。 教学方法 问题探究法、推理论证法、讲练结合法。 课前准备 教师准备：教材、演示课件。 学生准备：教材、笔记本。 教学环节设计 教学环节 教学内容 设计意图 教学导入 复习提问：若直线，直线n与m平行，那么n与平面α有怎样的位置关系？请说明判断思路。 学生根据已有知识尝试回答。教师引导学生思考：能否在平面α内选取两条相交直线，把线线平行与线面垂直的判定联系起来？ 【答案】 直线。 【解析】 在平面α内任取两条相交直线c、d。由可得、；又因，所以、。根据直线与平面垂直的判定定理，。 教师归纳：由一条直线垂直于平面，结合两直线平行，可以推出另一条直线也垂直于该平面。本课将继续研究线面垂直所产生的平行关系及其综合应用。 从已学判定定理出发设置关系转化问题，引导学生建立新旧知识联系并形成证明需求。 新知讲授 一、平行线与同一平面的垂直关系 例5 证明：如果两条平行线中有一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。已知：，，如图4-64所示。求证：。 教材图4-64 【答案】 。 【解析】 在平面α内任取两条相交直线c和d。因为，，，所以，。又，故，。根据直线与平面垂直的判定定理，由c与d相交，可知。 温馨提示：例5是直线与平面垂直的另一个判定定理。 【即时练习1】已知，，判断b与平面β的位置关系。 【答案】 。 【解析】 两条平行线中有一条垂直于一个平面，另一条也垂直于这个平面。 【即时练习2】证明例5时，为什么要在平面α内选取两条相交直线？ 【答案】 为了把结论转化为使用直线与平面垂直判定定理所需要的条件。 【解析】 要证明一条直线垂直于平面，需要证明它与平面内两条相交直线都垂直；所选两线相交是使用判定定理的必要条件。 二、直线与平面垂直的性质定理 可以证明，例5中所述命题的逆命题也成立。如图4-65所示，若，，则。 直线与平面垂直的性质定理 如果两条直线都垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。 教材图4-65 根据该定理可以证明：在空间中经过一点有且只有一条直线与已知平面垂直。 【即时练习3】判断：若，，则。 【答案】 错误。 【解析】 根据直线与平面垂直的性质定理，应有。 【即时练习4】若空间中过点P有两条直线都垂直于平面α，会出现什么矛盾？ 【答案】 两条直线既经过同一点又互相平行，只能重合，与“两条直线”矛盾。 【解析】 同垂直于一个平面的两条直线平行；两条过同一点的平行直线只能是同一条直线，因此过一点作平面垂线具有唯一性。 三、典型例题 例6 如图4-66所示，已知一条直线l和平面α平行，过直线l上任意两点A、B分别引平面α的垂线、，垂足分别为、。求证：。 教材图4-66 【答案】 。 【解析】 因为，，所以。设经过直线、的平面为β，则。由，可知，因此四边形为平行四边形，所以。 【知识检测】证明两条空间直线平行时，何时可以使用直线与平面垂直的性质定理？ 【答案】 当能够证明这两条直线都垂直于同一个平面时。 【解析】 使用性质定理必须同时明确两条直线和同一个平面，并分别证明两条直线都与该平面垂直。 依次经历判定命题证明、性质定理形成和典型例题应用，突出目标导向的关系转化与证明依据。 课堂背诵 完成下列挖空并逐项复述。 1．如果两条平行线中有一条垂直于一个平面，那么另一条也____于这个平面。 【答案】 垂直。 【解析】 这可作为直线与平面垂直的另一个判定定理。 2．如果两条直线都垂直于同一个平面，那么这两条直线____。 【答案】 平行。 【解析】 使用性质定理时，要核对“两条直线”和“同一个平面”。 3．在空间中经过一点有且只有____条直线与已知平面垂直。 【答案】 一。 【解析】 “有且只有”同时说明存在性和唯一性。 用定理结论、适用条件和唯一性挖空检查准确记忆，帮助学生形成可直接调用的知识表述。 师生互动 分组任务：根据目标选择证明路径，并说明需要补充或寻找的条件。 （1）已知，，目标是证明。 （2）已知，，目标是证明。 （3）已知，直线b与平面α平行，目标是证明。 【答案】 （1）使用例5中的判定命题；（2）使用直线与平面垂直的性质定理；（3）在平面α内寻找一条与平行的直线，再由线面垂直推出线线垂直并传递垂直关系。 【解析】 证明线面垂直时要建立平面内两条相交直线；证明两直线平行时可寻找共同垂直的平面；证明线线垂直时可把平行于平面的直线转化为平面内的平行线。 教师归纳：先看目标是线面垂直、线线平行还是线线垂直，再从已知条件中选择相应的判定、性质或平行关系进行转化。 通过同一知识网络中的多目标比较组织表达与纠错，训练学生从证明目标反向选择定理和辅助关系。 课堂练习 1．判断：如果，，那么。 【答案】 错误。 【解析】 根据直线与平面垂直的性质定理，应有。 2．已知，，求证：。 【答案】 。 【解析】 过直线m作一个与平面α相交的平面，设交线为n，则。因为，且，所以。又，故。 3．已知线段AB、CD位于平面α的同侧，，，垂足分别为B、C，。求证：。 教材练习4.3.2第4题配图 【答案】 。 【解析】 因为，，所以。又，因此四边形ABCD的一组对边平行且相等，四边形ABCD为平行四边形，所以。 4．某中职学校安装旗杆时，要保证旗杆与地面垂直。请设计一种利用地面标线进行检验的方案，并说明依据。 【答案】 在地面上画两条相交标线，分别检验旗杆与两条标线是否垂直；若均垂直，则旗杆与地面垂直。 【解析】 两条标线都在地面内且相交，旗杆分别与它们垂直，满足直线与平面垂直判定定理的条件。 以判断、关系转化、综合证明和实际方案形成梯度检测，反馈学生选择定理和规范推理的达成情况。 课堂小结 学生回答：本课形成了哪些判定和性质？遇到空间平行、垂直证明时，应怎样选择证明方向？ 【答案】 两条平行线中有一条垂直于一个平面，另一条也垂直于这个平面；两条直线都垂直于同一个平面，则这两条直线平行；空间中过一点有且只有一条直线与已知平面垂直。证明时先确定目标关系，再从已知条件中选择线面垂直判定、线面垂直性质或线线平行传递垂直关系。 【解析】 证明线面垂直要建立平面内两条相交直线；证明线线平行可寻找两直线共同垂直的平面；证明线线垂直可借助平面内直线或平行关系完成转化。 整理判定、性质与唯一性之间的联系，形成按目标选择证明路径的知识网络并回应导入问题。 作业布置 1．复习本节课的知识点； 2．完成课后练习； 3．整理笔记和易错题。 教学反思 课堂实施中需关注学生能否根据证明目标区分判定与性质，避免看到垂直条件就直接套用结论。例5的证明可先让学生独立寻找平面内两条相交直线，再通过同伴互检补全条件；性质定理教学应强调“同一个平面”，并结合反例诊断混淆。例6关系较多，教师可用分步提问降低推理跨度，减少直接讲解。若课堂练习中辅助平面或交线的建立仍有困难，后续可增加图形标注和目标反推训练，优化证明路径的表达与反馈。 学科网（北京）股份有限公司 $