4.2.1 平行直线、相交直线及所成的角（教案）-高教版第三版《数学 拓展模块一（上册）》【上好课】

该教案聚焦空间两直线的位置关系（共面与异面）、平行线传递性、相交及平行直线所成角的规定和等角定理。通过长方体形教室实景直线观察导入，引导学生从平面内平行线、相交线基础过渡，为异面直线学习搭建分类和表示方法的支架。 该资料以核心素养为导向，通过教室实景观察和正方体模型辨析发展直观想象，借助矩形中点证明平行等例题推理培养逻辑推理，规范等角定理应用理由书写提升数学语言表达。采用讲练结合与梯度练习，帮助学生建立“先判共面再定关系”思维路径，落实知识的同时提升能力，便于教师把握重难点，有效提升课堂效率。

高教版第三版《数学》拓展模块一（上册） 第4章 立体几何 4.2.1 平行直线、相交直线及所成的角 授课班级 授课类型 新授课 授课教师 教学时长 1课时（45分钟） 教材分析 教材从长方体形教室中的多条直线入手，先按是否共面并结合公共点关系区分相交、平行与异面直线，再依次学习平行线传递性、相交直线及其所成的角，最后通过正方体例题呈现平行直线所成角的规定和等角定理，概念、规定、例题与练习逐层推进。 本课承接平面内平行线、相交线和角的基础，完成空间中共面直线的识别与角度表达，并为下一小节异面直线的判定、所成角及距离学习准备必要的分类和表示方法。 学情分析 学生已有平面内平行线、相交线和角的经验，能够读懂长方体、正方体的顶点和棱，但在空间图形中容易只凭外观判断两直线关系，也容易把相交直线形成的任一角当作所成的角。教学中通过实景观察、模型辨析和逐项说明，反复落实先判共面、再判相交或平行，并说明取最小正角的理由。 教学目标 1．理解异面直线与共面直线的分类，掌握平行线传递性、相交直线所成角及平行直线所成角的规定，理解等角定理。 2．能依据共面条件和公共点关系判断空间两直线的位置关系，能在正方体等空间图形中求两直线所成的角并写出理由。 3．通过观察长方体、比较角的大小和说明对应平行关系，提升直观想象与逻辑推理素养，形成先辨位置、再作判断、后规范表达的习惯。 教学重难点 教学重点：共面直线的分类、平行线传递性、相交直线所成的角、平行直线所成角的规定及等角定理。 教学难点：在空间图形中先确认共面关系，再选取最小正角并利用对应平行关系说明角相等。 教学方法 情境观察法、问题探究法、对比归纳法、讲练结合法。 课前准备 教师准备：教材、演示课件。 学生准备：教材、笔记本。 教学环节设计 教学环节 教学内容 设计意图 教学导入 观察教材图的长方体形教室，直线、、、d分别位于墙面、地面和空间中。请判断：哪些直线在同一平面内？哪些相交？哪些平行？ 学生先根据图形观察并说明理由。教师归纳：、、d在同一平面内，与平行，d分别与、相交；与d既不平行也不相交，且不同在任何一个平面内。 【答案】 、、d是共面直线；与平行；d分别与、相交；与d不同在任何一个平面内。 【解析】 先看两直线能否放在同一个平面内，再看是否有公共点；有公共点的是相交直线，无公共点但方向相同的是平行直线。 教材图4-26 从教室实景中的多条直线引发分类问题，让学生先观察位置再形成共面直线的学习需要。 新知讲授 一、共面直线的分类与平行线传递性 把相交或平行的两条直线称为共面直线。一般地，把不同在任何一个平面内的两条直线称为异面直线。 在空间中，平行于同一条直线的所有直线都互相平行，这称为平行线的传递性。 例1 点E、F分别是矩形ABCD的边BC、AD的中点，M不在平面ABCD内，G、H分别是MB、MA的中点。求证：GH∥EF。 解：因为E、F分别是矩形ABCD的边BC、AD的中点，所以AF∥BE且，四边形ABEF是平行四边形，EF∥BA。又因为G、H分别是△ABM的边MB、MA的中点，所以GH∥BA。根据平行线的传递性，GH∥EF。 【即时练习1】判断：若∥且∥，则∥。 【答案】 正确。 【解析】 这是平行线传递性的直接应用。 二、相交直线及所成的角 同一平面内有且只有一个公共点的两条直线称为相交直线；当l与相交于点A时，可简记作l∩。 两条相交直线所形成的最小正角称为这两条相交直线所成的角。 规定：两条平行直线所成的角为0。因此，两条共面直线所成的角的范围是0到。 【即时练习2】两条相交直线形成的四个角中，哪一个作为它们所成的角？ 【答案】 取其中的最小正角；该角的对顶角也可表示同样大小。 【解析】 “所成的角”按定义取最小正角。 例2 已知正方体₁B₁C₁D₁。分别求AB与D₁C₁、BD所成的角，并判断AB与DB所成的角和A₁B₁与D₁B₁所成的角是否相等。 解：（1）因为AB∥D₁C₁，所以AB与D₁C₁所成的角为0。又BD是正方形ABCD的对角线，所以∠，AB与BD所成的角为。（2）AB与DB所成的角是∠ABD，A₁B₁与D₁B₁所成的角是∠A₁B₁D₁；二者均为，故两角相等。 一般地，如果两条相交直线l₁、l₂分别平行于另外两条相交直线l₁′、l₂′，那么l₁与l₂所成的角和l₁′与l₂′所成的角相等，这个结论称为等角定理。 【知识检测】在正方体中，若AB∥D₁C₁，且∠，则AB与D₁C₁、AB与BD所成的角分别是多少？ 【答案】 【解析】 第一问使用平行直线所成角的规定，第二问使用正方形对角线性质。 按分类、传递性、相交角和等角定理的依赖顺序组织讲练，使学生在定义、例题和即时辨析中建立判断路径。 课堂背诵 请补全：①相交直线是同一平面内有且只有____个公共点的两条直线；②相交直线所成的角取____；③平行直线所成的角为____；④平行于同一直线的所有直线都互相平行，这一性质称为____。 【答案】 ①一；②最小正角；③0；④平行线的传递性。 【解析】 四项分别对应本课的定义、规定和性质。 通过补全关键词和逐项回答，检查学生对共面分类、所成角规定及平行线传递性的准确记忆。 师生互动 小组讨论：在正方体₁B₁C₁D₁中判断：（1）AD与CC₁平行；（2）AB与D₁B₁相交；（3）BD与B₁D₁平行；（4）若OA∥O′A′、OB∥O′B′，则两组相交直线所成的角相等。 【答案】 （1）正确；（2）错误；（3）正确；（4）正确。 【解析】 （1）（3）由正方体对应棱或对应面对角线的平行关系判断；（2）两直线不在同一平面内且无公共点；（4）符合等角定理。 教师归纳：空间判断必须先确认共面；相交时取最小正角；两组相交直线对应平行时，可用等角定理比较所成角。 以正方体多对象判断和理由说明促进交流纠错，诊断学生是否真正依据共面关系和对应平行作答。 课堂练习 独立完成下列课堂练习，并写出必要理由。 1．判断：不同在任何一个平面内的两条直线是共面直线。 【答案】 错误。它们是异面直线。 2．填空：若∥，∥，则与c____。 【答案】 平行。 3．选择：两条相交直线所成的角应取（ ）。A．任意一个角 B．最大角 C．最小正角 D．直角 【答案】 C。 4．填空：两条平行直线所成的角为____。 【答案】 0。 5．在正方体中，AB与D₁C₁所成的角为多少？ 【答案】 0。 6．在正方形ABCD中，AB与BD所成的角为多少？ 【答案】 7．说明为什么当∥且∥时∥。 【答案】 由平行线的传递性可知∥。 8．若两组相交直线分别对应平行，且第一组所成角为30°，求第二组所成角。 【答案】 30°。 安排由分类、规定到角度计算和定理应用的梯度练习，及时发现只凭图形直观或理由不完整的错误。 课堂小结 学生口头总结：空间两直线先按是否共面分类；共面直线分为相交直线和平行直线。 相交直线所成的角取最小正角，平行直线所成的角规定为0；两组相交直线对应平行时可用等角定理比较所成角。 【答案】 分类、取角、规定和等角定理四点均应准确复述。 【解析】 先定位两直线的位置关系，再按定义或规定确定角，最后核对对应平行关系。 用分类、取角、规定和定理四个关键词重组全课方法，帮助学生形成可迁移的空间直线判断框架。 作业布置 1．复习本节课的知识点； 2．完成课后练习； 3．整理笔记和易错题。 教学反思 课堂实施中应继续把“先判共面、再判相交或平行”的判断路径说得更慢、更清楚，避免学生只凭图形外观下结论。长方体实景导入有助于建立直观表象，但要及时回到教材符号和角的定义。例2中可让学生先独立找出对应角，再由教师归纳等角定理的使用条件。练习反馈显示，学生对平行直线所成角为0的规定容易遗漏，后续应增加对比辨析和口头复述，并对理由不完整、角的顶点书写不规范等问题及时纠正，使直观想象与逻辑推理更好衔接。 学科网（北京）股份有限公司 $