4.2.2 异面直线及其夹角（教案）-高教版第三版《数学 拓展模块一（上册）》【上好课】

该教案聚焦立体几何中“异面直线及其夹角”核心知识点，以长方体形教室模型导入，引导学生发现“仅用不相交不平行判断异面”的认知偏差，承接共面直线学习，为后续线面、面面关系学习搭建支架。 此资料特色在于融合直观演示与问题探究，通过正方体、三棱锥等模型培养几何直观与空间观念，反证法证明判定定理提升逻辑推理能力，例4中规范作角步骤强化数学语言表达。助力学生形成空间推理能力，教师可借即时练习与小组任务有效诊断教学效果。

高教版第三版《数学》拓展模块一（上册） 第4章 立体几何 4.2.2 异面直线及其夹角 授课班级 授课类型 新授课 授课教师 教学时长 1课时（45分钟） 教材分析 教材以空间两直线的位置关系、平行线的传递性和相交直线所成的角为基础，从长方体形教室中的直线关系切入，依次给出异面直线判定定理及其反证法证明，再借助平移把异面直线转化为相交直线，形成所成角的定义、作法和取值范围，并通过三棱锥与正方体例题落实判定和求角方法。 本课承接共面直线及其夹角的学习，为后续研究空间中的直线与平面、平面与平面的位置关系奠定基础。 学情分析 学生能够在长方体、正方体中辨认相交和平行直线，也掌握平面基本性质，但容易把“既不平行也不相交”直接当作异面，忽略两直线不同在任何一个平面内这一关键条件。求异面直线所成的角时，学生还可能只凭图形猜角，或作出平行线后缺少对应关系说明。教学中应借助空间模型，引导学生按条件判定，并形成选点、作平行线、说明对应、计算角度的规范过程。 教学目标 1．理解异面直线的概念和判定定理，掌握异面直线所成角的定义、作法、取值范围及异面垂直的含义。 2．能依据异面直线判定定理判断空间两直线的位置关系，能通过平移作出异面直线所成的角，并在三棱锥、正方体等模型中求角。 3．经历空间图形观察、反证推理和作角计算过程，提升直观想象与逻辑推理素养，形成先说明对应关系再计算的规范表达意识。 教学重难点 教学重点：异面直线的概念和判定定理；通过平移作出异面直线所成的角并求其大小。 教学难点：准确说明两直线异面的判定条件，以及在空间图形中选择适当的点和对应平行线确定所成的角。 教学方法 直观演示法、问题探究法、讲练结合法。 课前准备 教师准备：教材、演示课件。 学生准备：教材、笔记本。 教学环节设计 教学环节 教学内容 设计意图 教学导入 观察图所示的长方体形教室。直线在黑板所在平面内，直线d经过地面上的点B和黑板所在平面外的点D。思考：直线与直线d不相交也不平行，怎样更准确地说明它们是异面直线？ 学生先从图形中观察两条直线的位置，再尝试说明它们能否同时落在某一个平面内。教师追问：只说“不相交、不平行”是否足够？ 【答案】 不够。空间中不相交的两条直线可能平行，也可能异面；判断异面还要说明两条直线不同在任何一个平面内。 【解析】 平面内两条不相交的直线一定平行，但空间中的两条直线还可能不同在任何一个平面内，因此必须结合平面关系给出判定依据。 教材图4-34 借助熟悉的教室空间模型暴露仅凭不相交作判断的不足，引导学生主动寻找异面直线的准确判定依据。 新知讲授 一、异面直线的概念与判定 一般地，把不同在任何一个平面内的两条直线称为异面直线； 异面直线判定定理 过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线. 结合图，直线经过平面α外的点M和平面α内的点P，直线在平面α内且不经过点P。若假设和共面，记所在平面为β，则平面α与平面β都经过直线及其外一点P，应是同一个平面；这与点M在平面β内而不在平面α内矛盾，所以和是异面直线。这个证明使用反证法。 教材图4-35 在画异面直线时，除图的画法外，我们还常把表示两条异面直线的线段分别画在不同的平面内，并且使它们既不相交也不平行，如图中的异面直线与. 例3 试写出三棱锥图中与直线AB异面的直线. 试一试：写出三棱锥中与AC异面的直线. 【答案】 例3：直线DC。试一试：直线DB。 【解析】 因为AB在平面ABC内，点C在平面ABC内且不在直线AB上，点D在平面ABC外，所以直线DC与AB是异面直线。同理，AC在平面ABC内，点B在该平面内且不在AC上，点D在该平面外，所以DB与AC是异面直线。 教材图4-36、图4-37 【即时练习1】判断：空间中没有公共点的两条直线一定是异面直线。 【答案】 错误。 【解析】 没有公共点的两条直线还可能是平行直线；只有不同在任何一个平面内的两条直线才是异面直线。 【即时练习2】在三棱锥中，与直线PA异面的棱是哪一条？ 【答案】 直线BC。 【解析】 PA与PB、PC相交，与AB、AC也相交；PA与BC既不相交也不平行，并且不在同一平面内，所以BC是与PA异面的棱。 二、异面直线所成的角 已知两条异面直线与b，如图4-39(1)所示.在空间上任取一点P，过点P作，得到两条相交直线'和b'，如图4-39(2)所示.我们把相交直线'与b'所成的角θ称为异面直线与b所成的角. 在作异面直线与所成的角时，常在其中的一条直线上取一点O，过点O作另一条直线的平行线，如图所示。 由平面内两条直线所成的角的范围可知，两条异面直线所成的角的取值范围是。特别地，当两条异面直线与所成的角为时，称这两条异面直线互相垂直，记作。 教材图4-39 例4 在正方体(图4-40)中，求下列异面直线所成的角的大小：（1）AB与；（2）与BC。 【答案】 （1）；（2）。 【解析】 （1）因为，且与AB相交于点A，所以就是AB与所成的角。该角是直角，故所成的角为。 （2）因为，且与相交于点，所以就是两条异面直线所成的角。在直角三角形中，该角为。 教材图4-40 【即时练习3】作异面直线与所成的角时，在直线上取一点O，过O作直线'∥。应把哪个角作为与所成的角？ 【答案】 直线与直线'所成的最小正角。 【解析】 '与平行，方向相同；与'相交，因此与'所成的最小正角就是异面直线与所成的角。 【即时练习4】若两条异面直线所成的角为，这两条直线具有怎样的位置关系？ 【答案】 这两条异面直线互相垂直。 【解析】 异面直线所成的角等于时，按教材定义称这两条异面直线互相垂直。 【提高练习】在正方体中，求直线AC与所成的角。 【答案】 。 【解析】 取坐标方向表示两条直线的方向，可得AC与的方向向量长度均为，内积为1，所以夹角θ满足，故。 【知识检测】判断下列说法：若空间两条直线既不平行也不相交，则它们是异面直线；作异面直线所成的角时，必须说明所作直线与原直线的平行关系。 【答案】 两句话都正确。 【解析】 空间两直线只有相交、平行、异面三种位置关系；既不平行也不相交时为异面。求异面直线所成的角依赖平移转化，若不说明对应平行关系，就不能确认所求角与原异面直线的方向一致。 依次经历概念辨析、定理证明、模型判定和平移作角，使学生在观察与推理中形成判定和求角的规范方法。 课堂背诵 完成下列挖空并逐项复述。 1．不同在任何一个平面内的两条直线称为____。 【答案】 异面直线。 【解析】 关键词是“不同在任何一个平面内”，不能只说不相交。 2．过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内____的直线是异面直线。 【答案】 不经过该点。 【解析】 这是异面直线判定定理中平面内直线必须满足的条件。 3．求异面直线所成的角时，可以过空间一点分别作两条异面直线的____，把问题转化为两条相交直线所成的角。 【答案】 平行线。 【解析】 平移保持直线方向不变，因此相交直线所成的最小正角可以表示原异面直线所成的角。 通过定义、判定条件和作角步骤的关键词挖空，检查学生能否准确提取并完整表达本课核心内容。 师生互动 小组任务：在正方体中，完成两项说明。 （1）判断直线AB与的位置关系，并说明理由。 （2）作出直线与BD所成的角，并求其大小。 【答案】 （1）AB与是异面直线。（2），所以∠ADB就是所成的角，大小为。 【解析】 （1）AB在底面ABCD内，点B在该平面内且不在AB上，点在该平面外，因此与AB异面。（2）利用，把异面直线所成的角转化为AD与BD所成的角；正方形ABCD的对角线BD与边AD所成的锐角为。 教师归纳：判断异面要指出一条直线与一个平面的关系；求角要先写出对应平行关系，再确定相交角，最后在平面图形中计算。 以同一正方体中的判定与求角任务组织合作说明，在互评和纠错中诊断学生的空间推理与规范表达。 课堂练习 1．关于两条直线的位置关系，以下描述正确的是（　　）。 A．没有交点的两条直线平行　B．不平行的两条直线相交　C．不同在任何一个平面内的两条直线是异面直线　D．两直线、分别在平面α、β内，则、是异面直线 【答案】 C。 【解析】 A、B忽略了空间中还存在异面直线；D没有说明两个平面的关系及两条直线是否共面，不能据此判断异面。 2．在长方体各棱所在直线中，分别指出与直线平行、相交、异面的直线。 【答案】 平行：；相交：；异面：。 【解析】 先按方向找与平行的三条棱所在直线；再找经过A或的四条棱所在直线；其余四条既不平行也不相交，为异面直线。 3．在正方体中，直线BC与所成的角是____；直线与BD所成的角是____；直线与所成的角是____。 【答案】 ；；。 【解析】 分别选择与其中一条异面直线平行且和另一条相交的棱。利用正方形的边与对角线关系，可得三个角依次为、、。 4．纠错：小明说“直线与不相交，所以与是异面直线”。指出错误并改正。 【答案】 错误在于没有排除平行情形。应改为：若空间两直线既不相交也不平行，则它们是异面直线；或直接说明两直线不同在任何一个平面内。 【解析】 “不相交”是异面直线的必要表现之一，但不是充分条件，因为平行直线也不相交。 5．在正方体中，求直线AC与所成的角，并写出作角依据。 【答案】 所成的角为。 【解析】 过适当顶点作与平行的直线，把异面直线所成的角转化为相交直线所成的角；在得到的等边三角形或用方向关系计算，可得夹角为。 用选择、分类、填空、纠错和规范求角任务形成梯度检测，及时反馈条件遗漏、对应不清和计算失误。 课堂小结 学生回答：怎样判定两条直线异面？怎样求异面直线所成的角？最容易遗漏什么？ 【答案】 判定时可依据异面直线的概念，也可用判定定理说明一条直线经过平面内外两点、另一条直线在该平面内且不经过平面内的那个点。求角时先选点并作平行线，把异面直线转化为相交直线，再说明对应关系并计算最小正角。易错点是把不相交直接当作异面，或作角后不说明平行关系。 【解析】 异面直线所成的角满足；当所成的角为时，两条异面直线互相垂直。 围绕判定条件、平移作角和易错点组织回顾，帮助学生把零散结论整理为可迁移的空间问题解决路径。 作业布置 1．复习本节课的知识点； 2．完成课后练习； 3．整理笔记和易错题。 教学反思 课堂实施中需控制空间模型观察与定理证明的节奏，避免教师代替学生完成全部判断。可增加学生指图说明“平面内点、平面外点和不过该点的直线”的机会，及时发现条件遗漏。例4求角时应留出板演和互评环节，重点检查平行关系是否写清、所取角是否为最小正角。若学生仍依赖图形直观猜角，可在后续教学中加强选点作平行线的分步训练，并通过正方体多角度观察和纠错题改善空间想象，使判定、作角和计算之间的衔接更加稳固。 学科网（北京）股份有限公司 $