第10讲 圆周运动（复习讲义）（黑吉辽蒙专用）2027年高考物理一轮复习讲练测

该高中物理复习讲义聚焦圆周运动高考核心考点，涵盖运动描述、向心力、水平面与竖直面模型及临界问题，按概念-模型-应用逻辑构建知识框架。通过命题透视研判考情，思维建模搭建网络，考点精讲拆解核心，真题溯源感知考向，系统助力学生突破难点。 资料以真实情境（交通、娱乐、科技）为载体，强化模型建构与临界思维，如圆锥摆“等高摆角速度相等”口诀、绳杆模型临界速度分析，培养科学思维。设置基础例析与变式训练分层练习，有效提升学生应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

第10讲 圆周运动（复习讲义） 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 考点精讲·靶向突破 拆解核心考点，归纳解题范式 知识点一 圆周运动 考向1 圆周运动的描述 考向2 圆周运动的传动装置 考向3 圆周运动的多解问题 知识点二 向心力和向心加速度 考向1 向心力的来源 考向2 向心力的简单计算 知识点三 水平面内的圆周运动 考向1 圆锥摆模型 考向2 圆盘模型 考向3 车辆转弯模型 知识点四 竖直面内的圆周运动 考向2 汽车过桥模型 考向2 绳、杆 （管）模型 知识点五 离心运动和临界问题 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 更早 抛体运动 —— —— 2024年 单选第2题 2022年 计算第1题 考情分析 题型与考向：作为高中物理的高频考点，圆周运动模块的考查近年来呈现出“基础为根、情境为枝、综合为冠”的特点。 情境与立意： 真实生活情境：题目常以学生熟悉的场景为载体，考查知识应用能力。 交通出行：汽车通过拱形桥/凹形路面、火车转弯、自行车传动结构、车牌自动识别系统。 娱乐与体育：过山车、雪地转椅、杂技表演（如水流星）、跳绳彩灯轨迹。 日常生活：旋转杯、共享单车轮毂轴承。 现代科技情境：引入前沿科技，提升试题的时代感。无人机投放、空间站舱体旋转模拟重力。 立意层面： 考查模型构建能力：要求学生能从复杂情境中抽象出物理模型（如圆锥摆、绳球模型）。 强化综合分析能力：考查学生多步骤、多过程推理和知识迁移的能力。 体现核心素养：通过真实情境，考查学生的“物理观念”和“科学思维”。 复习目标 夯实基础，构建网络 准确理解线速度、角速度、周期、向心加速度等概念及其相互关系。 熟练掌握常见传动方式的特点（同轴、皮带、齿轮）。 掌握方法，攻克模型 动力学分析：核心是确定研究对象，分析受力，找到向心力来源。 模型突破：系统掌握圆锥摆、水平转盘、绳球、杆球等经典模型的分析方法 临界思维：强化对“刚好”、“恰好”、“最大/最小”等临界状态的敏感度。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 考点精讲·靶向突破 ——拆解核心考点，归纳解题范式 知识点1 圆周运动 知●识●解●构 物体的运动轨迹是圆的运动叫圆周运动。 描述圆周运动的物理量： 1．线速度 质点做圆周运动通过的弧长 Δs和所用时间 Δt 的比值叫做线速度。 物理意义：描述质点沿圆周运动的快慢。 大小：。 注意：ΔS是弧长，不是位移；当Δt 很小很小时（趋近零），弧长ΔS就等于物体的位移，式中的v ，就是直线运动中学过的瞬时速度。 线速度是矢量，其方向：沿圆周上该点的切线方向。 2．角速度 物体做圆周运动，连接物体和圆心的半径转过的角度Δθ和所用时间Δt的比值叫做角速度。 物理意义：描述质点绕圆心转动的快慢。 大小：。 单位：rad/s (弧度/秒)。 弧度与角度公式：，运动一周，即360°=2πrad； 3．周期、频率、转速 周期定义:物体运动一周所用的时间；符号是T；单位是s。 频率定义:物体在单位时间（每秒）转的圈数；符号是f；单位是Hz或。 转速定义:物体在单位时间（每秒或每分）转的圈数；符号是n；单位是r/s或r/min。 周期、频率和转速关系：；描述物体做圆周运动的快慢。 线速度 角速度 周期 转速 定义、意义 描述圆周运动的物体运动快慢的物理量 描述物体绕圆心转动快慢的物理量 物体沿圆周一周所用的时间 物体单位时间内转过的圈数 矢量、标量 是矢量，方向和半径垂直，和圆弧相切 有方向，但中学阶段不研究 标量、无方向 标量、无方向 公式 v＝＝ ω＝＝ T＝＝ n＝ 单位 m/s rad/s s r/s、r/min 相互关系 (1)v＝rω＝＝2πrn；(2)T＝ 匀速圆周运动：质点沿圆周运动，在相等的时间内通过的圆弧长度相等。 特点：线速度的大小处处相等。因匀速圆周运动的线速度方向时刻在改变，所以它是一种变速运动。这里的“匀速”实质上指的是“匀速率”而不是“匀速度”。 角速度是标量，因此匀速圆周运动是角速度不变的运动 考向1 圆周运动的描述 例1 某教室内墙壁上挂有一只走时准确的石英钟，盘有时针、分针和秒针，如图所示。关于它们的转动情况描述正确的是（　　） A．时针与分针转动的角速度之比为1∶60 B．时针与秒针转动的角速度之比为1∶3600 C．分针与秒针转动的角速度之比为1∶60 D．分针与秒针转动的周期之比为1∶12 【答案】C 【解析】时针的周期T1=12h，分针的周期T2=1h，秒针的周期T3=，由角速度公式； 角速度之比为周期的反比，因此时针与分针转动的角速度之比为1∶12，时针与秒针转动的角速度之比为1∶720，分针与秒针转动的角速度之比1∶60，分针与秒针转动的周期之比为60∶1， 故选C。 【变式训练1】关于匀速圆周运动，下列说法正确的是（　　） A．匀速圆周运动是匀变速曲线运动 B．匀速圆周运动是速度不变的运动 C．匀速圆周运动的加速度恒定不变 D．匀速圆周运动的角速度恒定不变 【答案】D 【解析】ABC．匀速圆周运动的加速度与速度的方向时刻改变，所以是非匀变曲线运动，ABC错误； D．匀速圆周运动的角速度恒定不变，D正确。 故选D。 【变式训练2】A、B两艘快艇在湖面上做匀速圆周运动，在相同的时间内，它们通过的路程之比是，运动方向改变的角度之比是，则它们（　　） A．线速度大小之比为 B．角速度大小之比为 C．圆周运动的半径之比为 D．周期之比为2：3 【答案】D 【解析】A．依题意，两艘快艇的路程之比为，根据线速度的定义式，有易知，线速度大小之比为4：3。故A错误； B、D．依题意，两艘快艇运动方向改变的角度之比是，根据角速度的定义式，有易知，角速度大小之比为3：2。根据T＝＝可知，周期于角速度成反比，则周期之比为2：3；故B错误，D正确； C．根据角速度与线速度的关系式易知，圆周运动的半径之比为8：9。故C错误； 故选D。 【变式训练3】如图为车牌自动识别系统的直杆道闸，直杆可绕O在竖直面内转动。某汽车从自动识别线ab处到达直杆处的时间为4.5s，自动识别系统的反应时间为0.5s。如果汽车到道闸位置时，直杆刚好由水平位置转到竖直位置，则直杆转动的平均角速度大小为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题知，汽车从自动识别线ab处到达直杆处的时间为4.5s，自助识别系统的反应时间为0.5s，则说明直杆有4s的转动时间，则直杆转动的平均角速度大小为ω = = rad/s； 故选B。 考向2 圆周运动的传动装置 知●识●解●构 同轴传动 皮带传动 齿轮传动 装置 A、B两点在同轴的一个圆盘上 两个轮子用皮带连接，A、B两点分别是两个轮子边缘的点 两个齿轮轮齿啮合，A、B两点分别是两个齿轮边缘上的点 特点 角速度、周期相同 线速度大小相同 线速度大小相同 转动方向 相同 相同 相反 规律 线速度与半径成正比：＝ 角速度与半径成反比：＝；周期与半径成正比：＝ 角速度与半径成反比：＝；周期与半径成正比：＝ 例1 如图所示，由于地球自转，地球上的一切物体都随地球一起转动，现有A、B两人，A在赤道上，B在北纬60°处，则A、B两人的线速度之比为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设地球半径为R，地球上各点的角速度相同，由可知，线速度与半径成正比，故A、B两人的线速度之比为；B正确。 故选B。 例2 （多选）变速自行车靠变换齿轮组合来改变行驶速度，如图是某一变速车齿轮转动结构示意图，图中A轮有48齿，B轮有42齿，C轮有18齿，D轮有12齿，则(　　) A．该车可变换两种不同挡位 B．该车可变换四种不同挡位 C．当A轮与D轮组合时，两轮的角速度之比ωA∶ωD＝1∶4 D．当A轮与D轮组合时，两轮角速度之比ωA∶ωD＝4∶1 【答案】BC 【解析】A轮通过链条分别与C、D连接，自行车可有两种速度，B轮分别与C、D连接，又可有两种速度，所以该车可变换4种挡位，故A错误，B正确； 当A与D组合时，两轮边缘线速度大小相等，A轮转一圈，D转4圈，即＝，故C正确，D错误； 故选BC。 【变式训练1】如图所示，两个小球固定在一根长为l的杆的两端，绕杆上的O点做圆周运动。当小球A的速度为vA时，小球B的速度为vB，则轴心O到小球A的距离是(　　) A．vA(vA＋vB)l B. C. D. 【答案】B 【解析】设轴心O到小球A的距离为x，因两小球固定在同一转动杆的两端，故两小球做圆周运动的角速度相同，半径分别为x、l－x.根据ω＝有：，解得， 故选B。 【变式训练2】图为某种品牌的共享单车的链轮、链条、飞轮、踏板、后轮示意图，在骑行过程中，踏板和链轮同轴转动、飞轮和后轮同轴转动，已知链轮与飞轮的半径之比为，后轮直径为，当踩踏板做匀速圆周运动的角速度为时，后轮边缘处A点的线速度大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当踩踏板做匀速圆周运动的角速度为5rad/s时，由于链轮与飞轮通过链条传动，边缘线速度大小相等，由可知，角速度与半径成反比，故飞轮的角速度为15rad/s，后轮的角速度与飞轮相等，可知，后轮边缘处A点的线速度大小为 故选B。 考向3 圆周运动的多解问题 例1 （多选）如图所示，竖直平面内半径为R的圆盘绕中轴O顺时针匀速转动，当圆盘上的A点转至最高点时，紧贴A点以水平速度（g为重力加速度）抛出一个可视为质点的小球，当A点转至水平位置时，小球刚好落到过O点的水平面，则圆盘的角速度可能为（　　）    A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】小球做平抛运动，竖直方向做自由落体运动，有；在小球下落时间内，圆盘转过的角度为（n=0，1，2，3……） 则有（n=0，1，2，3……） 当n=0时，；当n=1时，； 故选AC。 【变式训练1】如图所示，电风扇在闪光灯下运转，闪光灯每秒闪30次，风扇转轴O上装有3个扇叶，它们互成120°角，当风扇转动时，观察者感觉扇叶不动，则风扇转速不可能是（　　）    A．600 r/min B．900 r/min C．1 200 r/min D．3 000 r/min 【答案】B 【详解】因为电扇叶片有三个，相互夹角为120°，现在观察者感觉扇叶不动，说明在闪光时间里，扇叶转过三分之一、或三分之二，或一周…，那么转过的角度为，n=1，2，3… 由于光源每秒闪光30次，所以电扇每秒转过的角度为ω=20πn；转速为10n r/s=600n r/min 所以当n=1时，转速为600 r/min；n=2时，转速为1 200 r/min；n=5时，转速为3 000 r/min 故ACD项可能，B项不可能。 故选B。 【变式训练2】为了测定子弹的飞行速度，在一根水平放置的轴杆上固定两个薄圆盘A、B，盘A、B平行且相距，轴杆的转速为，子弹穿过两盘留下两弹孔，测得两弹孔所在半径的夹角，如图所示。则该子弹的速度可能是（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意，由公式可得，角速度为 设子弹的传播时间为，则有；解得 该子弹的速度为当时；当时；；当时 故选C。 【变式训练3】（多选）各地为提高当地人们的业余生活水平，修建了各种冲关类娱乐游戏设施。下图为某地冲关游戏中的一个关卡。一个以某一角速度转动的圆盘浮在水面上，圆盘表面保持水平，M为圆盘边缘上一点。某时刻，参赛者从跑道上P点以速度水平向右跳出，初速度方向沿OM方向，且轨迹与OM在同一竖直平面内，正好落在M点，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　）    A．若跳出时刻不变，仅增大，参赛者仍可能落在M点 B．若跳出时刻不变，仅减小，参赛者一定不会落在M点 C．若跳出时刻不变，仅增大转盘的角速度，参赛者仍可能落在M点 D．若跳出时刻不变，仅增大转盘的角速度，参赛者不可能落在M点 【答案】BC 【详解】AB．本题中描述了两个不同的运动，参赛者做平抛运动，高度决定了平抛运动时间， 水平方向（t一定） ，；圆盘做圆周运动，具有周期性，如图，人与M点位置关系（落点也可在M'），M转到M'位置，若一开始人落在M'， 增大，x增大，人仍可落在M点初始位置；但是M点在时间不变的情形此时在点，若一开始人落在M，减小，x减小，人仍可落在M'点，但是时间不变的情形下M点此时依旧在初始位置，即不会落在M点，故A错误，B正确； CD．若仅增大转盘角速度，在相同时间内转盘多转动整数圈，仍可落在M点，故C正确，D错误。 故选BC。 知识点2 向心力和向心加速度 知●识●解●构 做匀速圆周运动的物体所受的合力总指向圆心，这个指向圆心的力叫作向心力，符号为Fn。 方向：指向圆心，时刻变化，是变力。 向心力方向与速度方向垂直，只改变速度的方向，不改变速度的大小。 计算式： ✨得分速记： （1）向心力可以是重力、弹力、摩擦力等各种性质的力，也可以是几个力的合力，还可以是某个力的分力。物体做匀速圆周运动时，由合力提供向心力。 （2）向心力是根据作用效果命名的，并不是一种新的性质的力，受力分析时，切不可在物体的相互作用力以外再添加一个向心力。 （3）向心力不是物体真实受到的一个力，不能说物体受到向心力的作用，只能说某个力或某几个力提供了向心力。 1．匀速圆周运动 匀速圆周运动所受合外力，指向圆心，大小等于向心力。 2．变速圆周运动 变速圆周运动所受合外力一般不等于向心力，其产生两个方面的效果： (1)合外力F跟圆周相切的分力，此分力产生切向加速度，描述速度大小变化的快慢。 (2)合外力F指向圆心的分力，此分力产生向心加速度，向心加速度只改变速度的方向。 3．一般曲线运动的处理方法 一般曲线运动，可以把曲线分割成许多很短的小段，每一小段可看作一小段圆弧．圆弧弯曲程度不同，表明它们具有不同的半径．这样，质点沿一般曲线运动时，可以采用圆周运动的分析方法进行处理。 向心加速度 做匀速圆周运动的物体加速度指向圆心，这个加速度称为向心加速度，符号。 方向：始终指向圆心。 物理意义：描述速度方向变化的快慢。 计算式： 匀速圆周运动加速度的方向时刻改变，所以匀速圆周运动不是匀变速运动，而是变加速运动 考向1 向心力的来源 例1 如图所示，把一个小球放在玻璃漏斗中，晃动漏斗后，可以使小球在短时间内沿光滑的漏斗壁在某一水平面内做匀速圆周运动，则提供小球做匀速圆周运动的向心力是（　　） A．小球的重力 B．小球对漏斗的压力 C．漏斗对小球的弹力 D．漏斗对小球的弹力沿水平方向的分力 【答案】D 【详解】对小球受力分析，重力竖直向下，支持力垂直漏斗内壁向上，合力指向圆心，提供向心力，故漏斗对小球的弹力沿水平方向的分力提供小球做匀速圆周运动的向心力，ABC错误，D正确。 故选D。 【变式训练1】（多选）关于向心力，下列说法正确的是（　　） A．对做匀速圆周运动的物体进行受力分析时，一定不要漏掉向心力 B．向心力一定是由做圆周运动的物体所受的合力提供，它是根据力的作用效果命名的 C．向心力可以是重力、弹力、摩擦力等各力的合力，也可以是某个力的分力 D．向心力只能改变物体的运动方向，不能改变物体运动的快慢 【答案】CD 【详解】A．物体做圆周运动就需要有向心力，向心力是由外界提供的，而不是物体受向心力，故A错误； BC．向心力是指向圆心方向的合外力提供，它是根据力的作用效果命名的，向心力可以是重力、弹力、摩擦力等各种力来提供，或者是他们的合力来提供，也可以是某个力的分力来提供，故B错误， C正确； D．向心力的方向与速度垂直，不改变速度的大小，只改变速度的方向，故D正确； 故选CD。 【变式训练2】如图所示，在杂技表演中，杂技演员表演了“球内飞车”的杂技。一个由钢骨架和铁丝网构成的球壳固定在水平地面上，杂技演员骑摩托车在球壳内飞速旋转，惊险而刺激。甲演员在图中“赤道”平面做匀速圆周运动，充当向心力的是（　　） A．重力 B．支持力 C．摩擦力 D．重力与支持力的合力 【答案】B 【详解】甲演员在图中“赤道”平面做匀速圆周运动，充当向心力的是轨道对摩托车的支持力。 故选B。 【变式训练3】一只小狗拉着雪橇在水平冰面上沿着圆弧形的道路匀速奔跑，如图所示为雪橇所受的牵引力F及摩擦力Ff的示意图，其中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】雪橇运动时所受的摩擦力为滑动摩擦力，其方向与雪橇运动方向相反，可知与圆弧相切；又因为雪橇做匀速圆周运动，所受合力充当向心力，合力方向指向圆心，C正确，ABD错误。 故选C。 考向2 向心力的简单计算 例1 （2024·广东·高考真题）如图所示，在细绳的拉动下，半径为r的卷轴可绕其固定的中心点O在水平面内转动。卷轴上沿半径方向固定着长度为l的细管，管底在O点。细管内有一根原长为、劲度系数为k的轻质弹簧，弹簧底端固定在管底，顶端连接质量为m、可视为质点的插销。当以速度v匀速拉动细绳时，插销做匀速圆周运动。若v过大，插销会卡进固定的端盖。使卷轴转动停止。忽略摩擦力，弹簧在弹性限度内。要使卷轴转动不停止，v的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】有题意可知当插销刚卡紧固定端盖时弹簧的伸长量为，根据胡克定律有；插销与卷轴同轴转动，角速度相同，对插销有弹力提供向心力 对卷轴有；联立解得 故选A。 【变式训练1】（多选）如图所示，长为L的悬线固定在O点，在O点正下方有一钉子C，O、C的距离为，把悬线另一端的小球A拉到跟悬点在同一水平面处无初速度释放，小球运动到悬点正下方时悬线碰到钉子，则小球的 （　　） A．线速度突然增大为原来的2倍 B．角速度突然增大为原来的2倍 C．向心力突然增大为原来的2倍 D．向心力突然增大为原来的4倍 【答案】BC 【解析】A．悬线碰到钉子前后，悬线的拉力始终与小球的运动方向垂直，小球的线速度大小不变，故A错误； BCD．悬线碰到钉子后，小球的运动半径减小为原来的一半，线速度大小不变，由ω= 知角速度变为原来的2倍，由Fn=；可知向心力变为原来的2倍，故BC正确，D错误。 故选BC。 【变式训练2】（2023·全国·高考真题）一质点做匀速圆周运动，若其所受合力的大小与轨道半径的n次方成正比，运动周期与轨道半径成反比，则n等于（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】质点做匀速圆周运动，根据题意设周期； 合外力等于向心力，根据；联立可得； 其中为常数，的指数为3，故题中； 故选C。 【变式训练3】质量为m的鹰，以速率v在水平面内做半径为R的匀速圆周运动，空气对鹰作用力的大小等于(　　) A．m B．m C．m D．mg 【答案】A 【详解】空气对鹰的作用力有两个作用效果，其一：竖直方向的分力与鹰受到的重力平衡；其二：水平方向的分力提供向心力，使鹰可在水平面内做匀速圆周运动。对鹰的受力情况进行分析，如图所示。鹰受到重力mg、空气对鹰的作用力F，两力的合力为Fn，方向沿水平方向指向圆心。由题意可知，重力mg与Fn垂直，故 又；联立解得，；故BCD错误，A正确。 故选A。 知识点3 水平面内的圆周运动 考向1 圆锥摆模型 知●识●解●构 一根细绳（或轻杆），一端固定，另一端挂有重物，重物在水平面上做匀速圆周运动，并和细绳（或轻杆）一起，画出圆锥的轨迹。如图： 向心力；半径； 联立解得：；； 由上面关系，如两重物在同一水平面内做圆周运动（等高摆），则角速度相等。 如两重物的摆长L相等（等长摆），有口诀：更高、更快、更强。 即重物越高（更高），其线速度、角速度、加速度越大（更快），向心力越大（更强）。 更“高”指重物在空间中的高低，不是上述角速度公式中的h。重物越高，角度越大，h越小。 变形中的“碗型”圆锥摆是等长摆。 变形中的“冰淇淋桶”圆锥摆，A、B两球的支持力（等效细绳）与竖直方向夹角相同，因此二者加速度相等，向心力之比等于二者质量之比。 例1 如图所示，质量均为m的a、b两小球用不可伸长的等长轻质绳子悬挂起来，使小球a在竖直平面内来回摆动，小球b在水平面内做匀速圆周运动，连接小球b的绳子与竖直方向的夹角和小球a摆动时绳子偏离竖直方向的最大夹角都为θ，重力加速度为g，则下列说法正确的是(　　) A．a、b 两小球都是所受合外力充当向心力 B．a、b两小球圆周运动的半径之比为tan θ C．b小球受到的绳子拉力为 D．a小球运动到最高点时受到的绳子拉力为 【答案】C 【解析】小球a速度变化，只有在最低点时所受合外力充当向心力，而小球b做匀速圆周运动，所受合外力充当向心力，故A错误； 由几何关系可知，a、b两小球圆周运动的半径之比为，故B错误； 根据矢量三角形可得Fbcos θ＝mg，即Fb＝，故C正确； a小球到达最高点时速度为零，将重力正交分解有Fa＝mgcos θ，故D错误； 故选C。 【变式训练1】如图所示，竖直固定的圆锥形漏斗内壁是光滑的，内壁上有两个质量相等的小球A和B，在各自不同的水平面内做匀速圆周运动以下关于A、B两球做圆周运动时的线速度大小（、）、角速度（、）、向心力大小（、）和对内壁的压力大小（、）的说法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】CD．小球受重力和支持力，二力的合力提供其做圆周运动的向心力，如图所示 由于两个小球的质量相同，并且都是在水平面内做匀速圆周运动，所以两个小球的受力情况相同，它们的向心力大小相等，受到的支持力大小也相等，则根据牛顿第三定律可知，它们对内壁的压力大小也相等，即； C、D错误； A．由于它们的向心力的大小相等，由向心力的公式；可知运动半径大的小球线速度大，所以，A正确； B．由向心力的公式；可知运动半径大的小球角速度小，所以，B错误； 故选A。 【变式训练2】（2024·江苏·高考真题）如图所示，细绳穿过竖直的管子拴住一个小球，让小球在A高度处作水平面内的匀速圆周运动，现用力将细绳缓慢下拉，使小球在B高度处作水平面内的匀速圆周支地，不计一切摩擦，则（   ） A.角速度不变 B.线速度减小 C.向心加速度增大 D.所受拉力大小不变 【答案】C 【详解】CD．设绳子与竖直方向夹角为θ，小球质量为m，绳长为，对小球受力分析有；可得 由题图可看出小球从A高度到B高度，增大，则有，故C正确； 拉力，增大，cos减小，拉力F增大，D错误； AB．根据几何关系，可得小球做匀速圆周运动的半径为 根据牛顿第二定律有 可得，，因L减小，角度增加，则线速度大小无法判断 ，角速度增大，故AB错误。 故选C。 【变式训练3】（多选）如图，内壁光滑的玻璃管内用长为L的轻绳悬挂一个小球。当玻璃管绕竖直轴以角速度匀速转动时，小球与玻璃管间恰无压力。下列说法正确的是（　　） A．仅增加绳长后，小球将受到玻璃管斜向上方的压力 B．仅增加绳长后，若仍保持小球与玻璃管间无压力，需减小 C．仅增加小球质量后，小球将受到玻璃管斜向上方的压力 D．仅增加角速度至后，小球将受到玻璃管斜向下方的压力 【答案】BD 【详解】AB．当管壁对球无作用力时，绳子的拉力和球的重力合力提供向心力，所以；；故，增加绳长之后，此时小球需要的向心力增大，重力与细绳的拉力不足以提供向心力，则小球将受到玻璃管斜向下方的压力；增加绳长之后，小球做圆周运动的半径增大，要保持小球与管壁之间无压力，则小球所需向心力大小不变，半径增大，则需要减小角速度，故A错误，B正确； C．增加小球质量，此时；质量可被约去，小球做圆周运动的半径不变，小球对玻璃管无压力，故玻璃管对小球也无压力，故C错误； D．仅增加角速度至后，小球需要的向心力增大，小球有离心的趋势，小球将垂直于右侧管壁挤压管壁，玻璃管会给小球一个斜向下的压力，故D正确。 故选BD。 考向2 圆盘模型 知●识●解●构 物体在粗糙圆盘上，随圆盘一起做圆周运动。通常求解摩擦力、临界状态等问题。 如图，通过对物块A进行受力分析可知，圆盘对它的摩擦力为其提供做圆周运动的向心力，同时设最大静摩擦力等于其滑动摩擦力。 有，解得临界速度。 由此可知：当圆盘角速度时，物块A与圆盘保持相对静止； 当圆盘角速度时，物块A相对于圆盘滑动； 临界角速度与物块质量无关，物块越靠近圆心O，r越小，临界角速度越大，物块越稳定，不易滑动。 连接体圆盘模型 如图，A、B两物块通过细线相连，与圆盘间动摩擦因数均为，设最大静摩擦力等于其滑动摩擦力；当圆盘角速度较小时，细线拉力为0，物块仅靠摩擦力来提供向心力。 根据单体圆盘模型结论可知，B物块会先达到最大静摩擦力，有，解得； 随着圆盘角速度继续增加，细绳开始“帮忙”产生拉力，阻止B滑动，直至A也达到最大静摩擦力，二者与圆盘均产生相对滑动。 此时对于B有：；对于A有：，两式联立可求出。 小结： 圆盘转动角速度 受力状态 时 细线拉力为0，A、B均靠摩擦力来提供向心力 时 细线拉力为0，B达到最大静摩擦力 时 细线产生拉力，B达到最大静摩擦力，A摩擦力随角速度增大而增大 时 A达到最大静摩擦力 时 A、B与圆盘均产生相对滑动 要理解透彻，不要死记硬背，特别是角速度下角标等：要根据A、B位置，进行解答。 当两物块位于圆盘两侧时，分析思路相同，联立方程组时，注意细线拉力方向 例1 （多选）如图，两个小木块a和b（可视为质点）放在水平圆盘上，质量分别为2m和m，a与转轴OO′的距离为L，b与转轴的距离为2L。木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g。若圆盘从静止开始绕轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是（　　） A．木块受重力、支持力、摩擦力和向心力 B．b一定比a先开始滑动 C．是b开始滑动的临界角速度 D．当时，a所受摩擦力的大小为kmg 【答案】BC 【详解】A．木块受重力，支持力、摩擦力，向心力是效果力，是由合力提供，故A错误； B．木块所受静摩擦力提供向心力，根据可知，半径大的需要的向心力大，随着圆盘转动加快，木块b需要的向心力先超过其所受的最大静摩擦力，故b一定比a先开始滑动，故B正确； C．由，，解得b开始滑动的临界角速度为；故C正确； D．由，，解得当a将要滑动瞬间的临界角速度为；故当时，a未滑动，所受摩擦力的大小为；故D错误。 故选BC。 【变式训练1】（2024·江苏·高考真题）如图是生产陶瓷的工作台，台面上掉有陶屑，与工作台一起绕OO'匀速转动，陶屑与桌面间的动摩因数处处相同（台面够大）。最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则（    ） A．越靠近台面边缘的陶屑质量越大 B．越靠近台面边缘的陶屑质量越小 C．陶屑只能分布在工作台边缘 D．陶屑只能分布在某一半径的圆内 【答案】D 【详解】ABC．与台面相对静止的陶屑做匀速圆周运动，静摩擦力提供向心力，当静摩擦力为最大静摩擦力时，根据牛顿第二定律可得；解得 因与台面相对静止的这些陶屑的角速度相同，由此可知能与台面相对静止的陶屑离轴OO′的距离与陶屑质量无关，只要在台面上不发生相对滑动的位置都有陶屑。故ABC错误； D．离轴最远的陶屑其受到的静摩擦力为最大静摩擦力，由前述分析可知最大的运动半径为 μ与ω均一定，故R为定值，即离轴最远的陶屑距离不超过某一值R，即陶屑只能分布在半径为R的圆内。故D正确。 故选D。 【变式训练2】（多选）如图所示，两个可视为质点的、相同的木块A和B放在转盘上，两者用长为L的细绳连接，木块与转盘的最大静摩擦力均为各自重力的K倍，A放在距离转轴L处，整个装置能绕通过转盘中心的转轴O1O2转动，开始时，绳恰好伸直但无弹力，现让该装置从静止开始转动，使角速度缓慢增大，以下说法正确的是 A．当 时，绳子没有弹力 B．当时，A、B相对于转盘会滑动 C．ω在范围内时，B所受摩擦力不变 D．ω在 范围内增大时，A所受摩擦力先不变后增大 【答案】ABC 【解析】当B达到最大静摩擦力时，绳子开始出现弹力，kmg=m•2Lω2，解得，知时，绳子没弹力，故A正确； 当A所受的摩擦力达到最大静摩擦力时，A、B相对于转盘会滑动，对A有：kmg-T=mLω2，对B有：T+kmg=m•2Lω2，解得，当时，A、B相对于转盘会滑动,故B正确； 时B已经达到最大静摩擦力，则ω在内，B受到的摩擦力不变，故C正确； 当ω在范围内，A相对转盘是静止的，A所受摩擦力为静摩擦力，所以f-T=mLω2，当ω增大时，静摩擦力也增大，故D错误； 故选ABC。 【变式训练3】（难）（多选）如图所示，水平圆盘可绕竖直轴转动，圆盘上放有小物体A、B、C，质量分别为m、2m、3m，A叠放在B上，C、B离圆心O距离分别为2r、3r。C、B之间用细线相连，圆盘静止时细线刚好伸直无张力。已知C、B与圆盘间动摩擦因数为，A、B间摩擦因数为3，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，现让圆盘从静止缓慢加速，则（　　） A．当时，A、B即将开始滑动 B．当时，细线张力 C．当时，C受到圆盘的摩擦力为0 D．当时剪断细线，C将做离心运动 【答案 】BC 【解析】A. 当A开始滑动时有：；解得：；当时，AB未发生相对滑动，选项A错误； B. 当时，以AB为整体，根据可知； B与转盘之间的最大静摩擦力为：；所以有：； 此时细线有张力，设细线的拉力为T，对AB有：； 对C有：；解得，；选项B正确； C. 当时，AB需要的向心力为：； 解得此时细线的拉力；； C需要的向心力为：； C受到细线的拉力恰好等于需要的向心力，所以圆盘对C的摩擦力一定等于0，选项C正确； D. 当时，对C有：；剪断细线，则；所以C与转盘之间的静摩擦力大于需要的向心力，则C仍然做匀速圆周运动。选项D错误。 故选BC。 考向3 车辆转弯模型 知●识●解●构 甲图为火车轮与铁轨接触实拍，当火车转弯时，如果铁轨水平，则火车做圆周运动所需向心力仅能由外侧铁轨对车轮的支持力提供，火车易脱轨。 乙 甲 在实际生活中，铁轨拐弯处通常设计出一定的坡度（外高内低），如图乙，此时火车所受重力与支持力不再平衡，如果火车速度合适，火车转弯所需的向心力可完全由重力和支持力的合力提供。 根据向心力公式有，解得。r为弯道半径，θ为轨道所在平面与水平面的夹角，为转弯处的规定速度。 ✨得分速记： 轨道压力分析： （1）当火车行驶速度v等于规定速度时，所需向心力仅由重力和弹力的合力提供，此时火车对内外轨道无挤压作用。 （2）当火车行驶速度v与规定速度不相等时，火车所需向心力不再仅由重力和弹力的合力提供，此时内外轨道对火车轮缘有挤压作用，具体情况如下： ①当火车行驶速度v>时，外轨道对轮缘有侧压力。 ②当火车行驶速度v<时，内轨道对轮缘有侧压力。 和火车转弯模型一样，一般汽车转弯处的地面也是倾斜的，当汽车以某一适当速度经过弯道时，由汽车自重与斜面的支持力的合力提供向心力；小于这一速度时，地面会对汽车产生向外侧的摩擦力；大于这一速度时，地面会对汽车产生向内侧的摩擦力。所以当汽车转弯时，存在一个安全通过的最大速度，如果超过了这个速度，汽车将发生侧滑现象 例1 如图甲所示，在修筑铁路时，为了消除轮缘与铁轨间的挤压，要根据弯道的半径和规定的行驶速度，设计适当的倾斜轨道，即两个轨道存在一定的高度差。如图乙所示，火车轨道在某转弯处其轨道平面倾角为θ，转弯半径为r，在该转弯处规定行驶的速度为v，则下列说法中正确的是（　　） A．火车运动的圆周平面为图乙中的a B．当火车转弯时，火车实际转弯速度越小越好 C．当火车行驶的速率大于时，外侧铁轨对车轮的轮缘施加压力 D．当火车行驶的速率等于时，内、外侧铁轨对车轮的轮缘均无压力 【答案】C 【详解】A．火车运动的圆周平面为水平面，为图中的b，故A错误； D．由重力与支持力的合力提供向心力可得；所以在该转弯处规定行驶的速度为；故D错误； C．由C项分析可知，当火车行驶的速率大于时，外侧铁轨对车轮的轮缘施加压力，故C正确； B．若火车行驶的速度小于设计速度时，内侧铁轨对车轮的轮缘施加压力，速度越小，压力越大，内轨道和轮缘之间的磨损越严重，故B错误。 故选C。 【变式训练1】列车转弯时的受力分析如图所示，铁路转弯处的圆弧半径为R，两铁轨之间的距离为d，内外轨的高度差为h，铁轨平面和水平面间的夹角为（很小，可近似认为），下列说法正确的是（　　） A．列车转弯时受到重力、支持力和向心力的作用 B．列车过转弯处的速度时，列车轮缘不会挤压内轨和外轨 C．列车过转弯处的速度时，列车轮缘会挤压外轨 D．若减小角，可提高列车安全过转弯处的速度 【答案】B 【解析】A．列车转弯时受到重力、支持力，重力和支持力的合力提供向心力，A错误； B．当重力和支持力的合力提供向心力时，则；解得；列车轮缘不会挤压内轨和外轨，B正确； C．列车过转弯处的速度时，转弯所需的合力；故此时列车内轨受挤压，C错误； D．若要提高列车速度，则列车所需的向心力增大，故需要增大α，D错误。 故选B。 【变式训练2】（多选）火车速度的提高易使外轨受损，提速后为解决火车转弯时对外轨的磨损问题，下列可行的措施有（　　） A．增大弯道半径 B．减小弯道半径 C．适当减小内、外轨道的高度差 D．适当增大内、外轨道的高度差 【答案】AD 【详解】火车转弯时为减小外轨所受压力，可使外轨略高于内轨，使轨道形成斜面，若火车速度合适，内外轨均不受挤压。此时，重力与支持力的合力提供向心力，如图所示 ；；当火车速度增大时，应适当增大转弯半径或增加内外轨道的高度差。 故选AD。 【变式训练3】（多选）若将短道速滑运动员在弯道转弯的过程看成在水平冰面上的一段匀速圆周运动，转弯时冰刀嵌入冰内从而使冰刀受与冰面夹角为（蹬冰角）的支持力，不计一切摩擦，弯道半径为，重力加速度为。以下说法正确的是（　　） A．运动员转弯时速度的大小为 B．运动员转弯时速度的大小为 C．若运动员转弯速度变大则需要减小蹬冰角 D．运动员做匀速圆周运动，他所受合外力保持不变 【答案】BC 【详解】AB．运动员受力如图：根据合力提供向心力可得 可知运动员转弯时速度的大小为，故A错误，B正确； C．根据，可知若运动员转弯速度变大则需要减小蹬冰角，故C正确； D．运动员做匀速圆周运动，他所受合外力大小保持不变，但是方向不断变化，故D错误。 故选BC。 知识点4 竖直面内的圆周运动 考向1 汽车过桥模型 知●识●解●构 汽车过拱形桥，在最高点时，受力情况如图所示： 向心力；；； 所以，汽车所受合力向向下，处于失重状态；当时，汽车脱离桥面，做平抛运动，汽车及其中的物体处于完全失重状态。 汽车过凹形桥，在最低点时，受力情况如图所示： 向心力；；； 所以；汽车所受合力向向上，处于超重状态。 例1 如图所示，质量为m的物块，沿着半径为R的半球形金属壳内壁滑下，半球形金属壳竖直固定放置，开口向上，滑到最低点时速度大小为v，若物体与球壳之间的动摩擦因数为，则物体在最低点时，下列说法正确的是（　　） A．向心力为 B．受到的摩擦力为 C．受到的摩擦力为 D．受到的合力方向斜向右上方 【答案】C 【解析】ABC．根据牛顿第二定律可知，在最低点；；；解得；所以AB错误；C正确； D．物体所受摩擦力方向向左，竖直方向的合力方向竖直向上，所以受到的合力方向斜向左上方，则D错误； 故选C 【变式训练1】对汽车通过拱形桥的测试是检验汽车性能的一个方面，拱形桥位于同一圆周上，如图所示。某次测试中汽车匀速率通过拱形桥，对该过程的说法正确的是（　　） A．汽车运动的加速度保持不变 B．汽车运动的向心力大小保持不变 C．桥面对汽车的支持力先减小后增大 D．汽车过桥的过程中处于超重状态 【答案】B 【详解】A．根据题意可知，汽车做匀速圆周运动，其加速度方向始终指向圆心，根据 可知，加速度大小不变，方向时刻在改变，即汽车运动的加速度发生了改变，故A错误； B．汽车做匀速圆周运动，其所需要的向心力为；可知，汽车运动的向心力大小保持不变，故B正确； C．令汽车所在位置的半径与竖直方向夹角为，汽车做匀速圆周运动，由沿半径方向的合力提供向心力，则有；解得；在汽车过拱形桥过程，先减小后增大，可知，桥面对汽车的支持力先增大后减小，故C错误； D．汽车过桥的过程中，汽车的向心加速度总指向圆心，即汽车存在竖直向下的分加速度，可知，汽车过桥的过程中处于失重状态，故D错误。 故选B。 【变式训练2】日常生活中，我们看到的桥面都是中间高的凸形桥，中间低的凹形桥很少见。下列有说法正确的是（    ） A．汽车通过凹形桥的最低点时，支持力提供向心力 B．汽车通过凹形桥的最低点时，汽车处于失重状态 C．汽车通过凹形桥的最低点时，为了防止爆胎，车应快速驶过 D．同一辆汽车以相同的速率通过凹形桥的最低点时，比通过凸形桥最高点对桥面的压力大 【答案】D 【详解】ABC．汽车通过凹形桥的最低点时，支持力和重力的合力提供向心力；根据牛顿第二定律可得；可得；可知汽车处于超重状态；汽车通过凹形桥的最低点时，为了防止爆胎，车应慢速驶过；故ABC错误； D．汽车通过凸形桥最高点时，根据牛顿第二定律可得；可得；则同一辆汽车以相同的速率通过凹形桥的最低点时，比通过凸形桥最高点对桥面的压力大，故D正确。 故选D。 【变式训练3】（多选）如图所示，游乐场中质量为m的过山车经过轨道上竖直小圆的最低点A和竖直大圆的最高点B，若经过两个点时过山车的速率相等，过山车可看作质点，重力加速度为g，下列说法中正确的是（  ） A．过山车在A、B两点均处于失重状态 B．在A、B两点轨道对过山车的弹力大小之差为2mg C．过山车在A点的角速度大于在B点的角速度 D．A点轨道对过山车的弹力大于B点轨道对过山车的弹力 【答案】CD 【详解】A．过山车在A点时，向心加速度竖直向上，处于超重状态，故A错误； B．经过两个点时过山车的速率相等，在A点有；在B点有；因为圆半径不同，则在A、B两点轨道对过山车的弹力大小之差不为2mg，故B错误； C．经过两个点时过山车的速率相等，根据，因为，故过山车在A点的角速度大于在B点的角速度，故C正确； D．根据；；；可得；故D正确。 故选CD。 考向2 绳、杆（管）模型 知●识●解●构 绳—球（过山车）模型 杆（圆管）—球模型 实例 如球与绳连接、沿内轨道运动的球等 如球与杆连接、球在内壁光滑的圆管内运动等 图示 最高点无支撑 最高点有支撑 最高点 受力特征 重力、弹力，弹力方向向下或等于零 重力、弹力，弹力方向向下、等于零或向上 受力示意图 力学特征 mg＋FN＝m mg±FN＝m 临界特征 FN＝0，vmin＝ 竖直向上的FN＝mg，v＝0 过最高点条件 v≥ v≥0 速度和弹力关系讨论分析 ①能过最高点时，v≥， ②不能过最高点时，v<，在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道做斜抛运动 ①当v＝0时，FN＝mg，FN为支持力，沿半径背离圆心 ②当0<v<时，－FN＋mg＝m，FN背离圆心，随v的增大而减小 ③当v＝时，FN＝0 ④当v>时，FN＋mg＝m，FN指向圆心并随v的增大而增大 例1 一轻绳一端固定质量为m的小球，以另一端O为圆心，使小球在竖直面内做半径为R的圆周运动，如图所示，则下列说法正确的是（　　） A．小球过最高点时，绳所受到的拉力不可以等于零 B．小球过最高点的最小速度是0 C．小球过最高点时，绳对球的作用力一定随速度增大而增大 D．小球过最高点时，绳对球的作用力一定随速度增大而减小 【答案】C 【解析】设小球通过A点时的速度大小为v，此时绳的拉力大小为T，根据牛顿第二定律可得 ；上式可知小球过最高点时，绳对球的作用力一定随速度增大而增大，当小球通过A点时所受重力恰好提供所需的向心力时，小球有最小速度为；且此时有T=0；综上所述可知ABD错误，C正确。 故选C。 例2 如图所示，可视为质点的、质量为m的小球，在半径为R的竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，重力加速度为g。下列有关说法中正确的是（　　） A．小球在圆心上方管道内运动时，对外壁一定有作用力 B．小球能够到达最高点时的最小速度为 C．小球达到最高点的速度是时，球受到的合外力为零 D．若小球在最高点时的速度大小为2，则此时小球对管道外壁的作用力大小为3mg 【答案】D 【解析】AB．圆形管道内能支撑小球，小球能够通过最高点时的最小速度为0，此时对外轨道没有作用力。故AB错误； C．小球做曲线运动，合外力不为零。故C错误； D．设管道外壁对小球的弹力大小为，方向竖直向下。由牛顿第二定律得；代入解得；方向竖直向下。故D正确。 故选D。 例3 如图所示，长1m的轻质细杆，一端固定有一个质量为2kg的小球，另一端由电动机带动，使杆绕O点在竖直平面内做匀速圆周运动，小球的速率为3m/s，取重力加速度，下列说法正确的是（　　） A．小球通过最高点时，对杆的拉力大小是2N B．小球通过最高点时，对杆的压力大小是2N C．小球通过最低点时，对杆的拉力大小是24N D．小球通过最低点时，对杆的压力大小是32N 【答案】B 【解析】AB．小球通过最高点时，对球受力分析可知；解得F1=-2N 说明杆对球有向上的支持力，大小为2N，则球对杆有压力，大小是2N，选项A错误，B正确； CD．小球通过最低点时，对球受力分析可知；解得F2=38N；即杆对球有向上的拉力，球对杆向下的拉力大小是38N，选项CD错误。 故选B。 【变式训练1】如图所示，长度为L＝0.4 m的轻绳，系一小球在竖直平面内做圆周运动，小球的质量为m＝0.5 kg，小球半径不计，g取10 m/s2，求： (1)小球刚好通过最高点时的速度大小； (2)小球通过最高点时的速度大小为4 m/s时，绳的拉力大小； (3)若轻绳能承受的最大张力为45 N，小球运动过程中速度的最大值. 【解析】(1)小球刚好能够通过最高点时，恰好只由重力提供向心力，故有mg＝m，解得v1＝＝2 m/s (2)小球通过最高点时的速度大小为4 m/s时，拉力和重力的合力提供向心力，则有FT＋mg＝m，解得FT＝15 N； (3)分析可知小球通过最低点时绳张力最大，在最低点由牛顿第二定律得FT′－mg＝，将FT′＝45 N代入解得v3＝4 m/s，即小球的速度不能超过4 m/s 【变式训练2】如图甲所示，长为R的轻杆一端固定一个小球，小球在竖直平面内绕轻杆的另一端O做圆周运动，小球到达最高点时受到杆的弹力与速度平方的关系如乙图所示，则（　　） A．小球到达最高点的速度不可能为0 B．当地的重力加速度大小为 C．时，小球受到的弹力方向竖直向下 D．时，小球受到的弹力方向竖直向下 【答案】D 【解析】A．因杆既能提供支持力，又能提供拉力，则杆球模型的最高点临界条件是，则有 即小球到达最高点的最小速度为0，故A错误； BC．由图像可知，在时，以较小速度通过最高点，杆提供支持力，由牛顿第二定律有 ；可得；随着通过最高点速度增大，杆的支持力为正值（规定向上为正）逐渐减小，而当时，有，即；解得；故BC均错误； D．由以上分析可知，在时，以较大速度通过最高点，杆提供拉力，由牛顿第二定律有 ；可得；拉力为负值表示方向向下，大小随着速度增大而增大，而，则小球受到的弹力方向一定竖直向下，故D正确； 故选D。 知识点5 离心运动和临界问题 知●识●解●构 1．离心运动的实质：是物体惯性的表现。做圆周运动的物体，由于惯性，总是有沿着圆周切线飞出去的趋向，之所以没有飞出去，是因为受到向心力的作用。从某种意义上说，向心力的作用是不断地把物体从圆周运动的切向方向拉回到圆周上来。 2．离心运动的条件：做圆周运动的物体，提供向心力的外力突然消失或者合外力不能提供足够大的向心力。 3．离心运动、近心运动的判断：如图所示，物体做圆周运动是离心运动还是近心运动，由实际提供的向心力Fn与所需向心力，（）的大小关系决定 例1 如图所示，光滑水平面上，小球在拉力F作用下做匀速圆周运动。若小球运动到P点时，拉力F发生变化，关于小球运动情况的说法正确的是（　　） A．若拉力突然消失，小球将沿轨迹Pb做离心运动 B．若拉力突然变小，小球将沿轨迹Pa做离心运动 C．若拉力突然变大，小球将沿轨迹Pb做近心运动 D．若拉力突然变小，小球将沿轨迹Pb做离心运动 【答案】D 【详解】A．若拉力突然消失，小球做离心运动，因为水平方向不受力，将沿轨迹Pa运动，故A错误； BD．若拉力变小，拉力不足以提供所需向心力，小球将做半径变大的离心运动，即沿Pb运动，故B错误，D正确； C．若拉力变大，则拉力大于所需向心力，小球将沿轨迹Pc做近心运动，故C错误。 故选D。 例2 （多选）质量为m的小球(不计大小)由轻绳a和b分别系于一竖直轻质细杆的A点和B点，如图5所示，当轻杆绕轴OO′以角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，a绳与水平方向成θ角，b绳沿水平方向且长为l，则下列说法正确的是(　　) A.a绳的张力不可能为零 B.a绳的张力随角速度的增大而增大 C.若角速度ω>，b绳将出现弹力 D.若b绳突然被剪断，则a绳的弹力一定发生变化 【答案】AC 【解析】对小球受力分析可得a绳的弹力在竖直方向的分力平衡了小球的重力，解得FTa＝，为定值，A正确，B错误； 当FTacos θ＝mω2l，即ω＝时，b绳的弹力为零，若角速度大于该值，则b绳将出现弹力，C正确； 由于b绳可能没有弹力，故b绳突然被剪断，a绳的弹力可能不变，D错误； 故选AC。 【变式训练2】（多选）如图所示为洗衣机脱水桶，在匀速转动的洗衣机脱水桶内壁上有一件湿衣服与圆桶一起运动，衣服相对于圆桶壁静止，则（　　）   A．衣服受到重力、弹力、摩擦力、向心力四个力的作用 B．洗衣机脱水桶转动得越快，衣服与桶壁间的弹力就越大 C．衣服上的水滴与衣服间的附着力不足以提供所需的向心力时，水滴做离心运动 D．衣服上的水滴与衣服间的附着力大于所需的向心力时，水滴做离心运动 【答案】BC 【详解】A．衣服受到重力、弹力、摩擦力三个力的作用，其中弹力充当做圆周运动的向心力，选项A错误； B．根据；可知，洗衣机脱水桶转动得越快，衣服与桶壁间的弹力就越大，选项B正确； CD．衣服上的水滴与衣服间的附着力不足以提供所需的向心力时，水滴做离心运动，选项C正确，D错误。 故选BC。 【变式训练2】（多选）如图甲所示， 滚筒洗衣机脱水时， 衣物紧贴着滚筒壁在竖直平面内做顺时针方向的匀速圆周运动。可简化为图乙所示模型，一件小衣物质量为m， A、B分别为小衣物经过的最高位置和最低位置，测得小衣物过A 点线速度大小为 v， 做圆周运动的周期为T。已知重力加速度为g，小衣物可视为质点。下列说法正确的是（　　） A．转筒半径为 B．衣物在A 点受到滚筒壁的压力为 C．衣物转到 B 位置时的脱水效果最好 D．要使衣物过A 点不掉下， 转筒的周期不能大于 【答案】ACD 【详解】A．根据；可得转筒半径为 ；选项A正确； B．衣物在A 点时；解得衣物在A点受到滚筒壁的压力为；选项B错误； C．衣物转到 B 位置时由牛顿第二定律；可知在B位置的脱水效果最好，选项C正确； D．要使衣物过A 点不掉下， 则；解得；即转筒的周期不能大于，选项D正确。 故选ACD。 【变式训练3】如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度ω转动，盘面上离转轴2.5m处有一小物体与圆盘始终保持相对静止，物体与盘面间的动摩擦因数为，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，盘面与水平面的夹角为30°，g取10m/s2，则以下说法中不正确的是（　　） A．小物体随圆盘做匀速圆周运动时，一定始终受到三个力的作用 B．小物体随圆盘以不同的角速度ω做匀速圆周运动时，ω越大，小物体在最高点处受到的摩擦力一定越大 C．小物体受到的摩擦力可能背离圆心 D．ω的最大值是1.0rad/s 【答案】B 【详解】AD．当物体转到圆盘的最低点且恰好不滑动时，圆盘的角速度最大，此时小物体受竖直向下的重力、垂直于圆盘向上的支持力、沿圆盘指向圆心的摩擦力，则沿圆盘的合力提供向心力有；代入题中数据，解得 当物体在最高点时，若只受到重力与支持力2个力的作用，合力提供向心力，此时有；解得ω= 此时物体不能随圆盘一直保持静止，故假设不成立，物体一定受摩擦力作用，故AD正确，不符合题意； BC．由以上分析可知小物体在最高点时若，摩擦力的方向沿半径向上（背离圆心），ω越大，小物体在最高点处受到的摩擦力越小，故B错误，符合题意，C正确，不符合题意。 故选B。 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2024·辽宁·高考真题）“指尖转球”是花式篮球表演中常见的技巧。如图，当篮球在指尖上绕轴转动时，球面上P、Q两点做圆周运动的（　　） A．半径相等 B．线速度大小相等 C．向心加速度大小相等 D．角速度大小相等 【答案】D 【详解】D．由题意可知，球面上P、Q两点转动时属于同轴转动，故角速度大小相等，故D正确； A．由图可知，球面上P、Q两点做圆周运动的半径的关系为；故A错误； B．根据可知，球面上P、Q两点做圆周运动的线速度的关系为；故B错误； C．根据可知，球面上P、Q两点做圆周运动的向心加速度的关系为；故C错误。 故选D。 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 圆周运动（复习讲义） 考点精讲·靶向突破 ——拆解核心考点，归纳解题范式 知识点1 圆周运动 考向1 圆周运动的描述 例1 【答案】C 【变式训练1】【答案】D 【变式训练2】【答案】D 【变式训练3】【答案】B 考向2 圆周运动的传动装置 例1 【答案】B 例2 【答案】BC 【变式训练1】【答案】B 【变式训练2】【答案】B 考向3 圆周运动的多解问题 例1 【答案】AC 【变式训练1】【答案】B 【变式训练2】【答案】C 【变式训练3】【答案】BC 知识点2 向心力和向心加速度 考向1 向心力的来源 例1 【答案】D 【变式训练1】【答案】CD 【变式训练2】【答案】B 【变式训练3】【答案】C 考向2 向心力的简单计算 例1 【答案】A 【变式训练1】【答案】BC 【变式训练2】【答案】C 【变式训练3】【答案】A 知识点3 水平面内的圆周运动 考向1 圆锥摆模型 例1 【答案】C 【变式训练1】【答案】A 【变式训练2】【答案】C 【变式训练3】【答案】BD 考向2 圆盘模型 例1 【答案】BC 【变式训练1】【答案】D 【变式训练2】【答案】ABC 【变式训练3】（难）【答案 】BC 考向3 车辆转弯模型 例1 【答案】C 【变式训练1】【答案】B 【变式训练2】【答案】AD 【变式训练3】【答案】BC 【知识点4 竖直面内的圆周运动 考向1 汽车过桥模型 例1 【答案】C 【变式训练1】【答案】B 【变式训练2】【答案】D 【变式训练3】【答案】CD 考向2 绳、杆（管）模型 例1 【答案】C 例2【答案】D 例3 【答案】B 【变式训练1】v1＝＝2 m/s；FT＝15 N；不能超过4 m/s 【变式训练2】【答案】D 知识点5 离心运动和临界问题 例1 【答案】D 例2 【答案】AC 【变式训练2】【答案】BC 【变式训练2】【答案】ACD 【变式训练3】【答案】B 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．【答案】D 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 圆周运动（复习讲义） 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 考点精讲·靶向突破 拆解核心考点，归纳解题范式 知识点一 圆周运动 考向1 圆周运动的描述 考向2 圆周运动的传动装置 考向3 圆周运动的多解问题 知识点二 向心力和向心加速度 考向1 向心力的来源 考向2 向心力的简单计算 知识点三 水平面内的圆周运动 考向1 圆锥摆模型 考向2 圆盘模型 考向3 车辆转弯模型 知识点四 竖直面内的圆周运动 考向2 汽车过桥模型 考向2 绳、杆 （管）模型 知识点五 离心运动和临界问题 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 更早 抛体运动 —— —— 2024年 单选第2题 2022年 计算第1题 考情分析 题型与考向：作为高中物理的高频考点，圆周运动模块的考查近年来呈现出“基础为根、情境为枝、综合为冠”的特点。 情境与立意： 真实生活情境：题目常以学生熟悉的场景为载体，考查知识应用能力。 交通出行：汽车通过拱形桥/凹形路面、火车转弯、自行车传动结构、车牌自动识别系统。 娱乐与体育：过山车、雪地转椅、杂技表演（如水流星）、跳绳彩灯轨迹。 日常生活：旋转杯、共享单车轮毂轴承。 现代科技情境：引入前沿科技，提升试题的时代感。无人机投放、空间站舱体旋转模拟重力。 立意层面： 考查模型构建能力：要求学生能从复杂情境中抽象出物理模型（如圆锥摆、绳球模型）。 强化综合分析能力：考查学生多步骤、多过程推理和知识迁移的能力。 体现核心素养：通过真实情境，考查学生的“物理观念”和“科学思维”。 复习目标 夯实基础，构建网络 准确理解线速度、角速度、周期、向心加速度等概念及其相互关系。 熟练掌握常见传动方式的特点（同轴、皮带、齿轮）。 掌握方法，攻克模型 动力学分析：核心是确定研究对象，分析受力，找到向心力来源。 模型突破：系统掌握圆锥摆、水平转盘、绳球、杆球等经典模型的分析方法 临界思维：强化对“刚好”、“恰好”、“最大/最小”等临界状态的敏感度。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 考点精讲·靶向突破 ——拆解核心考点，归纳解题范式 知识点1 圆周运动 知●识●解●构 物体的运动轨迹是圆的运动叫圆周运动。 描述圆周运动的物理量： 1．线速度 质点做圆周运动通过的弧长 Δs和所用时间 Δt 的比值叫做线速度。 物理意义：描述质点沿圆周运动的快慢。 大小：。 注意：ΔS是弧长，不是位移；当Δt 很小很小时（趋近零），弧长ΔS就等于物体的位移，式中的v ，就是直线运动中学过的瞬时速度。 线速度是矢量，其方向：沿圆周上该点的切线方向。 2．角速度 物体做圆周运动，连接物体和圆心的半径转过的角度Δθ和所用时间Δt的比值叫做角速度。 物理意义：描述质点绕圆心转动的快慢。 大小：。 单位：rad/s (弧度/秒)。 弧度与角度公式：，运动一周，即360°=2πrad； 3．周期、频率、转速 周期定义:物体运动一周所用的时间；符号是T；单位是s。 频率定义:物体在单位时间（每秒）转的圈数；符号是f；单位是Hz或。 转速定义:物体在单位时间（每秒或每分）转的圈数；符号是n；单位是r/s或r/min。 周期、频率和转速关系：；描述物体做圆周运动的快慢。 线速度 角速度 周期 转速 定义、意义 描述圆周运动的物体运动快慢的物理量 描述物体绕圆心转动快慢的物理量 物体沿圆周一周所用的时间 物体单位时间内转过的圈数 矢量、标量 是矢量，方向和半径垂直，和圆弧相切 有方向，但中学阶段不研究 标量、无方向 标量、无方向 公式 v＝＝ ω＝＝ T＝＝ n＝ 单位 m/s rad/s s r/s、r/min 相互关系 (1)v＝rω＝＝2πrn；(2)T＝ 匀速圆周运动：质点沿圆周运动，在相等的时间内通过的圆弧长度相等。 特点：线速度的大小处处相等。因匀速圆周运动的线速度方向时刻在改变，所以它是一种变速运动。这里的“匀速”实质上指的是“匀速率”而不是“匀速度”。 角速度是标量，因此匀速圆周运动是角速度不变的运动 考向1 圆周运动的描述 例1 某教室内墙壁上挂有一只走时准确的石英钟，盘有时针、分针和秒针，如图所示。关于它们的转动情况描述正确的是（　　） A．时针与分针转动的角速度之比为1∶60 B．时针与秒针转动的角速度之比为1∶3600 C．分针与秒针转动的角速度之比为1∶60 D．分针与秒针转动的周期之比为1∶12 【变式训练1】关于匀速圆周运动，下列说法正确的是（　　） A．匀速圆周运动是匀变速曲线运动 B．匀速圆周运动是速度不变的运动 C．匀速圆周运动的加速度恒定不变 D．匀速圆周运动的角速度恒定不变 【变式训练2】A、B两艘快艇在湖面上做匀速圆周运动，在相同的时间内，它们通过的路程之比是，运动方向改变的角度之比是，则它们（　　） A．线速度大小之比为 B．角速度大小之比为 C．圆周运动的半径之比为 D．周期之比为2：3 【变式训练3】如图为车牌自动识别系统的直杆道闸，直杆可绕O在竖直面内转动。某汽车从自动识别线ab处到达直杆处的时间为4.5s，自动识别系统的反应时间为0.5s。如果汽车到道闸位置时，直杆刚好由水平位置转到竖直位置，则直杆转动的平均角速度大小为（ ） A． B． C． D． 考向2 圆周运动的传动装置 知●识●解●构 同轴传动 皮带传动 齿轮传动 装置 A、B两点在同轴的一个圆盘上 两个轮子用皮带连接，A、B两点分别是两个轮子边缘的点 两个齿轮轮齿啮合，A、B两点分别是两个齿轮边缘上的点 特点 角速度、周期相同 线速度大小相同 线速度大小相同 转动方向 相同 相同 相反 规律 线速度与半径成正比：＝ 角速度与半径成反比：＝；周期与半径成正比：＝ 角速度与半径成反比：＝；周期与半径成正比：＝ 例1 如图所示，由于地球自转，地球上的一切物体都随地球一起转动，现有A、B两人，A在赤道上，B在北纬60°处，则A、B两人的线速度之比为（　　） A． B． C． D． 例2 （多选）变速自行车靠变换齿轮组合来改变行驶速度，如图是某一变速车齿轮转动结构示意图，图中A轮有48齿，B轮有42齿，C轮有18齿，D轮有12齿，则(　　) A．该车可变换两种不同挡位 B．该车可变换四种不同挡位 C．当A轮与D轮组合时，两轮的角速度之比ωA∶ωD＝1∶4 D．当A轮与D轮组合时，两轮角速度之比ωA∶ωD＝4∶1 【变式训练1】如图所示，两个小球固定在一根长为l的杆的两端，绕杆上的O点做圆周运动。当小球A的速度为vA时，小球B的速度为vB，则轴心O到小球A的距离是(　　) A．vA(vA＋vB)l B. C. D. 【变式训练2】图为某种品牌的共享单车的链轮、链条、飞轮、踏板、后轮示意图，在骑行过程中，踏板和链轮同轴转动、飞轮和后轮同轴转动，已知链轮与飞轮的半径之比为，后轮直径为，当踩踏板做匀速圆周运动的角速度为时，后轮边缘处A点的线速度大小为（　　） A． B． C． D． 考向3 圆周运动的多解问题 例1 （多选）如图所示，竖直平面内半径为R的圆盘绕中轴O顺时针匀速转动，当圆盘上的A点转至最高点时，紧贴A点以水平速度（g为重力加速度）抛出一个可视为质点的小球，当A点转至水平位置时，小球刚好落到过O点的水平面，则圆盘的角速度可能为（　　）    A． B． C． D． 【变式训练1】如图所示，电风扇在闪光灯下运转，闪光灯每秒闪30次，风扇转轴O上装有3个扇叶，它们互成120°角，当风扇转动时，观察者感觉扇叶不动，则风扇转速不可能是（　　）    A．600 r/min B．900 r/min C．1 200 r/min D．3 000 r/min 【变式训练2】为了测定子弹的飞行速度，在一根水平放置的轴杆上固定两个薄圆盘A、B，盘A、B平行且相距，轴杆的转速为，子弹穿过两盘留下两弹孔，测得两弹孔所在半径的夹角，如图所示。则该子弹的速度可能是（　　）    A． B． C． D． 【变式训练3】（多选）各地为提高当地人们的业余生活水平，修建了各种冲关类娱乐游戏设施。下图为某地冲关游戏中的一个关卡。一个以某一角速度转动的圆盘浮在水面上，圆盘表面保持水平，M为圆盘边缘上一点。某时刻，参赛者从跑道上P点以速度水平向右跳出，初速度方向沿OM方向，且轨迹与OM在同一竖直平面内，正好落在M点，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　）    A．若跳出时刻不变，仅增大，参赛者仍可能落在M点 B．若跳出时刻不变，仅减小，参赛者一定不会落在M点 C．若跳出时刻不变，仅增大转盘的角速度，参赛者仍可能落在M点 D．若跳出时刻不变，仅增大转盘的角速度，参赛者不可能落在M点 知识点2 向心力和向心加速度 知●识●解●构 做匀速圆周运动的物体所受的合力总指向圆心，这个指向圆心的力叫作向心力，符号为Fn。 方向：指向圆心，时刻变化，是变力。 向心力方向与速度方向垂直，只改变速度的方向，不改变速度的大小。 计算式： ✨得分速记： （1）向心力可以是重力、弹力、摩擦力等各种性质的力，也可以是几个力的合力，还可以是某个力的分力。物体做匀速圆周运动时，由合力提供向心力。 （2）向心力是根据作用效果命名的，并不是一种新的性质的力，受力分析时，切不可在物体的相互作用力以外再添加一个向心力。 （3）向心力不是物体真实受到的一个力，不能说物体受到向心力的作用，只能说某个力或某几个力提供了向心力。 1．匀速圆周运动 匀速圆周运动所受合外力，指向圆心，大小等于向心力。 2．变速圆周运动 变速圆周运动所受合外力一般不等于向心力，其产生两个方面的效果： (1)合外力F跟圆周相切的分力，此分力产生切向加速度，描述速度大小变化的快慢。 (2)合外力F指向圆心的分力，此分力产生向心加速度，向心加速度只改变速度的方向。 3．一般曲线运动的处理方法 一般曲线运动，可以把曲线分割成许多很短的小段，每一小段可看作一小段圆弧．圆弧弯曲程度不同，表明它们具有不同的半径．这样，质点沿一般曲线运动时，可以采用圆周运动的分析方法进行处理。 向心加速度 做匀速圆周运动的物体加速度指向圆心，这个加速度称为向心加速度，符号。 方向：始终指向圆心。 物理意义：描述速度方向变化的快慢。 计算式： 匀速圆周运动加速度的方向时刻改变，所以匀速圆周运动不是匀变速运动，而是变加速运动 考向1 向心力的来源 例1 如图所示，把一个小球放在玻璃漏斗中，晃动漏斗后，可以使小球在短时间内沿光滑的漏斗壁在某一水平面内做匀速圆周运动，则提供小球做匀速圆周运动的向心力是（　　） A．小球的重力 B．小球对漏斗的压力 C．漏斗对小球的弹力 D．漏斗对小球的弹力沿水平方向的分力 【变式训练1】（多选）关于向心力，下列说法正确的是（　　） A．对做匀速圆周运动的物体进行受力分析时，一定不要漏掉向心力 B．向心力一定是由做圆周运动的物体所受的合力提供，它是根据力的作用效果命名的 C．向心力可以是重力、弹力、摩擦力等各力的合力，也可以是某个力的分力 D．向心力只能改变物体的运动方向，不能改变物体运动的快慢 【变式训练2】如图所示，在杂技表演中，杂技演员表演了“球内飞车”的杂技。一个由钢骨架和铁丝网构成的球壳固定在水平地面上，杂技演员骑摩托车在球壳内飞速旋转，惊险而刺激。甲演员在图中“赤道”平面做匀速圆周运动，充当向心力的是（　　） A．重力 B．支持力 C．摩擦力 D．重力与支持力的合力 【变式训练3】一只小狗拉着雪橇在水平冰面上沿着圆弧形的道路匀速奔跑，如图所示为雪橇所受的牵引力F及摩擦力Ff的示意图，其中正确的是（　　） A． B． C． D． 考向2 向心力的简单计算 例1 （2024·广东·高考真题）如图所示，在细绳的拉动下，半径为r的卷轴可绕其固定的中心点O在水平面内转动。卷轴上沿半径方向固定着长度为l的细管，管底在O点。细管内有一根原长为、劲度系数为k的轻质弹簧，弹簧底端固定在管底，顶端连接质量为m、可视为质点的插销。当以速度v匀速拉动细绳时，插销做匀速圆周运动。若v过大，插销会卡进固定的端盖。使卷轴转动停止。忽略摩擦力，弹簧在弹性限度内。要使卷轴转动不停止，v的最大值为（　　） A． B． C． D． 【变式训练1】（多选）如图所示，长为L的悬线固定在O点，在O点正下方有一钉子C，O、C的距离为，把悬线另一端的小球A拉到跟悬点在同一水平面处无初速度释放，小球运动到悬点正下方时悬线碰到钉子，则小球的 （　　） A．线速度突然增大为原来的2倍 B．角速度突然增大为原来的2倍 C．向心力突然增大为原来的2倍 D．向心力突然增大为原来的4倍 【变式训练2】（2023·全国·高考真题）一质点做匀速圆周运动，若其所受合力的大小与轨道半径的n次方成正比，运动周期与轨道半径成反比，则n等于（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练3】质量为m的鹰，以速率v在水平面内做半径为R的匀速圆周运动，空气对鹰作用力的大小等于(　　) A．m B．m C．m D．mg 知识点3 水平面内的圆周运动 考向1 圆锥摆模型 知●识●解●构 一根细绳（或轻杆），一端固定，另一端挂有重物，重物在水平面上做匀速圆周运动，并和细绳（或轻杆）一起，画出圆锥的轨迹。如图： 向心力；半径； 联立解得：；； 由上面关系，如两重物在同一水平面内做圆周运动（等高摆），则角速度相等。 如两重物的摆长L相等（等长摆），有口诀：更高、更快、更强。 即重物越高（更高），其线速度、角速度、加速度越大（更快），向心力越大（更强）。 更“高”指重物在空间中的高低，不是上述角速度公式中的h。重物越高，角度越大，h越小。 变形中的“碗型”圆锥摆是等长摆。 变形中的“冰淇淋桶”圆锥摆，A、B两球的支持力（等效细绳）与竖直方向夹角相同，因此二者加速度相等，向心力之比等于二者质量之比。 例1 如图所示，质量均为m的a、b两小球用不可伸长的等长轻质绳子悬挂起来，使小球a在竖直平面内来回摆动，小球b在水平面内做匀速圆周运动，连接小球b的绳子与竖直方向的夹角和小球a摆动时绳子偏离竖直方向的最大夹角都为θ，重力加速度为g，则下列说法正确的是(　　) A．a、b 两小球都是所受合外力充当向心力 B．a、b两小球圆周运动的半径之比为tan θ C．b小球受到的绳子拉力为 D．a小球运动到最高点时受到的绳子拉力为 【变式训练1】如图所示，竖直固定的圆锥形漏斗内壁是光滑的，内壁上有两个质量相等的小球A和B，在各自不同的水平面内做匀速圆周运动以下关于A、B两球做圆周运动时的线速度大小（、）、角速度（、）、向心力大小（、）和对内壁的压力大小（、）的说法正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练2】（2024·江苏·高考真题）如图所示，细绳穿过竖直的管子拴住一个小球，让小球在A高度处作水平面内的匀速圆周运动，现用力将细绳缓慢下拉，使小球在B高度处作水平面内的匀速圆周支地，不计一切摩擦，则（   ） A.角速度不变 B.线速度减小 C.向心加速度增大 D.所受拉力大小不变 【变式训练3】（多选）如图，内壁光滑的玻璃管内用长为L的轻绳悬挂一个小球。当玻璃管绕竖直轴以角速度匀速转动时，小球与玻璃管间恰无压力。下列说法正确的是（　　） A．仅增加绳长后，小球将受到玻璃管斜向上方的压力 B．仅增加绳长后，若仍保持小球与玻璃管间无压力，需减小 C．仅增加小球质量后，小球将受到玻璃管斜向上方的压力 D．仅增加角速度至后，小球将受到玻璃管斜向下方的压力 考向2 圆盘模型 知●识●解●构 物体在粗糙圆盘上，随圆盘一起做圆周运动。通常求解摩擦力、临界状态等问题。 如图，通过对物块A进行受力分析可知，圆盘对它的摩擦力为其提供做圆周运动的向心力，同时设最大静摩擦力等于其滑动摩擦力。 有，解得临界速度。 由此可知：当圆盘角速度时，物块A与圆盘保持相对静止； 当圆盘角速度时，物块A相对于圆盘滑动； 临界角速度与物块质量无关，物块越靠近圆心O，r越小，临界角速度越大，物块越稳定，不易滑动。 连接体圆盘模型 如图，A、B两物块通过细线相连，与圆盘间动摩擦因数均为，设最大静摩擦力等于其滑动摩擦力；当圆盘角速度较小时，细线拉力为0，物块仅靠摩擦力来提供向心力。 根据单体圆盘模型结论可知，B物块会先达到最大静摩擦力，有，解得； 随着圆盘角速度继续增加，细绳开始“帮忙”产生拉力，阻止B滑动，直至A也达到最大静摩擦力，二者与圆盘均产生相对滑动。 此时对于B有：；对于A有：，两式联立可求出。 小结： 圆盘转动角速度 受力状态 时 细线拉力为0，A、B均靠摩擦力来提供向心力 时 细线拉力为0，B达到最大静摩擦力 时 细线产生拉力，B达到最大静摩擦力，A摩擦力随角速度增大而增大 时 A达到最大静摩擦力 时 A、B与圆盘均产生相对滑动 要理解透彻，不要死记硬背，特别是角速度下角标等：要根据A、B位置，进行解答。 当两物块位于圆盘两侧时，分析思路相同，联立方程组时，注意细线拉力方向 例1 （多选）如图，两个小木块a和b（可视为质点）放在水平圆盘上，质量分别为2m和m，a与转轴OO′的距离为L，b与转轴的距离为2L。木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g。若圆盘从静止开始绕轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是（　　） A．木块受重力、支持力、摩擦力和向心力 B．b一定比a先开始滑动 C．是b开始滑动的临界角速度 D．当时，a所受摩擦力的大小为kmg 【变式训练1】（2024·江苏·高考真题）如图是生产陶瓷的工作台，台面上掉有陶屑，与工作台一起绕OO'匀速转动，陶屑与桌面间的动摩因数处处相同（台面够大）。最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则（    ） A．越靠近台面边缘的陶屑质量越大 B．越靠近台面边缘的陶屑质量越小 C．陶屑只能分布在工作台边缘 D．陶屑只能分布在某一半径的圆内 【变式训练2】（多选）如图所示，两个可视为质点的、相同的木块A和B放在转盘上，两者用长为L的细绳连接，木块与转盘的最大静摩擦力均为各自重力的K倍，A放在距离转轴L处，整个装置能绕通过转盘中心的转轴O1O2转动，开始时，绳恰好伸直但无弹力，现让该装置从静止开始转动，使角速度缓慢增大，以下说法正确的是 A．当 时，绳子没有弹力 B．当时，A、B相对于转盘会滑动 C．ω在范围内时，B所受摩擦力不变 D．ω在 范围内增大时，A所受摩擦力先不变后增大 【变式训练3】（难）（多选）如图所示，水平圆盘可绕竖直轴转动，圆盘上放有小物体A、B、C，质量分别为m、2m、3m，A叠放在B上，C、B离圆心O距离分别为2r、3r。C、B之间用细线相连，圆盘静止时细线刚好伸直无张力。已知C、B与圆盘间动摩擦因数为，A、B间摩擦因数为3，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，现让圆盘从静止缓慢加速，则（　　） A．当时，A、B即将开始滑动 B．当时，细线张力 C．当时，C受到圆盘的摩擦力为0 D．当时剪断细线，C将做离心运动 考向3 车辆转弯模型 知●识●解●构 甲图为火车轮与铁轨接触实拍，当火车转弯时，如果铁轨水平，则火车做圆周运动所需向心力仅能由外侧铁轨对车轮的支持力提供，火车易脱轨。 乙 甲 在实际生活中，铁轨拐弯处通常设计出一定的坡度（外高内低），如图乙，此时火车所受重力与支持力不再平衡，如果火车速度合适，火车转弯所需的向心力可完全由重力和支持力的合力提供。 根据向心力公式有，解得。r为弯道半径，θ为轨道所在平面与水平面的夹角，为转弯处的规定速度。 ✨得分速记： 轨道压力分析： （1）当火车行驶速度v等于规定速度时，所需向心力仅由重力和弹力的合力提供，此时火车对内外轨道无挤压作用。 （2）当火车行驶速度v与规定速度不相等时，火车所需向心力不再仅由重力和弹力的合力提供，此时内外轨道对火车轮缘有挤压作用，具体情况如下： ①当火车行驶速度v>时，外轨道对轮缘有侧压力。 ②当火车行驶速度v<时，内轨道对轮缘有侧压力。 和火车转弯模型一样，一般汽车转弯处的地面也是倾斜的，当汽车以某一适当速度经过弯道时，由汽车自重与斜面的支持力的合力提供向心力；小于这一速度时，地面会对汽车产生向外侧的摩擦力；大于这一速度时，地面会对汽车产生向内侧的摩擦力。所以当汽车转弯时，存在一个安全通过的最大速度，如果超过了这个速度，汽车将发生侧滑现象 例1 如图甲所示，在修筑铁路时，为了消除轮缘与铁轨间的挤压，要根据弯道的半径和规定的行驶速度，设计适当的倾斜轨道，即两个轨道存在一定的高度差。如图乙所示，火车轨道在某转弯处其轨道平面倾角为θ，转弯半径为r，在该转弯处规定行驶的速度为v，则下列说法中正确的是（　　） A．火车运动的圆周平面为图乙中的a B．当火车转弯时，火车实际转弯速度越小越好 C．当火车行驶的速率大于时，外侧铁轨对车轮的轮缘施加压力 D．当火车行驶的速率等于时，内、外侧铁轨对车轮的轮缘均无压力 【变式训练1】列车转弯时的受力分析如图所示，铁路转弯处的圆弧半径为R，两铁轨之间的距离为d，内外轨的高度差为h，铁轨平面和水平面间的夹角为（很小，可近似认为），下列说法正确的是（　　） A．列车转弯时受到重力、支持力和向心力的作用 B．列车过转弯处的速度时，列车轮缘不会挤压内轨和外轨 C．列车过转弯处的速度时，列车轮缘会挤压外轨 D．若减小角，可提高列车安全过转弯处的速度 【变式训练2】（多选）火车速度的提高易使外轨受损，提速后为解决火车转弯时对外轨的磨损问题，下列可行的措施有（　　） A．增大弯道半径 B．减小弯道半径 C．适当减小内、外轨道的高度差 D．适当增大内、外轨道的高度差 【变式训练3】（多选）若将短道速滑运动员在弯道转弯的过程看成在水平冰面上的一段匀速圆周运动，转弯时冰刀嵌入冰内从而使冰刀受与冰面夹角为（蹬冰角）的支持力，不计一切摩擦，弯道半径为，重力加速度为。以下说法正确的是（　　） A．运动员转弯时速度的大小为 B．运动员转弯时速度的大小为 C．若运动员转弯速度变大则需要减小蹬冰角 D．运动员做匀速圆周运动，他所受合外力保持不变 知识点4 竖直面内的圆周运动 考向1 汽车过桥模型 知●识●解●构 汽车过拱形桥，在最高点时，受力情况如图所示： 向心力；；； 所以，汽车所受合力向向下，处于失重状态；当时，汽车脱离桥面，做平抛运动，汽车及其中的物体处于完全失重状态。 汽车过凹形桥，在最低点时，受力情况如图所示： 向心力；；； 所以；汽车所受合力向向上，处于超重状态。 例1 如图所示，质量为m的物块，沿着半径为R的半球形金属壳内壁滑下，半球形金属壳竖直固定放置，开口向上，滑到最低点时速度大小为v，若物体与球壳之间的动摩擦因数为，则物体在最低点时，下列说法正确的是（　　） A．向心力为 B．受到的摩擦力为 C．受到的摩擦力为 D．受到的合力方向斜向右上方 【变式训练1】对汽车通过拱形桥的测试是检验汽车性能的一个方面，拱形桥位于同一圆周上，如图所示。某次测试中汽车匀速率通过拱形桥，对该过程的说法正确的是（　　） A．汽车运动的加速度保持不变 B．汽车运动的向心力大小保持不变 C．桥面对汽车的支持力先减小后增大 D．汽车过桥的过程中处于超重状态 【变式训练2】日常生活中，我们看到的桥面都是中间高的凸形桥，中间低的凹形桥很少见。下列有说法正确的是（    ） A．汽车通过凹形桥的最低点时，支持力提供向心力 B．汽车通过凹形桥的最低点时，汽车处于失重状态 C．汽车通过凹形桥的最低点时，为了防止爆胎，车应快速驶过 D．同一辆汽车以相同的速率通过凹形桥的最低点时，比通过凸形桥最高点对桥面的压力大 【变式训练3】（多选）如图所示，游乐场中质量为m的过山车经过轨道上竖直小圆的最低点A和竖直大圆的最高点B，若经过两个点时过山车的速率相等，过山车可看作质点，重力加速度为g，下列说法中正确的是（  ） A．过山车在A、B两点均处于失重状态 B．在A、B两点轨道对过山车的弹力大小之差为2mg C．过山车在A点的角速度大于在B点的角速度 D．A点轨道对过山车的弹力大于B点轨道对过山车的弹力 考向2 绳、杆（管）模型 知●识●解●构 绳—球（过山车）模型 杆（圆管）—球模型 实例 如球与绳连接、沿内轨道运动的球等 如球与杆连接、球在内壁光滑的圆管内运动等 图示 最高点无支撑 最高点有支撑 最高点 受力特征 重力、弹力，弹力方向向下或等于零 重力、弹力，弹力方向向下、等于零或向上 受力示意图 力学特征 mg＋FN＝m mg±FN＝m 临界特征 FN＝0，vmin＝ 竖直向上的FN＝mg，v＝0 过最高点条件 v≥ v≥0 速度和弹力关系讨论分析 ①能过最高点时，v≥， ②不能过最高点时，v<，在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道做斜抛运动 ①当v＝0时，FN＝mg，FN为支持力，沿半径背离圆心 ②当0<v<时，－FN＋mg＝m，FN背离圆心，随v的增大而减小 ③当v＝时，FN＝0 ④当v>时，FN＋mg＝m，FN指向圆心并随v的增大而增大 例1 一轻绳一端固定质量为m的小球，以另一端O为圆心，使小球在竖直面内做半径为R的圆周运动，如图所示，则下列说法正确的是（　　） A．小球过最高点时，绳所受到的拉力不可以等于零 B．小球过最高点的最小速度是0 C．小球过最高点时，绳对球的作用力一定随速度增大而增大 D．小球过最高点时，绳对球的作用力一定随速度增大而减小 例2 如图所示，可视为质点的、质量为m的小球，在半径为R的竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，重力加速度为g。下列有关说法中正确的是（　　） A．小球在圆心上方管道内运动时，对外壁一定有作用力 B．小球能够到达最高点时的最小速度为 C．小球达到最高点的速度是时，球受到的合外力为零 D．若小球在最高点时的速度大小为2，则此时小球对管道外壁的作用力大小为3mg 例3 如图所示，长1m的轻质细杆，一端固定有一个质量为2kg的小球，另一端由电动机带动，使杆绕O点在竖直平面内做匀速圆周运动，小球的速率为3m/s，取重力加速度，下列说法正确的是（　　） A．小球通过最高点时，对杆的拉力大小是2N B．小球通过最高点时，对杆的压力大小是2N C．小球通过最低点时，对杆的拉力大小是24N D．小球通过最低点时，对杆的压力大小是32N 【变式训练1】如图所示，长度为L＝0.4 m的轻绳，系一小球在竖直平面内做圆周运动，小球的质量为m＝0.5 kg，小球半径不计，g取10 m/s2，求： (1)小球刚好通过最高点时的速度大小； (2)小球通过最高点时的速度大小为4 m/s时，绳的拉力大小； (3)若轻绳能承受的最大张力为45 N，小球运动过程中速度的最大值. 【变式训练2】如图甲所示，长为R的轻杆一端固定一个小球，小球在竖直平面内绕轻杆的另一端O做圆周运动，小球到达最高点时受到杆的弹力与速度平方的关系如乙图所示，则（　　） A．小球到达最高点的速度不可能为0 B．当地的重力加速度大小为 C．时，小球受到的弹力方向竖直向下 D．时，小球受到的弹力方向竖直向下 知识点5 离心运动和临界问题 知●识●解●构 1．离心运动的实质：是物体惯性的表现。做圆周运动的物体，由于惯性，总是有沿着圆周切线飞出去的趋向，之所以没有飞出去，是因为受到向心力的作用。从某种意义上说，向心力的作用是不断地把物体从圆周运动的切向方向拉回到圆周上来。 2．离心运动的条件：做圆周运动的物体，提供向心力的外力突然消失或者合外力不能提供足够大的向心力。 3．离心运动、近心运动的判断：如图所示，物体做圆周运动是离心运动还是近心运动，由实际提供的向心力Fn与所需向心力，（）的大小关系决定 例1 如图所示，光滑水平面上，小球在拉力F作用下做匀速圆周运动。若小球运动到P点时，拉力F发生变化，关于小球运动情况的说法正确的是（　　） A．若拉力突然消失，小球将沿轨迹Pb做离心运动 B．若拉力突然变小，小球将沿轨迹Pa做离心运动 C．若拉力突然变大，小球将沿轨迹Pb做近心运动 D．若拉力突然变小，小球将沿轨迹Pb做离心运动 例2 （多选）质量为m的小球(不计大小)由轻绳a和b分别系于一竖直轻质细杆的A点和B点，如图5所示，当轻杆绕轴OO′以角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，a绳与水平方向成θ角，b绳沿水平方向且长为l，则下列说法正确的是(　　) A.a绳的张力不可能为零 B.a绳的张力随角速度的增大而增大 C.若角速度ω>，b绳将出现弹力 D.若b绳突然被剪断，则a绳的弹力一定发生变化 【变式训练2】（多选）如图所示为洗衣机脱水桶，在匀速转动的洗衣机脱水桶内壁上有一件湿衣服与圆桶一起运动，衣服相对于圆桶壁静止，则（　　）   A．衣服受到重力、弹力、摩擦力、向心力四个力的作用 B．洗衣机脱水桶转动得越快，衣服与桶壁间的弹力就越大 C．衣服上的水滴与衣服间的附着力不足以提供所需的向心力时，水滴做离心运动 D．衣服上的水滴与衣服间的附着力大于所需的向心力时，水滴做离心运动 【变式训练2】（多选）如图甲所示， 滚筒洗衣机脱水时， 衣物紧贴着滚筒壁在竖直平面内做顺时针方向的匀速圆周运动。可简化为图乙所示模型，一件小衣物质量为m， A、B分别为小衣物经过的最高位置和最低位置，测得小衣物过A 点线速度大小为 v， 做圆周运动的周期为T。已知重力加速度为g，小衣物可视为质点。下列说法正确的是（　　） A．转筒半径为 B．衣物在A 点受到滚筒壁的压力为 C．衣物转到 B 位置时的脱水效果最好 D．要使衣物过A 点不掉下， 转筒的周期不能大于 【变式训练3】如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度ω转动，盘面上离转轴2.5m处有一小物体与圆盘始终保持相对静止，物体与盘面间的动摩擦因数为，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，盘面与水平面的夹角为30°，g取10m/s2，则以下说法中不正确的是（　　） A．小物体随圆盘做匀速圆周运动时，一定始终受到三个力的作用 B．小物体随圆盘以不同的角速度ω做匀速圆周运动时，ω越大，小物体在最高点处受到的摩擦力一定越大 C．小物体受到的摩擦力可能背离圆心 D．ω的最大值是1.0rad/s 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2024·辽宁·高考真题）“指尖转球”是花式篮球表演中常见的技巧。如图，当篮球在指尖上绕轴转动时，球面上P、Q两点做圆周运动的（　　） A．半径相等 B．线速度大小相等 C．向心加速度大小相等 D．角速度大小相等 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $