4.2.2 异面直线及其夹角（课件）-高教版第三版《数学 拓展模块一（上册）》【上好课】

该中职数学课件聚焦“异面直线及其夹角”，涵盖概念、判定定理及所成角的作法与计算。课堂从长方体教室实例导入，对比平面直线位置关系引出空间异面直线，搭建从平面到空间的学习支架，衔接前后知识。 其亮点是以直观想象和逻辑推理为核心，通过反证法证明判定定理，结合正方体模型设计作角求角例题，采用“判定→作角→说明对应→计算”小结方法。帮助学生提升空间观念和规范表达能力，为教师提供结构化教学资源，提高教学效率。

高教版第三版《数学》 拓展模块一（上册） 第4章 立体几何 4.2.2 异面直线及其夹角 学习目标 1．理解异面直线的概念和判定定理，掌握异面直线所成角的定义、作法、取值范围及异面垂直的含义。 2．能依据异面直线判定定理判断空间两直线的位置关系，能通过平移作出异面直线所成的角，并在三棱锥、正方体等模型中求角。 3．经历空间图形观察、反证推理和作角计算过程，提升直观想象与逻辑推理素养，形成先说明对应关系再计算的规范表达意识。 教室里的两条直线为什么异面？ 观察图4-34所示的长方体形教室。直线在黑板所在平面内，直线d经过地面上的点B和黑板所在平面外的点D。思考：直线与直线d不相交也不平行，怎样更准确地说明它们是异面直线？ 答案：不够。空间中不相交的两条直线可能平行，也可能异面；判断异面还要说明两条直线不同在任何一个平面内。 解析：平面内两条不相交的直线一定平行，但空间中的两条直线还可能不同在任何一个平面内，因此必须结合平面关系给出判定依据。 异面直线的概念与判定 一般地，把不同在任何一个平面内的两条直线称为异面直线； 异面直线判定定理 过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线. 平面外点 + 平面内点 + 平面内不过该点的直线 → 异面直线 判定定理为什么成立？ ① 假设直线n和m共面，记所在平面为β。 ② 平面α与β都经过直线m及其外一点P，应重合。 ③ 但M在β内而不在α内，矛盾，所以n和m异面。 证明方法：反证法 例3 例3 试写出三棱锥D-ABC(图4-37)中与直线AB异面的直线. 答案：直线DC。解析：因为AB在平面ABC内，点C在平面ABC内且不在直线AB上，点D在平面ABC外，所以直线DC与AB是异面直线。 例3 试一试：写出三棱锥D-ABC中与AC异面的直线. 答案：直线DB。 解析：AC在平面ABC内，点B在该平面内且不在AC上，点D在该平面外，所以DB与AC是异面直线。 即时练习 【即时练习1】判断：空间中没有公共点的两条直线一定是异面直线。 答案：错误。 解析：没有公共点的两条直线还可能是平行直线；只有不同在任何一个平面内的两条直线才是异面直线。 即时练习 【即时练习2】在三棱锥P-ABC中，与直线PA异面的棱是哪一条？ 【答案】 直线BC。 【解析】 PA与PB、PC相交，与AB、AC也相交；PA与BC既不相交也不平行，并且不在同一平面内，所以BC是与PA异面的棱。 怎样作异面直线所成的角？ 已知两条异面直线与b，如图4-39(1)所示.在空间上任取一点P，过点P作'∥，b'∥b，得到两条相交直线'和b'，如图4-39(2)所示.我们把相交直线'与b'所成的角θ称为异面直线与b所成的角. 在作异面直线与b所成的角时，常在其中的一条直线上取一点O，过点O作另一条直线的平行线，如图4-39(3)所示。 选点 → 作平行线 → 说明对应 → 计算最小正角 角的范围与异面垂直 两条异面直线所成的角满足：0<。 当所成的角为时，两条异面直线互相垂直。 记作： 例4（1）：AB与DD₁ 例4（1）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求AB与DD1所成的角。 ，所以表示所求角。 是直角，故所成的角为。 例4（2）：A₁C₁与BC 例4（2）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求A1C1与BC所成的角。 ，所以表示所求角。 在Rt△A1B1C1中，=。 即时练习 【即时练习3】作异面直线与b所成的角时，在直线上取一点O，过O作直线b'∥b。应把哪个角作为与b所成的角？ 答案：直线与直线b'所成的最小正角。 解析：b'与b平行，方向相同；与b'相交，因此与b'所成的最小正角就是异面直线与b所成的角。 即时练习 【即时练习4】若两条异面直线所成的角为，这两条直线具有怎样的位置关系？ 答案：这两条异面直线互相垂直。 解析：异面直线所成的角等于时，按教材定义称这两条异面直线互相垂直。 提高练习：AC与BC₁所成的角 【提高练习】在边长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，求直线AC与BC1所成的角。 答案：。 解析：取坐标方向表示两条直线的方向，可得AC与BC1的方向向量长度均为，内积为1，所以夹角θ满足，故。 知识检测：判断依据是否完整 【知识检测】判断下列说法：若空间两条直线既不平行也不相交，则它们是异面直线；作异面直线所成的角时，必须说明所作直线与原直线的平行关系。 答案：两句话都正确。 解析：空间两直线只有相交、平行、异面三种位置关系；既不平行也不相交时为异面。求异面直线所成的角依赖平移转化，若不说明对应平行关系，就不能确认所求角与原异面直线的方向一致。 课堂背诵（一） 1．不同在任何一个平面内的两条直线称为____。 答案：异面直线。 解析：关键词是“不同在任何一个平面内”，不能只说不相交。 课堂背诵（二） 2．过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内____的直线是异面直线。 答案：不经过该点。 解析：这是异面直线判定定理中平面内直线必须满足的条件。 3．求异面直线所成的角时，可以过空间一点分别作两条异面直线的____，把问题转化为两条相交直线所成的角。 答案：平行线。 解析：平移保持直线方向不变，因此相交直线所成的最小正角可以表示原异面直线所成的角。 小组任务：判定与求角 小组任务：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，完成两项说明。 （1）判断直线AB与B1C1的位置关系，并说明理由。 （2）作出直线A1D1与BD所成的角，并求其大小。 答案：（1）AB与B1C1是异面直线。（2）A1D1∥AD，所以就是所成的角，大小为。 解析：（1）AB在底面ABCD内，点B在该平面内且不在AB上，点B1在该平面外，因此B1C1与AB异面。（2）利用A1D1∥AD，把异面直线所成的角转化为AD与BD所成的角；正方形ABCD的对角线BD与边AD所成的锐角为。 判断异面要说清平面关系；求角要先写平行关系，再确定相交角并计算。 课堂练习 1．关于两条直线的位置关系，以下描述正确的是（　　）。 A．没有交点的两条直线平行　 B．不平行的两条直线相交　 C．不同在任何一个平面内的两条直线是异面直线　 D．两直线、b分别在平面α、β内，则、b是异面直线 答案：C。 解析：A、B忽略了空间中还存在异面直线；D没有说明两个平面的关系及两条直线是否共面，不能据此判断异面。 课堂练习 2．在长方体ABCD-A1B1C1D1各棱所在直线中，分别指出与直线AA1平行、相交、异面的直线。 答案：平行：BB1、CC1、DD1；相交：AB、AD、A1B1、A1D1；异面：BC、CD、B1C1、C1D1。 解析：先按方向找与AA1平行的三条棱所在直线；再找经过A或A1的四条棱所在直线；其余四条既不平行也不相交，为异面直线。 课堂练习 3．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线BC与C1D1所成的角是____；直线A1D1与BD所成的角是____；直线AD1与B1C所成的角是____。 答案：；；。 解析：分别选择与其中一条异面直线平行且和另一条相交的棱。利用正方形的边与对角线关系，可得三个角依次为、、。 4．纠错：小明说“直线与b不相交，所以与b是异面直线”。指出错误并改正。 答案：错误在于没有排除平行情形。应改为：若空间两直线既不相交也不平行，则它们是异面直线；或直接说明两直线不同在任何一个平面内。 解析：“不相交”是异面直线的必要表现之一，但不是充分条件，因为平行直线也不相交。 课堂小结 1．判定异面：抓住“不同在任何一个平面内”，或核对判定定理的全部条件。 2．平移作角：选点、作平行线，把异面直线转化为相交直线。 3．规范表达：先说明对应平行关系，再计算最小正角。 4．角的范围：0<；当时，两条异面直线互相垂直。 判定 → 作角 → 说明对应 → 计算 作业布置 1．复习本节课的知识点； 2．完成课后练习； 3．整理笔记和易错题。 $