4.2.2 异面直线之间的距离（教案）-高教版第三版《数学 拓展模块一（上册）》【上好课】

该教案聚焦“异面直线之间的距离”核心知识点，通过正方体模型观察棱与异面直线的垂直及相交关系，衔接已学的异面直线位置关系，搭建从“同时垂直”到“垂直且相交”的学习支架，引导学生理解公垂线、公垂线段概念。 特色在于依托立体模型采用直观演示与问题探究法，通过对比辨析（如判断“仅垂直即公垂线”的错误）培养逻辑推理，小组互动强化数学语言表达（如说明公垂线段需垂直且相交）。帮助学生提升直观想象与空间转化能力，为教师提供清晰的概念辨析与分层练习路径，提升教学效率。

高教版第三版《数学》拓展模块一（上册） 第4章 立体几何 4.2.2 异面直线之间的距离 授课班级 授课类型 新授课 授课教师 教学时长 1课时（45分钟） 教材分析 教材在学生已经认识空间两条直线的位置关系、掌握异面直线判定及所成角的基础上，借助正方体模型观察同时垂直于两条异面直线的棱，依次给出公垂线、公垂线段和异面直线距离的概念，再通过长方体中的典型例题建立“判定公垂线段—求线段长度”的基本路径。 本课承接异面直线及其夹角的学习，使学生能够从角与距离两个方面定量描述异面直线的位置关系，并为后续研究直线与平面的位置关系以及空间垂直问题积累直观经验和推理基础。 学情分析 学生能够在长方体、正方体中识别平行、相交和异面的直线，也能利用平移求异面直线所成的角，但容易把“同时垂直”误认为公垂线，忽略还须分别与两条异面直线相交。教学中需依托立体模型进行筛选、比较和规范证明，并通过由棱长求距离的任务巩固空间问题向线段长度的转化。 教学目标 1．理解两条异面直线的公垂线、公垂线段和距离的概念，知道两条异面直线的公垂线有且只有一条。 2．能在长方体、正方体等模型中确定公垂线段，依据垂直与相交关系说明理由，并求出两条异面直线之间的距离。 3．通过观察、筛选、说明和计算，把空间距离转化为线段长度，提升直观想象与逻辑推理素养。 教学重难点 教学重点：理解公垂线、公垂线段和异面直线距离的概念，能确定并证明公垂线段。 教学难点：准确把握公垂线须同时满足垂直与相交条件，把空间距离转化为熟悉的线段长度。 教学方法 直观演示法、问题探究法、对比辨析法、讲练结合法。 课前准备 教师准备：教材、演示课件。 学生准备：教材、笔记本。 教学环节设计 教学环节 教学内容 设计意图 教学导入 教师呈现正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，指出异面直线AB与DD₁，请学生观察棱AD、A₁D₁、B₁C₁、BC。 问题：这些棱中，哪些所在直线与AB、DD₁都垂直？哪一条还分别与AB、DD₁相交？ 学生观察后回答：AD、A₁D₁、B₁C₁、BC所在直线都与AB、DD₁垂直；其中只有AD所在直线分别与AB、DD₁相交。 教师归纳：仅“同时垂直”还不能唯一确定一条直线，还要检查它是否分别与两条异面直线相交。由此引出公垂线和异面直线之间距离的学习。 借助熟悉的正方体模型形成条件冲突，引导学生从同时垂直进一步关注分别相交。 新知讲授 一、公垂线与公垂线段 与两条异面直线同时垂直且相交的直线称为这两条异面直线的公垂线.两条异面直线的公垂线有且只有一条. 两条异面直线的公垂线夹在两条异面直线之间的部分，称为这两条异面直线的公垂线段，公垂线段的长度称为两条异面直线的距离. 辨析：公垂线是直线，须同时与两条异面直线垂直并相交；公垂线段是公垂线夹在两个交点之间的部分。只满足同时垂直而不分别相交，不能判定为公垂线。 即时基础练习1：判断“与两条异面直线都垂直的直线就是它们的公垂线”是否正确，并说明理由。 【答案】不正确。 【解析】公垂线除与两条异面直线都垂直外，还必须分别与这两条异面直线相交。 即时基础练习2：两条异面直线的公垂线有多少条？它的哪一部分的长度表示两条异面直线的距离？ 【答案】公垂线有且只有一条；公垂线夹在两条异面直线之间的线段长度表示距离。 【解析】先确定唯一的公垂线，再取它在两个交点之间的线段作为公垂线段。 二、确定公垂线段并求距离 例5　在长方体ABCD-中，，求异面直线与BC之间的距离。 分析：在长方体中寻找一条线段，使其所在直线分别与、BC垂直，并使两个端点分别落在这两条异面直线上。 解　因为长方体ABCD-的六个面都是矩形，所以 又 所以线段是异面直线与BC的公垂线段。 因为，所以与BC之间的距离等于1。 方法归纳：第一步，找一条连接两条异面直线的线段；第二步，分别证明该线段所在直线与两条异面直线垂直且相交；第三步，计算这条公垂线段的长度。 即时基础练习3：在正方体₁B₁C₁D₁中，指出异面直线AB与CC₁的一条公垂线段。 【答案】线段BC。 【解析】BC⊥AB，BC⊥CC₁，并且BC分别与AB、CC₁相交，所以BC是公垂线段。 即时基础练习4：已知上述正方体棱长为2，求直线AB与CC₁之间的距离。 【答案】2。 【解析】线段BC是公垂线段，，所以两条异面直线之间的距离为2。 知识检测：确定异面直线距离时，必须依次完成哪两类任务？ 【答案】先确定并证明公垂线段，再求公垂线段的长度。 【解析】只有先验证同时垂直且分别相交，所得线段长度才能作为异面直线之间的距离。 按概念辨析、例题证明和即时练习逐层推进，使学生形成确定公垂线段并求长度的路径。 课堂背诵 合上教材，完成下列填空。 1．与两条异面直线同时____且____的直线，称为这两条异面直线的公垂线。 【答案】垂直；相交。 【解析】两个条件缺一不可。 2．两条异面直线的公垂线有且只有____条。 【答案】一。 【解析】唯一性保证两条异面直线之间的距离是确定的。 3．两条异面直线的公垂线夹在两条异面直线之间的部分称为____，它的____称为两条异面直线的距离。 【答案】公垂线段；长度。 【解析】要区分作为直线的公垂线和作为线段的公垂线段。 利用挖空复述检查关键词提取，促使学生准确记住垂直、相交、线段和长度。 师生互动 任务：在正方体₁B₁C₁D₁中，小组判断下列说法，并说明理由。 （1）A₁D₁所在直线与AB、DD₁都垂直，所以A₁D₁是AB与DD₁的公垂线段。 【答案】错误。 【解析】A₁D₁虽与AB、DD₁都垂直，但不与AB、DD₁相交，不能作为公垂线段。 （2）AD是AB与DD₁的公垂线段。 【答案】正确。 【解析】AD⊥AB，AD⊥DD₁，且AD分别与AB、DD₁相交，所以AD是公垂线段。 （3）若正方体棱长为3，则AB与DD₁之间的距离是多少？ 【答案】3。 【解析】AD是公垂线段，，因此距离为3。 教师归纳：筛选公垂线段不能只看直角，还要逐一检查两个交点；确定后再读取或计算线段长度。 通过错误判断、理由说明和小组互评诊断条件遗漏，强化垂直与相交的联合判定。 课堂练习 1．选择题：两条异面直线的公垂线是指（　　）。 A．与两条异面直线都垂直的直线　B．与两条异面直线都垂直相交的直线 C．与两条异面直线都垂直相交且夹在两交点之间的线段　D．与两条异面直线都相交的所有直线 【答案】B。 【解析】B同时满足“与两条异面直线垂直”和“分别相交”；C描述的是公垂线段。 2．判断题：两条异面直线之间的距离就是连接两条直线上任意两点所得线段的长度。（　　） 【答案】错误。 【解析】距离是公垂线段的长度，不是任意连接线段的长度。 3．填空题：在长方体₁B₁C₁D₁中，直线A₁B₁与BC的一条公垂线段是____。 【答案】B₁B。 【解析】B₁B分别与A₁B₁、BC垂直并相交。 4．已知正方体₁B₁C₁D₁的棱长为1，求直线A₁D₁与CD之间的距离，并写出理由。 【答案】1。 【解析】线段D₁D分别与A₁D₁、CD垂直并相交，是公垂线段；D₁，所以距离为1。 5．在长方体₁B₁C₁D₁中，，BB₁=3。求直线AD与B₁B之间的距离。 【答案】1。 【解析】线段AB分别与AD、B₁B垂直并相交，是公垂线段；，所以距离为1。 用选择、判断、填空和规范书写形成梯度检测，依据错误类型反馈概念与证明漏洞。 课堂小结 学生先用自己的话回答：什么是公垂线？怎样求两条异面直线之间的距离？ 【答案】公垂线必须同时与两条异面直线垂直并分别相交；公垂线夹在两个交点之间的线段是公垂线段，其长度就是两条异面直线之间的距离。求距离时，先确定并证明公垂线段，再计算它的长度。 【解析】易错点是把“同时垂直”当成充分条件，或找到连接线段后没有说明垂直与相交关系。 教师归纳：两条异面直线可以从所成的角和距离两个方面定量描述；本节求距离的关键是把空间问题转化为公垂线段的长度问题。 通过学生概括与教师归纳把概念、判定条件和求距步骤结构化，并回应导入问题。 作业布置 1．复习本节课的知识点； 2．完成课后练习； 3．整理笔记和易错题。 教学反思 本课可进一步优化模型观察与书面证明之间的衔接。学生通常能凭直观找到公垂线段，但在说明理由时容易只写“垂直”，遗漏分别相交的条件。课堂实施中应增加对错误方案的追问，让学生按两个垂直关系、两个交点和线段长度的顺序完整表达。例5讲解后还可根据作答情况调整基础辨析与综合计算的比例，避免前段概念讲解过长而压缩达标练习和反馈时间，并关注学生是否真正形成由空间距离转化为线段长度的思路。 学科网（北京）股份有限公司 $