4.3.2 直线与平面垂直的判定（课件）-高教版第三版《数学 拓展模块一（上册）》【上好课】

该中职数学课件聚焦直线与平面垂直的定义及判定定理，通过无人机螺旋桨平面与旋转轴的位置关系问题导入，从生活实例引出定义，再以“如何简化‘任何一条直线’的检查”过渡到判定定理，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以情境化问题培养直观想象（数学眼光），通过判定定理的三类条件分解及正四面体证明、旗杆检验方案等实例，强化逻辑推理（数学思维）与应用意识（数学语言）。采用即时练习、小组辨析等互动教学，小结梳理定义链与判定链，帮助学生规范推理表达，教师可直接利用结构化内容提升教学效果。

高教版第三版《数学》 拓展模块一（上册） 第4章 立体几何 4.3.2 直线与平面垂直的判定 学习目标 1．理解直线与平面垂直的定义，认识垂线、垂面和垂足，掌握直线与平面垂直的判定定理。 2．能由线面垂直判断线线垂直，能核对平面内两条直线的归属、相交和垂直条件，并运用判定定理证明线面垂直。 3．通过无人机情境观察、条件辨析和正四面体证明，提升直观想象与逻辑推理素养，形成依据条件规范说明结论的意识。 无人机旋转轴与螺旋桨平面 观察教材图4-60。某型号无人机的螺旋桨（如）与旋转轴均垂直，垂足是B。螺旋桨旋转时构成平面α，每根螺旋桨都在平面α内。平面α与旋转轴之间有怎样的位置关系？ 答案：平面α与旋转轴垂直。 解析：平面α内经过点B的螺旋桨所在直线都与旋转轴垂直；平面α内不经过点B的任意一条直线，可以在平面α内找到经过点B且与它平行的直线，由异面直线所成的角可知它也与旋转轴垂直。因此，平面α内每一条直线都与垂直。 直线与平面垂直的定义 如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面互相垂直。 直线称为平面的垂线；平面称为直线的垂面；交点称为垂足。 记作： 关键词：平面内任何一条直线。 由线面垂直推出线线垂直 若 ，，根据直线与平面垂直的定义，可知 。 主要方法：由“直线与平面垂直”推出“直线与直线垂直”。 即时练习：只垂直于过垂足的直线？ 【即时练习1】判断：若直线l垂直于平面α，则l只与平面α内经过垂足的直线垂直。 答案：错误。 解析：按照定义，直线l与平面α内任何一条直线都垂直，包括经过垂足和不经过垂足的直线。 即时练习：由线面到线线 【即时练习2】已知，直线b在平面β内。判断与b的位置关系。 答案：。 解析：因为与平面β垂直，而b是平面β内的直线，所以根据线面垂直的定义可知。 怎样把“任何一条”变成可操作检查？ 生活和生产中，需要判断旗杆、建筑立柱与地面是否垂直。 逐一判断一条直线与平面内每一条直线都垂直，很难做到。 能否把条件简化为可操作的检查？ 直线与平面垂直的判定定理 如果一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直。 m、n在平面α内且相交，， ⇒ 判定定理：三类条件逐项核对 ① 平面归属：m、n都在目标平面α内。 ② 两线相交：≠。 ③ 分别垂直：，且。 即时练习：相交条件不能省 【即时练习3】判断：若，，且m、n都在平面α内，则。 答案：错误。 解析：还必须说明m与n相交。平面内两条不相交的直线不能直接作为判定线面垂直的两条直线。 即时练习：使用定理查什么？ 【即时练习4】应用判定定理时，需要核对哪三类条件？ 答案：平面归属条件、两线相交条件和两组线线垂直条件。 解析：先确认两条直线都在目标平面内，再确认两条直线相交，最后分别证明待判定直线与它们垂直，才能得到线面垂直。 例4：正四面体中的垂直证明 例4 四个面都是正三角形的四面体称为正四面体。已知正四面体，如图4-63所示。求证：。 证明思路：先由两组线线垂直判定线面垂直，再由线面垂直推出目标线线垂直。 例4：线线—线面—线线 设的中点为O，连接、。 ，，且=O。 由判定定理，。 在平面内，所以。 知识检测：证明线面垂直的三项关系 【知识检测】证明直线l与平面α垂直时，在平面α内找到直线m、n后，还必须证明哪三项关系？ 答案： ，，。 解析：两条直线在平面内只是归属条件，还要有两线相交以及待判定直线分别与两线垂直，才能使用判定定理。 课堂背诵（一）：定义与术语 1．如果一条直线和一个平面内的____一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面互相垂直。 答案：任何。 解析：“任何”表示平面内每一条直线，不只是经过垂足的直线。 2．直线与平面垂直时，这条直线称为平面的____，平面称为直线的____，直线与平面的交点称为____。 答案：垂线；垂面；垂足。 解析：三个术语分别对应直线、平面和交点。 课堂背诵（二）：判定关键词 3．如果一条直线与平面内的两条____直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直。 答案：相交。 解析：“在平面内”“相交”“分别垂直”是使用判定定理时必须同时核对的条件。 师生互动：旗杆条件辨析 小组任务：判断下面三组条件能否判定旗杆l与地面α垂直，并逐项说明理由。 （1）旗杆l分别与地面α内两条平行标线m、n垂直。 （2）旗杆l分别与地面α内两条相交标线m、n垂直。 （3）旗杆l分别与两条相交直线m、n垂直，但没有说明m、n是否在地面α内。 答案：（1）不能；（2）能；（3）不能。 解析：第（1）组缺少两条直线相交这一条件；第（2）组同时具备两线在平面内、两线相交和旗杆分别与两线垂直，可以判定旗杆与地面垂直；第（3）组缺少两条直线在目标平面内的归属条件。 课堂练习（一）：缺失条件辨析 1．判断：如果直线m垂直于平面α内的无数条直线，那么。 答案：错误。 解析：平面内无数条互相平行的直线也可能都与m垂直，但这不能保证m与平面内任何一条直线都垂直；判定时必须找到两条相交直线。 2．判断：如果，，且，，那么。 答案：错误。 解析：条件中没有说明m与n相交，不能直接使用直线与平面垂直的判定定理。 课堂练习（二）：由线面到线线 3．已知直线，点P在平面β内，过点P作直线b。判断与b的位置关系。 答案：。 解析：直线b在平面β内，根据直线与平面垂直的定义，与平面β内任何一条直线都垂直。 课堂练习（三）：正方体中的线面垂直 4．在正方体-A1B1C1D1中，判断棱1与底面是否垂直，并说明理由。 答案：1与底面垂直。 解析：在底面内，与相交于A；正方体的侧面都是正方形，因此1⊥，1⊥。由直线与平面垂直的判定定理可知1⊥平面。 课堂练习（四）：旗杆检验方案 5．某中职学校安装旗杆时，需要保证旗杆与地面垂直。请设计一个利用地面标线进行检验的方案。 答案：在地面上经过旗杆底部画两条相交直线，分别检验旗杆与这两条直线是否垂直；若均垂直，则可判定旗杆与地面垂直。 解析：两条标线都在地面内并且相交，旗杆分别与两条标线垂直，满足线面垂直判定定理的全部条件。 两条推理链与一个易错点 定义链： 且 ⇒ 。 判定链：m、n在α内且相交，、 ⇒ 。 易错点：两条直线必须在目标平面内并且相交。 证明策略：线线垂直 → 线面垂直 → 线线垂直。 课堂小结 学生回答：什么叫直线与平面垂直？由线面垂直能得到怎样的线线关系？判定线面垂直要核对哪些条件？ 答案：一条直线与一个平面内任何一条直线都垂直，称这条直线与这个平面互相垂直。若，且，则。判定线面垂直时，要在平面内找到两条相交直线，并分别证明待判定直线与它们垂直。 解析：定义强调“任何一条直线”；由线面垂直可以推出线线垂直；使用判定定理时最容易遗漏的是两条直线必须相交。 作业布置 1．复习本节课的知识点； 2．完成课后练习； 3．整理笔记和易错题。 $