4.3.1 直线与平面的位置关系及平行判定（教案）-高教版第三版《数学 拓展模块一（上册）》【上好课】

该教案聚焦直线与平面的位置关系及平行判定，通过铅笔与桌面的公共点个数观察导入，衔接平面基本性质和空间直线关系，构建从直观到分类的学习支架。 以直观演示和问题探究为特色，用打开的书抽象判定定理，结合棱柱、空间四边形例题落实三个条件，培养直观想象与逻辑推理素养。讲练结合的梯度练习助学生规范证明，为教师提供清晰教学环节和纠错策略，提升教学效率。

高教版第三版《数学》拓展模块一（上册） 第4章 立体几何 4.3.1 直线与平面的位置关系及平行判定 授课班级 授课类型 新授课 授课教师 教学时长 1课时（45分钟） 教材分析 教材以平面的基本性质和空间两直线的位置关系为基础，从铅笔与桌面的公共点个数入手，先建立直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种位置关系，再借助打开的书抽象出直线与平面平行的判定定理，并通过棱柱、空间四边形中的例题落实判定定理的三个条件和规范证明方法。 本课承接平面与空间直线知识，完成直线与平面位置关系及平行判定的基础学习，为后续研究直线与平面的垂直关系以及平面之间的位置关系奠定基础。 学情分析 学生已经认识平面及空间中直线的相交、平行和异面关系，能够在长方体、棱柱等模型中辨认线与面。但学生容易只凭图形外观判断线面关系，或在应用平行判定定理时遗漏“直线在平面外”“平行线在平面内”等前提。教学中应以公共点个数作为分类依据，通过实物观察、条件辨析和规范证明，引导学生完整写出定理的三个条件。 教学目标 1．理解直线与平面的三种位置关系及其公共点特征，掌握直线与平面平行的判定定理。 2．能依据公共点个数判断直线与平面的位置关系，能运用平行判定定理在棱柱、空间四边形等模型中证明线面平行。 3．经历实物观察、条件抽象和推理证明过程，提升直观想象与逻辑推理素养，形成逐项核对定理前提的规范表达意识。 教学重难点 教学重点：直线与平面的三种位置关系；直线与平面平行的判定定理及规范应用。 教学难点：准确证明直线在平面外、平面内存在与它平行的直线，并完整写出线面平行的推理链。 教学方法 直观演示法、问题探究法、讲练结合法。 课前准备 教师准备：教材、演示课件。 学生准备：教材、笔记本。 教学环节设计 教学环节 教学内容 设计意图 教学导入 观察图。把一支铅笔平放在桌面上、水平拿起、再竖直放在桌面上，铅笔所在直线与桌面分别有几个公共点？ 学生根据实物状态依次回答，教师追问：能否用公共点个数把直线与平面的所有位置关系准确分类？ 【答案】 平放时有无数个公共点；水平拿起时没有公共点；竖直放置时只有一个公共点。 【解析】 一条直线与一个平面有两个公共点时，直线上的所有点都在这个平面内；除此之外，两者只能有一个公共点或没有公共点，由此得到三种位置关系。 教材图4-50 借助铅笔与桌面的实物变化建立公共点数量表象，引导学生从直观观察过渡到准确分类。 新知讲授 一、直线与平面的三种位置关系 1．直线在平面内。此时直线与平面有无数个公共点。 当直线在平面α内时，记作。 2．直线与平面相交。此时直线与平面只有一个公共点。 当直线b与平面α相交于点B时，记作。 3．直线与平面平行。此时直线与平面没有公共点。 当直线c与平面α平行时，记作。 直线l与平面α相交或平行，称直线l在平面α外，记作。 教材图4-51 【即时练习1】一条直线与一个平面有两个公共点，这条直线与平面是什么位置关系？ 【答案】 直线在平面内，两者有无数个公共点。 【解析】 根据平面的基本性质，一条直线上的两个点在平面内，则这条直线上的所有点都在该平面内。 【即时练习2】判断：一条直线在一个平面外，就一定与这个平面平行。 【答案】 错误。 【解析】 直线在平面外包括直线与平面相交、直线与平面平行两种情况。 二、直线与平面平行的判定 观察图。一本打开的书的封面右边沿所在直线不在内页所在平面α内，书脊所在直线在平面α内，且∥。直线与平面α是什么位置关系？ 【答案】 直线m与平面α平行，即。 【解析】 直线m在平面α外，直线n在平面α内，并且，满足线面平行判定定理的全部条件。 教材图4-52、图4-53 直线与平面平行的判定定理 如果平面外的一条直线与这个平面内的一条直线平行， 那么这条平面外直线与这个平面平行. 定理的符号条件可写为：。应用时必须逐项说明三项前提。 例1 如图4-54所示，在棱柱中：（1）与平面AC平行的棱所在直线有哪些？（2）判断与平面的位置关系。 【答案】 （1）。（2）。 【解析】 （1）因为棱柱各侧面均为平行四边形，所以。又因为这条上底面棱不在平面AC内，AB在平面AC内，所以该上底面棱与平面AC平行；同理可得其余三条直线。（2）因为，且前一条直线不在平面DBB₁D₁内，后一条直线在该平面内，所以。 教材图4-54 例2 在空间四边形ABCD中，点E、F分别是AB、AD的中点，如图所示。求证：EF∥平面BCD。 【答案】 EF∥平面BCD。 【解析】 连接E、F。因为E、F分别是AB、AD的中点，所以EF∥BD。又因为EF不在平面BCD内，BD在平面BCD内，所以EF∥平面BCD。 教材图4-55 【即时练习3】判断：若∥，在平面α内，则∥α。 【答案】 错误。 【解析】 还必须说明直线在平面α外；若也在平面α内，则不能得到∥α。 【即时练习4】应用线面平行判定定理时，需要核对哪三个条件？ 【答案】 待证直线在平面外；平面内有一条直线；这两条直线平行。 【解析】 三个条件分别保证线面关系、辅助直线归属和线线平行，缺少任一条件都不能直接使用判定定理。 【知识检测】填空：证明一条直线与平面平行时，常在平面内寻找一条与待证直线____的直线，并确认待证直线在____。 【答案】 平行；平面外。 【解析】 这两项分别对应判定定理中的线线平行条件和待证直线的归属条件。 按照位置分类、判定条件、例题证明和性质应用的顺序推进，使学生形成完整的线面平行推理链。 课堂背诵 完成下列挖空并逐项复述。 1．直线与平面有三种位置关系：直线在平面内、直线与平面____、直线与平面____。 【答案】 相交；平行。 【解析】 三种关系分别对应无数个、一个和零个公共点。 2．如果平面外的一条直线与这个平面内的一条直线____，那么这条平面外直线与这个平面平行。 【答案】 平行。 【解析】 使用判定定理时还要同时确认两条直线分别在平面外和平面内。 通过位置分类和两个定理关键词的挖空复述，检查学生对条件、结论及其差异的准确记忆。 师生互动 小组任务：在棱柱中，判断下列推理能否直接证明线面平行，并说明理由。 （1），AB在平面AC内，所以这条上底面棱与平面AC平行。 （2），前一条直线不在平面DBB₁D₁内，后一条直线在该平面内，所以前一条直线与平面DBB₁D₁平行。 【答案】 （1）不能直接证明，缺少A1B1在平面AC外这一条件。（2）能够直接证明。 【解析】 线面平行判定必须同时具备待证直线在平面外、辅助直线在平面内、两直线平行三个条件。第（1）项只写出了后两项，第（2）项三项齐全。 教师归纳：应用定理时先确定“哪条线、哪个面”，再依次核对平面外、平面内和平行三个条件，最后写出线面平行结论。 利用条件完整性辨析组织交流和纠错，让学生在互评中发现遗漏并形成规范的定理应用表达。 课堂练习 1．若一条直线与一个平面没有公共点，则这条直线与这个平面的位置关系是（　　）。 A．在平面内　B．相交　C．平行　D．不能确定 【答案】 C。 【解析】 直线与平面没有公共点，按定义两者平行。 2．判断：若∥，在平面α内，那么一定与平面α平行。 【答案】 错误。 【解析】 缺少在平面α外这一前提，也可能在平面α内。 3．填空：一条直线与一个平面相交时有____个公共点；一条直线在一个平面内时有____个公共点。 【答案】 一；无数。 【解析】 公共点个数是判断三种线面位置关系的直接依据。 4．在四面体ABCD中，点E、F分别是AB、AD上的点，且。求证：。 【答案】 EF∥平面BCD。 【解析】 在三角形ABD中，因为AE与AB的比等于AF与AD的比，所以EF∥BD。又EF不在平面BCD内，BD在平面BCD内，因此EF∥平面BCD。 用选择、判断、填空、证明和纠错形成梯度检测，反馈学生对位置分类及定理条件的掌握情况。 课堂小结 学生回答：直线与平面怎样按公共点个数分类？证明线面平行要核对哪些条件？ 【答案】 有无数个公共点时直线在平面内，只有一个公共点时直线与平面相交，没有公共点时直线与平面平行。利用判定定理证明线面平行，要说明待证直线在平面外、平面内有一条直线，并证明两条直线平行。【解析】 判断位置先看公共点；使用判定定理要防止遗漏前提。 围绕公共点分类、判定条件和性质结论组织回顾，帮助学生形成清晰可迁移的知识结构。 作业布置 1．复习本节课的知识点； 2．完成课后练习； 3．整理笔记和易错题。 教学反思 课堂实施中需关注实物观察与数学抽象的衔接，避免学生只凭图形外观判断线面关系。位置分类环节可增加学生用公共点个数解释结论的机会；判定定理教学应留出逐项核对条件和板演证明的时间，重点纠正遗漏“直线在平面外”的问题。例题较多时要控制教师讲解比例，让学生先寻找平面内的平行线并说明归属。 学科网（北京）股份有限公司 $