4.3.2 直线与平面垂直的判定（教案）-高教版第三版《数学 拓展模块一（上册）》【上好课】

该教案聚焦“直线与平面垂直的判定”核心知识点，以无人机螺旋桨与旋转轴的真实情境导入，将直观关系转化为线面垂直问题。承接空间两直线位置关系及线面位置关系，为后续线面垂直应用及线面角学习搭建支架。 此资料特色在于情境化与逻辑严谨并重，通过无人机、旗杆等实例培养直观想象，借助即时练习、小组任务辨析“无数条直线”与“两条相交直线”的区别，强化逻辑推理。采用直观演示与问题探究法，助学生准确掌握判定条件，为教师提供清晰教学环节与易错点处理方案。

高教版第三版《数学》拓展模块一（上册） 第4章 立体几何 4.3.2 直线与平面垂直的判定 授课班级 授课类型 新授课 授课教师 教学时长 1课时（45分钟） 教材分析 教材以平面、空间两直线的位置关系以及直线与平面的位置关系为基础，从无人机螺旋桨与旋转轴的关系入手，先考察平面内经过垂足和不经过垂足的直线，抽象出直线与平面垂直的定义及垂线、垂面、垂足等概念，再由实际判断的困难引出直线与平面垂直的判定定理，并通过正四面体中的证明展示线线垂直与线面垂直的相互转化。本课承接异面直线所成的角和线面位置关系，为继续研究线面垂直关系及直线与平面所成的角奠定基础。 学情分析 学生已经掌握空间两直线垂直、直线在平面内及相交等基本关系，能在常见立体图形中辨认直线和平面。但学生容易把图形看起来垂直当作证明，也可能把“平面内无数条直线”误当作“两条相交直线”，忽略相交条件。教学中应借助无人机、旗杆和正四面体图形，让学生经历观察、辨析、条件核对和规范证明。 教学目标 1．理解直线与平面垂直的定义，认识垂线、垂面和垂足，掌握直线与平面垂直的判定定理。 2．能由线面垂直判断线线垂直，能核对平面内两条直线的归属、相交和垂直条件，并运用判定定理证明线面垂直。 3．通过无人机情境观察、条件辨析和正四面体证明，提升直观想象与逻辑推理素养，形成依据条件规范说明结论的意识。 教学重难点 教学重点：直线与平面垂直的定义、符号及判定定理。 教学难点：理解“与平面内任何一条直线都垂直”，并在判定线面垂直时准确核对两条直线在平面内且相交。 教学方法 直观演示法、问题探究法、讲练结合法。 课前准备 教师准备：教材、演示课件。 学生准备：教材、笔记本。 教学环节设计 教学环节 教学内容 设计意图 教学导入 观察教材图。某型号无人机的螺旋桨（如BC）与旋转轴AB均垂直，垂足是B。螺旋桨旋转时构成平面α，每根螺旋桨都在平面α内。平面α与旋转轴AB之间有怎样的位置关系？ 学生结合图形观察，教师引导学生把问题转化为：旋转轴AB与平面α内的直线具有怎样的关系？ 【答案】 平面α与旋转轴AB垂直。 【解析】 平面α内经过点B的螺旋桨所在直线都与旋转轴AB垂直；平面α内不经过点B的任意一条直线，可以在平面α内找到经过点B且与它平行的直线，由异面直线所成的角可知它也与旋转轴AB垂直。因此，平面α内每一条直线都与AB垂直。 教材图4-60 教师归纳：当一条直线与一个平面内的任何一条直线都垂直时，就形成一种重要的线面位置关系。 借助无人机旋转轴与螺旋桨的真实情境，把直观关系转化为线面垂直问题，激活空间想象。 新知讲授 一、直线与平面垂直的定义 读一读：画竖直的直线与水平面垂直时，应将直线画成与表示平面的平行四边形的横边垂直。 如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面互相垂直。这条直线称为这个平面的垂线，这个平面称为这条直线的垂面，直线与平面的交点称为垂足，直线l与平面α垂直，记作。 如图4-61所示，若，，根据直线与平面垂直的定义，可知。这是利用“直线与平面垂直”推出“直线与直线垂直”的主要方法。 教材图4-61 【即时练习1】判断：若直线l垂直于平面α，则l只与平面α内经过垂足的直线垂直。 【答案】 错误。 【解析】 按照定义，直线l与平面α内任何一条直线都垂直，包括经过垂足和不经过垂足的直线。 【即时练习2】已知，直线b在平面β内。判断与b的位置关系。 【答案】 。 【解析】 因为与平面β垂直，而b是平面β内的直线，所以根据线面垂直的定义可知。 二、直线与平面垂直的判定定理 在日常生活和生产中，常常需要判断旗杆、建筑立柱与地面的垂直关系。但是，逐一判断一条直线与平面内每一条直线都垂直是很难做到的。能否把条件简化为可操作的检查？ 直线与平面垂直的判定定理 如果一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直。 如图4-62所示，若m、n是平面α内的两条相交直线，且直线，，则。 教材图4-62 教师引导学生逐项核对：两条直线必须都在同一平面内；两条直线必须相交；待判定直线必须分别与这两条直线垂直。 【即时练习3】判断：若，，且m、n都在平面α内，则。 【答案】 错误。 【解析】 还必须说明与相交。平面内两条不相交的直线不能直接作为判定线面垂直的两条直线。 【即时练习4】应用判定定理时，需要核对哪三类条件？ 【答案】 平面归属条件、两线相交条件和两组线线垂直条件。 【解析】 先确认两条直线都在目标平面内，再确认两条直线相交，最后分别证明待判定直线与它们垂直，才能得到线面垂直。 三、典型例题 例4 四个面都是正三角形的四面体称为正四面体。已知正四面体ABCD，如图4-63所示。求证：。 教材图4-63 【答案】 。 【解析】 设BD的中点为O，连接AO、CO。因为正四面体ABCD的四个面都是正三角形，所以，。又，且AO、CO在平面AOC内，故。根据直线与平面垂直的定义，由AC在平面AOC内，可知。 【知识检测】证明直线l与平面α垂直时，在平面α内找到直线、后，还必须证明哪三项关系？ 【答案】 ，，。 【解析】 两条直线在平面内只是归属条件，还要有两线相交以及待判定直线分别与两线垂直，才能使用判定定理。 依次呈现定义、线面到线线的转化和判定定理，通过条件核对与例题证明突破相交条件这一难点。 课堂背诵 完成下列挖空并逐项复述。 1．如果一条直线和一个平面内的____一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面互相垂直。 【答案】 任何。 【解析】 “任何”表示平面内每一条直线，不只是经过垂足的直线。 2．直线与平面垂直时，这条直线称为平面的____，平面称为直线的____，直线与平面的交点称为____。 【答案】 垂线；垂面；垂足。 【解析】 三个术语分别对应直线、平面和交点。 3．如果一条直线与平面内的两条____直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直。 【答案】 相交。 【解析】 “在平面内”“相交”“分别垂直”是使用判定定理时必须同时核对的条件。 用定义关键词、术语对应和定理条件挖空检查准确记忆，强化“任何”与“相交”两个关键限定。 师生互动 小组任务：判断下面三组条件能否判定旗杆l与地面α垂直，并逐项说明理由。 （1）旗杆l分别与地面α内两条平行标线、垂直。 （2）旗杆l分别与地面α内两条相交标线、垂直。 （3）旗杆l分别与两条相交直线、垂直，但没有说明、是否在地面α内。 【答案】 （1）不能；（2）能；（3）不能。 【解析】 第（1）组缺少两条直线相交这一条件；第（2）组同时具备两线在平面内、两线相交和旗杆分别与两线垂直，可以判定旗杆与地面垂直；第（3）组缺少两条直线在目标平面内的归属条件。 教师归纳：先确定目标平面，再在该平面内选取两条相交直线，最后逐一核对待证直线与它们垂直。 通过旗杆安装条件辨析组织交流和纠错，使学生能逐项说明判定定理的必要条件并诊断遗漏。 课堂练习 1．判断：如果直线垂直于平面α内的无数条直线，那么⊥α。 【答案】 错误。 【解析】 平面内无数条互相平行的直线也可能都与垂直，但这不能保证与平面内任何一条直线都垂直；判定时必须找到两条相交直线。 2．判断：如果，，且，，那么。 【答案】 错误。 【解析】 条件中没有说明与相交，不能直接使用直线与平面垂直的判定定理。 3．已知直线，点P在平面β内，过点P作直线b。判断与b的位置关系。 【答案】 。 【解析】 直线在平面β内，根据直线与平面垂直的定义，与平面β内任何一条直线都垂直。 4．在正方体中，判断棱与底面ABCD是否垂直，并说明理由。 【答案】 与底面ABCD垂直。 【解析】 在底面ABCD内，AB与AD相交于A；正方体的侧面都是正方形，因此，。由直线与平面垂直的判定定理可知。 5．某中职学校安装旗杆时，需要保证旗杆与地面垂直。请设计一个利用地面标线进行检验的方案。 【答案】 在地面上经过旗杆底部画两条相交直线，分别检验旗杆与这两条直线是否垂直；若均垂直，则可判定旗杆与地面垂直。 【解析】 两条标线都在地面内并且相交，旗杆分别与两条标线垂直，满足线面垂直判定定理的全部条件。 用判断、直接应用、立体图形证明和方案设计形成梯度检测，反馈学生对定义与判定条件的掌握。 课堂小结 学生回答：什么叫直线与平面垂直？由线面垂直能得到怎样的线线关系？判定线面垂直要核对哪些条件？ 【答案】 一条直线与一个平面内任何一条直线都垂直，称这条直线与这个平面互相垂直。若，且，则。判定线面垂直时，要在平面内找到两条相交直线，并分别证明待判定直线与它们垂直。 【解析】 定义强调“任何一条直线”；由线面垂直可以推出线线垂直；使用判定定理时最容易遗漏的是两条直线必须相交。 围绕定义、线面到线线的转化和判定条件整理知识联系，回应导入并突出最易遗漏的相交条件。 作业布置 1．复习本节课的知识点； 2．完成课后练习； 3．整理笔记和易错题。 教学反思 课堂实施中需关注无人机直观情境向严格定义的过渡，避免学生把“看起来垂直”作为判断依据。定义教学可增加对不过垂足直线的说明，帮助学生理解“任何一条直线”的范围；判定定理应让学生反复核对平面归属、两线相交和两组垂直条件。例4讲解可适当减少教师包办，先让学生寻找平面内的相交直线并补全证明链。若课堂练习中相交条件遗漏较多，后续可增加平行线反例和同伴互检，优化辨析梯度与反馈方式。 学科网（北京）股份有限公司 $