4.2.2 异面直线之间的距离（练习）-高教版第三版《数学 拓展模块一（上册）》【上好课】（原卷版+解析版）

**基本信息** 中职数学高教版拓展模块一（上册）第4章4.2.2“异面直线之间的距离”同步练，适配新授课，以“概念辨析-几何体应用-综合论证”分层设计，强化空间观念与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|公垂线定义及距离概念|选择填空结合，辨析“垂直且相交”等核心要素，培养抽象能力| |提升层|长方体/正方体中距离计算|结合几何体模型（如棱长2的正方体），强化空间观念| |应用层|综合论证|解答题要求计算并说明公垂线段依据，发展推理能力|

高教版第三版《数学》拓展模块一（上册） 第4章 立体几何 4.2.2 异面直线之间的距离 一、选择题 1. 下列条件中，能完整说明直线l是两条异面直线的公垂线的是（　　）。 A. l分别与两条直线平行 B. l与两条直线都垂直 C. l与两条直线都垂直且分别相交 D. l与两条直线都相交 2. 关于两条异面直线的公垂线，下列说法正确的是（　　）。 A. 至少有两条 B. 有且只有一条 C. 有无数条 D. 条数随所取交点改变 3. 两条异面直线之间的距离等于（　　）。 A. 任意连接两直线上两点的线段长 B. 两条直线所成角的大小 C. 公垂线段的长度 D. 两条直线的长度之和 4. 要证明线段PQ是两条异面直线、的公垂线段，最少需要核对（　　）。 A. PQ只与垂直且P在上 B. PQ只与垂直且Q在上 C. PQ所在直线分别垂直、且P、Q分别在、上 D. PQ与、都相交即可 二、填空题 5. 两条异面直线的公垂线有且只有____条；公垂线夹在两个交点之间的部分叫作____。 6. 若已判定公垂线段PQ的长度为5，则两条异面直线之间的距离为____。 7. 在长方体₁B₁C₁D₁中，直线AA₁与BC之间的距离等于线段____的长度。 8. 判断线段是否为公垂线段时，除检查‘所在直线分别垂直’外，还要检查两个端点是否分别落在两条异面直线____。 一、选择题 9. 正方体₁B₁C₁D₁的棱长为2，直线AA₁与底面对角线BD之间的距离是（　　）。 A. 1 B. 2 C. D. 2 10. 在正方体中，棱AD、A₁D₁、B₁C₁、BC所在直线都与异面直线AB、DD₁垂直。能作为公垂线的是（　　）。 A. AD B. A₁D₁ C. B₁C₁ D. BC 11. 若一条线段被判定为两条异面直线的公垂线段，则关于这两条异面直线的位置关系，下列说法正确的是（　　）。 A. 只能说明两直线平行 B. 只能说明两直线相交 C. 可用所成的角和距离两个量作定量描述 D. 两直线一定在同一平面内 二、填空题 12. 长方体₁B₁C₁D₁中，，，BB₁=5，则直线AA₁与BC之间的距离为____。 13. 用GeoGebra验证两条异面直线f、g的距离时，先作公垂线h与f、g的交点E、F，再隐藏h并作线段EF；此时应验证EF分别与f、g____，且距离等于EF的____。 14. 正方体₁B₁C₁D₁棱长为3，直线AA₁与BD之间的距离为____。 三、解答题 15. 在棱长为的正方体₁B₁C₁D₁中，求直线AA₁与底面对角线BD之间的距离，并说明所取线段为何是公垂线段。 学科网（北京）股份有限公司 $ 高教版第三版《数学》拓展模块一（上册） 第4章 立体几何 4.2.2 异面直线之间的距离 一、选择题 1. 下列条件中，能完整说明直线l是两条异面直线的公垂线的是（　　）。 A. l分别与两条直线平行 B. l与两条直线都垂直 C. l与两条直线都垂直且分别相交 D. l与两条直线都相交 【答案】C 【解析】公垂线必须同时满足‘垂直’和‘分别相交’两个条件。 2. 关于两条异面直线的公垂线，下列说法正确的是（　　）。 A. 至少有两条 B. 有且只有一条 C. 有无数条 D. 条数随所取交点改变 【答案】B 【解析】教材结论规定，两条异面直线的公垂线有且只有一条。 3. 两条异面直线之间的距离等于（　　）。 A. 任意连接两直线上两点的线段长 B. 两条直线所成角的大小 C. 公垂线段的长度 D. 两条直线的长度之和 【答案】C 【解析】距离的定义是公垂线段的长度，不能用任意连接线段代替。 4. 要证明线段PQ是两条异面直线、的公垂线段，最少需要核对（　　）。 A. PQ只与垂直且P在上 B. PQ只与垂直且Q在上 C. PQ所在直线分别垂直、且P、Q分别在、上 D. PQ与、都相交即可 【答案】C 【解析】证明链包含两个垂直关系和两个交点归属，缺一不可。 二、填空题 5. 两条异面直线的公垂线有且只有____条；公垂线夹在两个交点之间的部分叫作____。 【答案】一；公垂线段 【解析】唯一性给出条数；公垂线在两交点之间的部分是公垂线段。 6. 若已判定公垂线段PQ的长度为5，则两条异面直线之间的距离为____。 【答案】5 【解析】两条异面直线的距离按定义就是公垂线段PQ的长度。 7. 在长方体₁B₁C₁D₁中，直线AA₁与BC之间的距离等于线段____的长度。 【答案】AB 【解析】AB分别垂直AA₁和BC，并在A、B处相交，因此AB是公垂线段。 8. 判断线段是否为公垂线段时，除检查‘所在直线分别垂直’外，还要检查两个端点是否分别落在两条异面直线____。 【答案】上（即分别相交） 【解析】公垂线的第二个必要条件是分别与两条异面直线相交。 一、选择题 9. 正方体₁B₁C₁D₁的棱长为2，直线AA₁与底面对角线BD之间的距离是（　　）。 A. 1 B. 2 C. D. 2 【答案】C 【解析】在底面正方形中，从A向BD作垂线，垂足为BD中点，垂线段长为正方形边长的一半乘，即；该线段同时垂直AA₁。 10. 在正方体中，棱AD、A₁D₁、B₁C₁、BC所在直线都与异面直线AB、DD₁垂直。能作为公垂线的是（　　）。 A. AD B. A₁D₁ C. B₁C₁ D. BC 【答案】A 【解析】四条棱虽都同时垂直，但只有AD分别与AB、DD₁相交；因此只有AD满足公垂线定义。 11. 若一条线段被判定为两条异面直线的公垂线段，则关于这两条异面直线的位置关系，下列说法正确的是（　　）。 A. 只能说明两直线平行 B. 只能说明两直线相交 C. 可用所成的角和距离两个量作定量描述 D. 两直线一定在同一平面内 【答案】C 【解析】公垂线段给出距离；教材总结指出，异面直线还可用所成的角与距离两个量定量描述。 二、填空题 12. 长方体₁B₁C₁D₁中，，，BB₁=5，则直线AA₁与BC之间的距离为____。 【答案】3 【解析】AB是AA₁与BC的公垂线段，故距离等于；另外两条棱长不影响该公垂线段。 13. 用GeoGebra验证两条异面直线f、g的距离时，先作公垂线h与f、g的交点E、F，再隐藏h并作线段EF；此时应验证EF分别与f、g____，且距离等于EF的____。 【答案】垂直；长度 【解析】验证公垂线段必须检查两个垂直关系；距离由公垂线段长度给出。 14. 正方体₁B₁C₁D₁棱长为3，直线AA₁与BD之间的距离为____。 【答案】 【解析】 三、解答题 15. 在棱长为的正方体₁B₁C₁D₁中，求直线AA₁与底面对角线BD之间的距离，并说明所取线段为何是公垂线段。 【答案】 【解析】底面ABCD是边长的正方形，等腰直角三角形ABD中斜边BD的中线AM既是高，故。AM在水平底面内，因而垂直竖直棱AA₁；又与BD相交于M、与AA₁相交于A，满足公垂线段的垂直和相交条件。 学科网（北京）股份有限公司 $