4.2.2 异面直线之间的距离（课件）-高教版第三版《数学 拓展模块一（上册）》【上好课】

该中职数学课件聚焦异面直线的公垂线、公垂线段及距离，通过“同时垂直是否足够”的问题导入，结合长方体模型分析棱与异面直线的垂直和相交关系，搭建从“垂直”到“垂直且相交”的概念支架，衔接异面直线知识，为距离计算铺垫。 其亮点是以问题驱动概念建构，通过长方体、正方体模型观察培养直观想象，借助辨析练习和“找-证-算”步骤提升逻辑推理。小结明确易错点和步骤，学生能形成结构化思维，教师可直接用实例和练习提高教学效率。

高教版第三版《数学》 拓展模块一（上册） 第4章 立体几何 4.2.2 异面直线之间的距离 学习目标 1．理解两条异面直线的公垂线、公垂线段和距离的概念，知道两条异面直线的公垂线有且只有一条。 2．能在长方体、正方体等模型中确定公垂线段，依据垂直与相交关系说明理由，并求出两条异面直线之间的距离。 3．通过观察、筛选、说明和计算，把空间距离转化为线段长度，提升直观想象与逻辑推理素养。 只要同时垂直就够了吗？ 问题：这些棱中，哪些所在直线与、都垂直？哪一条还分别与、相交？ 、、、所在直线都与、垂直；其中只有所在直线分别与、相交。 教师归纳：仅“同时垂直”还不能唯一确定一条直线，还要检查它是否分别与两条异面直线相交。 公垂线与公垂线段 与两条异面直线同时垂直且相交的直线称为这两条异面直线的公垂线.两条异面直线的公垂线有且只有一条. 两条异面直线的公垂线夹在两条异面直线之间的部分，称为这两条异面直线的公垂线段，公垂线段的长度称为两条异面直线的距离. 公垂线是直线；公垂线段是两个交点之间的线段；距离是线段的长度。 辨析：同时垂直是否充分？ 即时基础练习1：判断“与两条异面直线都垂直的直线就是它们的公垂线”是否正确，并说明理由。 答案：不正确。 解析：公垂线除与两条异面直线都垂直外，还必须分别与这两条异面直线相交。 公垂线有几条？距离是哪一段？ 即时基础练习2：两条异面直线的公垂线有多少条？它的哪一部分的长度表示两条异面直线的距离？ 【答案】公垂线有且只有一条；公垂线夹在两条异面直线之间的线段长度表示距离。 【解析】先确定唯一的公垂线，再取它在两个交点之间的线段作为公垂线段。 例5：怎样确定公垂线段？ 例5　在长方体-中，，求异面直线与之间的距离。 分析：在长方体中寻找一条线段，使其所在直线分别与、垂直，并使两个端点分别落在这两条异面直线上。 寻找：端点分别在线上，并同时满足垂直与相交。 例5：证明并求出距离 解　因为长方体-的六个面都是矩形，所以， 又=B_1，=B 所以线段是异面直线与的公垂线段。 因为=1，所以与之间的距离等于1。 先证明是公垂线段，再用它的长度表示距离。 即时练习：找线段，再求长度 即时基础练习3：在正方体-中，指出异面直线与的一条公垂线段。 答案：线段。 解析：，，并且分别与、相交，所以是公垂线段。 即时基础练习4：已知上述正方体棱长为2，求直线与之间的距离。 答案：2。 解析：线段是公垂线段，，所以两条异面直线之间的距离为2。 求异面直线距离的路径 知识检测：确定异面直线距离时，必须依次完成哪两类任务？ 答案：先确定并证明公垂线段，再求公垂线段的长度。 解析：只有先验证同时垂直且分别相交，所得线段长度才能作为异面直线之间的距离。 找线段 → 证垂直且相交 → 算公垂线段长度 课堂背诵（一） 1．与两条异面直线同时____且____的直线，称为这两条异面直线的公垂线。 答案：垂直；相交。 2．两条异面直线的公垂线有且只有____条。 答案：一。 课堂背诵（二） 3．两条异面直线的公垂线夹在两条异面直线之间的部分称为____，它的____称为两条异面直线的距离。 答案：公垂线段；长度。 条件辨析：A₁D₁能否作公垂线段？ （1）所在直线与、都垂直，所以是与的公垂线段。 答案：错误。 解析：虽与、都垂直，但不与、相交，不能作为公垂线段。 条件辨析与距离计算 （2）是与的公垂线段。 答案：正确。 解析：，，且分别与、相交，所以是公垂线段。 （3）若正方体棱长为3，则与之间的距离是多少？ 答案：3。 解析：是公垂线段，，因此距离为3。 课堂练习：公垂线的定义 1．选择题：两条异面直线的公垂线是指（　　）。 A．与两条异面直线都垂直的直线　 B．与两条异面直线都垂直相交的直线 C．与两条异面直线都垂直相交且夹在两交点之间的线段　 D．与两条异面直线都相交的所有直线 答案：B。 解析：B同时满足“与两条异面直线垂直”和“分别相交”；C描述的是公垂线段。 课堂练习：任意连接线段可以吗？ 2．判断题：两条异面直线之间的距离就是连接两条直线上任意两点所得线段的长度。（　　） 答案：错误。 解析：距离是公垂线段的长度，不是任意连接线段的长度。 课堂练习：找出公垂线段 3．填空题：在长方体-中，直线与的一条公垂线段是____。 答案：。 解析：分别与、垂直并相交。 课堂练习：棱长为1的正方体 4．已知正方体-的棱长为1，求直线与之间的距离，并写出理由。 答案：1。 解析：线段分别与、垂直并相交，是公垂线段；，所以距离为1。 课堂练习：长方体综合 5．在长方体-中，=1，。求直线与之间的距离。 答案：1。 解析：线段分别与、垂直并相交，是公垂线段；，所以距离为1。 4．查：不能只看“同时垂直”，两个交点也必须逐一说明。 把空间距离转化为线段长度 1．找：找一条连接两条异面直线的线段。 2．证：分别证明所在直线与两条异面直线垂直且相交。 3．算：计算公垂线段的长度。 课堂小结 用自己的话回答：什么是公垂线？怎样求两条异面直线之间的距离？ 答案：公垂线必须同时与两条异面直线垂直并分别相交；公垂线夹在两个交点之间的线段是公垂线段，其长度就是两条异面直线之间的距离。求距离时，先确定并证明公垂线段，再计算它的长度。 解析：易错点是把“同时垂直”当成充分条件，或找到连接线段后没有说明垂直与相交关系。 公垂线：同时垂直并分别相交　　距离：公垂线段的长度 求距：找线段 → 证垂直与相交 → 算长度 作业布置 1．复习本节课的知识点； 2．完成课后练习； 3．整理笔记和易错题。 $