专题08一次函数的图象精讲学案(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年北师大版八年级数学上册

本讲义聚焦一次函数图象这一核心知识点，从函数图像概念（双向关系、列表-描点-连线步骤）切入，逐步深入正比例函数（过原点直线、两点法作图、k对象限及增减性影响）和一次函数（直线特征、k与b的作用、平行相交条件）的图像与性质，延伸至平移规律、图像信息读取等内容，构建从基础概念到综合应用的学习支架。 该资料通过“重点辨析”梳理易混点（如k≠0前提、k与b的区别），“常见错误”警示典型问题（如忽略|k|对倾斜程度影响），培养学生抽象能力与推理意识。题型设计覆盖基础到拔高（如规律探究题），结合解题思路与实例分析，助力学生用数学语言表达函数关系，课中辅助教师系统授课，课后便于学生针对性练习，查漏补缺。

专题08一次函数的图象精讲学案 核心立意： 理解函数图像概念；掌握画图：列表‑描点‑连线，熟练使用两点法画一次函数、正比例函数图像；掌握参数k、b对直线位置、倾斜、增减性的影响；分清直线平行与相交条件；实现函数表达式与图像信息互相推导。 函数图像的概念 ①把函数自变量x与对应因变量y的值作为点的横、纵坐标，描出所有对应点，这些点组成的图形即为函数的图像； ②双向关系：图像上任意一点(x,y)，一定满足函数表达式；满足函数表达式的(x,y)，对应的点必在函数图像上。 ③画函数图像基本步骤：列表、描点、连线。 正比例函数 y=kx（k≠0）的图像 ①图像：经过原点(0,0)的一条直线； ②作图：两点法，选取(0,0)、(1,k)两点连线； ③k决定增减与象限： k>0，过一、三象限，y随x增大而增大； k<0，过二、四象限，y随x增大而减小； ④|k|越大，直线倾斜程度越大，直线越靠近y轴。 一次函数 y=kx+b（k≠0）的图像 ①图像：一次函数的图像是一条直线，也称作直线y=kx+b； ②作图：两点法，常取直线与坐标轴交点：与y轴交点(0，b)，与x轴交点(-,0)； ③参数k：决定直线倾斜方向与增减性，k>0，y随x增大而增大；k<0，y随x增大而减小；|k|越大，直线倾斜程度越大； ④参数b：决定直线与y轴交点位置，b>0，交y轴正半轴；b<0，交y轴负半轴；b=0，函数退化为正比例函数； ⑤直线位置关系：k相等、b不等，两直线互相平行；k不相等，两直线相交。 一次函数图像平移规律 ①一次函数y=kx+b的图像，可以由正比例函数y=kx的图像沿y轴上下平移|b|个单位得到； ②向上平移m个单位：y=kx+m；向下平移m个单位：y=kx-m； ③上下平移，k值保持不变。 从图像读取信息 ①利用图像上点的坐标，代入求解函数表达式； ②根据图像高低位置，比较函数值大小； ③读懂与坐标轴交点对应的数学含义。 重点辨析 ❶正比例函数是特殊的一次函数，一次函数只有b=0时才是正比例函数； ❷k≠0是一次函数、正比例函数的必备前提，k=0不再属于一次函数； ❸两点确定一条直线，绘制一次函数图像，只需确定两个点连线； ❹两直线平行相等且b不等；k不相等，则两直线相交。 1.忽略k≠0限制条件，判断函数类型时漏掉该前提 2.混淆参数k、b作用，分不清k控制倾斜增减，b控制与y轴交点 3.求解直线与坐标轴交点计算出错，混淆x轴、y轴交点坐标 4.图像上下平移记错变化规律 5.误以为所有一次函数图像都经过原点，只有b=0才过原点 6.忽略|k|对直线倾斜程度的影响 7.画图像忘记连线延长，漏掉列表‑描点‑连线完整步骤 题型 考察方向 难度 题型一 正比例函数的图象 ★ 题型二 正比例函数的性质 ★★ 题型三 判断一次函数的图象 ★★ 题型四 根据一次函数解析式判断其经过的象限 ★★ 题型五 已知函数经过的象限求参数范围 ★★★ 题型六 一次函数图象与坐标轴的交点问题 ★★ 题型七 用描点法画函数图象 ★ 题型八 画一次函数图象 ★ 题型九 一次函数图象平移问题 ★★ 题型十 一次函数图象与对称问题 ★★★ 题型十一 判断一次函数的增减性 ★ 题型十二 根据一次函数增减性求参数 ★★★ 题型十三 一次函数的增减性判断自变量的变化情况 ★★ 题型十四 比较一次函数值的大小 ★★ 题型十五 一次函数的规律探究问题 ★★★★ 拔高题 7题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★拔高 题型一：正比例函数的图象 解题思路：①正比例函数y=kx(k≠0)图像是经过原点的直线；②采用两点法作图，选取(0,0)与(1,k)；③连接两点，并将直线向两端延长。 1．正比例函数的图象是（     ） A． B． C． D． 2．若正比例函数的图象上有一点，且，则k的取值范围是____________________． 3．如图是某函数的图象，当时，若在该函数图象上可以找到n个不同的点，使得恒成立，则n的值不可能是（    ） A．2 B．5 C．6 D．7 题型二：正比例函数的性质 解题思路：①依据k正负判断象限与增减性：k>0，图像过一、三象限，y随x增大而增大；k<0，图像过二、四象限，y随x增大而减小；②|k|越大，直线倾斜程度越大；③做题不能忽略前提k≠0。 4．关于正比例函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．经过第二、四象限，随的增大而增大 B．经过第二、四象限，随的增大而减小 C．经过第一、三象限，随的增大而减小 D．经过第一、三象限，随的增大而增大 5．正比例函数的图象经过，，则______． 6．在正比例函数的图象上有两点，，则该函数图象一定经过的点是（    ） A． B． C． D． 题型三：判断一次函数的图象 解题思路：①从解析式y=kx+b(k≠0)确定k、b的符号；②由k判断直线倾斜与增减性，由b判断直线与y轴交点位置；③结合k、b两个条件匹配对应图像。 7．一次函数的图象可能是（   ） A． B．C．D． 8．如图，四个一次函数，，，的图象如图所示，则a，b，c，d 的大小关系是________________． 9．已知为第一象限内的点，则一次函数的图象大致是（     ） A． B． C．D． 题型四：根据一次函数解析式判断其经过的象限 解题思路：①读出解析式中k、b正负；②由k确定直线倾斜方向，由b确定与y轴交点；③综合k、b，判断直线经过的全部象限。 10．一次函数的图象不经过的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 11．若，则直线一定经过第_______限． 12．如图所示是一次函数的图象，则一次函数的图象可能是（     ） A． B． B． C． D． 题型五：已知函数经过的象限求参数范围 解题思路：①根据图像经过的象限，列出k、b对应的不等式；②解不等式，求出参数取值范围；③检验边界数值，k=0必须舍去 13．若直线（k为常数，）经过第一、二、三象限，则b的值可以是（     ） A． B．0 C． D．2 14．已知关于的函数是一次函数，且图象经过一、二、四象限，则的值为__________． 15．已知一次函数，，关于它的图象，下列示意图中，正确的是（     ）． A． B． C． D． 题型六：一次函数图象与坐标轴的交点问题 解题思路：①求与y轴交点：令x=0，求出y值，得到交点(0,b)；②求与x轴交点：令y=0，解一元一次方程求出x；③规范写出交点坐标。 16．一次函数在轴上的截距是（     ） A．5 B． C． D．10 17．已知一次函数的图象与两坐标轴围成的三角形的面积为，则______． 18．如图，已知直线：与直线：在第一象限交于点，直线与轴交于点，则的面积为（     ） A．2 B． C．1 D． 题型七：用描点法画函数图象 解题思路：①列表：选取若干自变量x，计算对应的函数y值；②描点：将每组(x,y)作为坐标，在坐标系内描出对应点；③连线：按自变量顺序用直线连接各点，并适当延长。 19．“利用描点法画出函数图像，探究函数的一些简单性质”是初中阶段研究函数的主要方式，请试着探究函数，其图像经过（    ） A．第一、二象限 B．第三、四象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限． 20．在某火车站托运物品时，不超过3kg的物品需付1.5元，以后每增加1kg（不足1kg按1kg计）需增加托运费0.5元，则下列图象能表示出托运费y与物品重量x之间的函数关系式的是（    ） A． B． C． D． 21．在数学函数图象的操作课上，小红利用网格画板研究函数的图象，请你根据函数学习的经验，结合解析式的结构，小红得到的图象是（   ） A． B． C． D． 题型八：画一次函数图象 解题思路：①优先使用两点法，求出直线与x轴、y轴的两个交点；②在坐标系描出这两个点；③过两点绘制直线，向两端适当延长。 22．用描点法画一次函数图象，某同学在列如下表格时有一组数据是错误的，这组错误的数据是（   ） x 0 1 2 y 6 2 A． B． C． D． 23．一次函数和的图像交于点（a，n），直线y＝n﹣1与和的图像分别交于点（b，n﹣1）和（c，n﹣1）．若＞0，＜0，则a、b、c从大到小排列应为________． 24．如图，点，，是平面直角坐标系中第一象限内的三个点，画出经过这三个点中每两个点的一次函数的图象，并得到函数表达式为，和，当时，一次函数的图象应为（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．无法确定 题型九：一次函数图象平移问题 解题思路：①本节课考察上下平移，平移前后k值保持不变，仅改变b；②向上平移m个单位，b增加m；向下平移m个单位，b减少m；③逆向还原平移，执行反向运算。 25．直线向下平移个单位长度后得到的直线的函数解析式是（     ） A． B． C． D． 26．将一次函数向上平移3个单位长度后得到另一个函数的图象，这个函数解析式为_____． 27．将一次函数的图象向上平移3个单位长度后经过点，则的值为________． 28．将一次函数的图象通过下列操作后，一定不能经过点的是（     ） A．关于x轴对称 B．沿y轴向上平移 C．沿x轴向左平移 D．沿y轴向下平移 题型十：一次函数图象与对称问题 解题思路：①关于x轴对称：将(x,y)替换为(x,-y)，代入原解析式整理出新函数；②关于y轴对称：将(x,y)替换为(-x,y)，代入原解析式整理出新函数；③结果整理化为y=kx+b标准形式。 29．若将一次函数的图象关于轴对称，对称后所得的图象经过点，则的值是（     ） A． B． C． D． 30．在平面直角坐标系中，若直线（，是常数，）与直线关于轴对称，则的值为_____． 31．关于一次函数的图象，下列说法正确的是（   ） A．关于直线对称 B．关于轴对称 C．关于轴对称 D．关于直线对称 题型十一：判断一次函数的增减性 解题思路：①提取解析式中参数k；②k>0，y随x增大而增大；k<0，y随x增大而减小；③注意前提条件k≠0。 32．若点，在一次函数的图象上，则，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 33．已知点，，均在直线的图象上，则、、的大小关系为_________（用>号连接） 34．已知关于的一次函数和的图象如图所示，下列结论错误的是（     ） A． B． C． D．点，是直线上不重合的两点，则 题型十二：根据一次函数增减性求参数 解题思路：①增减性由k符号决定，根据题干列出关于k的不等式；②解不等式得到参数取值范围；③保证k≠0，剔除不符合条件的取值。 35．在式子中，每增加1，增加，没变，因此也增加．在一次函数中，当由2增加到3时，函数值由5增加到7，则的值为（     ） A．2 B．3 C．5 D．7 36．点，在一次函数的图像上，当 时， 则a的取值范围是_______． 37．已知一次函数的图象如图所示，那么的取值范围是（ ） A． B． C． D． 38．函数的图象上有两点．若，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 题型十三：根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 解题思路：①先判断k正负，确定函数增减特性；②函数递增：y增大，则x增大；y减小，则x减小；③函数递减：y增大，则x减小；y减小，则x增大。 39．在平面直角坐标系中，点，点均在直线上．若，则与的大小关系是（     ） A． B． C． D． 40．如图，平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A(1，1)，B(3，1)，C(2，2)，当直线y＝x＋b与△ABC有交点时，b的取值范围是________． 41．对于一次函数，下表列出5组自变量与其对应的函数值，其中恰好有一个函数值有误，则这个错误的函数值是（   ） 0 1 2 3 3 6 9 13 15 A．3 B．6 C．13 D．15 题型十四：比较一次函数值的大小 解题思路：①方法一：将自变量代入解析式，算出函数值直接比较大小；②方法二：利用增减性判断：k>0，自变量越大函数值越大；k<0，自变量越大函数值越小。 42．已知点，在直线上，若，则与的大小关系是（） A． B． C． D．无法确定 43．若点，在一次函数（是常数）的图像上，则_______． 44．已知，为直线上的两个点，若，则下列判断正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型十五：一次函数的规律探究问题 解题思路：①依次计算前几组点的坐标或者函数值；②分别观察自变量、函数值的变化规律，多为坐标类规律；③遇到周期循环题型，计算余数定位目标；④套用规律求出结果，检验结果是否符合题意。 45．如图，过点作轴的垂线，交直线于点，在轴的正半轴上取点，使得，过点作轴的垂线，交直线于点，在轴的正半轴上取点，使得，过点作轴的垂线，交直线于点，依次这样作图，则点的纵坐标为（　　） A． B． C． D． 46．如图，在平面直角坐标系中，点在轴上且，，，按此规律，过点作轴的垂线分别与直线交于点记，，，，…的面积分别为，则______． 47．在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，如图所示，依次作正方形，正方形，…，正方形，使得点，，，……，在直线l上，点，，，…，在y轴正半轴上，则点的坐标为（   ）    A． B． C． D． 解答题 1．已知正比例函数． (1)判断点是否在正比例函数的图象上，并说明理由． (2)若点和在正比例函数的图象上，则___________．（填“”“ ”“或“=”） 2．先画图，再回答问题 (1)在同一直角坐标系内作出一次函数，，的图象； (2)点、是否在所画的图象上？在哪一个函数的图象上？ (3)如果在的图象上，求a的值． 3．联系一次函数的图象，回答下列问题： (1)当时，函数的图象经过哪几个象限？当时呢？ (2)当时，函数的图象不经过哪个象限？当时呢？ 4．已知关于的函数， (1)为何值时，函数的图象经过坐标原点； (2)若函数图象经过第一、二、三象限，求的取值范围； (3)若，当时，请直接写出的取值范围． 5．已知一次函数的图象是一条直线． (1)①列表，下表列出了部分对应值，请补充完整表格； … 0 … … 0 … ②描点、连线，画出函数的图象； (2)将此直线向右平移3个单位，可得直线_____________． 6．已知一次函数过定点，另一个一次函数为． (1)请你判断是否过定点，并说明理由． (2)点和点分别在一次函数和的图象上，求证：． (3)设函数，当时，函数有最大值，求的值． 7．如图，一次函数、的图象交于轴上的点，其中为常数且，．点为正半轴上的一点，过点作轴的平行线分别交的图象于点、，过点、作轴的平行线分别交的图象于点、． 【特例探究】当时 （1）若点的纵坐标为3，则　　，　　，　　； （2）求的值； （3）求的值． 【归纳猜想】请运用特殊到一般的数学思想和归纳法进行猜想（不需要证明）： 　　；　　．（用含有的代数式表示） 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08一次函数的图象精讲学案 核心立意： 理解函数图像概念；掌握画图：列表‑描点‑连线，熟练使用两点法画一次函数、正比例函数图像；掌握参数k、b对直线位置、倾斜、增减性的影响；分清直线平行与相交条件；实现函数表达式与图像信息互相推导。 函数图像的概念 ①把函数自变量x与对应因变量y的值作为点的横、纵坐标，描出所有对应点，这些点组成的图形即为函数的图像； ②双向关系：图像上任意一点(x,y)，一定满足函数表达式；满足函数表达式的(x,y)，对应的点必在函数图像上。 ③画函数图像基本步骤：列表、描点、连线。 正比例函数 y=kx（k≠0）的图像 ①图像：经过原点(0,0)的一条直线； ②作图：两点法，选取(0,0)、(1,k)两点连线； ③k决定增减与象限： k>0，过一、三象限，y随x增大而增大； k<0，过二、四象限，y随x增大而减小； ④|k|越大，直线倾斜程度越大，直线越靠近y轴。 一次函数 y=kx+b（k≠0）的图像 ①图像：一次函数的图像是一条直线，也称作直线y=kx+b； ②作图：两点法，常取直线与坐标轴交点：与y轴交点(0，b)，与x轴交点(-,0)； ③参数k：决定直线倾斜方向与增减性，k>0，y随x增大而增大；k<0，y随x增大而减小；|k|越大，直线倾斜程度越大； ④参数b：决定直线与y轴交点位置，b>0，交y轴正半轴；b<0，交y轴负半轴；b=0，函数退化为正比例函数； ⑤直线位置关系：k相等、b不等，两直线互相平行；k不相等，两直线相交。 一次函数图像平移规律 ①一次函数y=kx+b的图像，可以由正比例函数y=kx的图像沿y轴上下平移|b|个单位得到； ②向上平移m个单位：y=kx+m；向下平移m个单位：y=kx-m； ③上下平移，k值保持不变。 从图像读取信息 ①利用图像上点的坐标，代入求解函数表达式； ②根据图像高低位置，比较函数值大小； ③读懂与坐标轴交点对应的数学含义。 重点辨析 ❶正比例函数是特殊的一次函数，一次函数只有b=0时才是正比例函数； ❷k≠0是一次函数、正比例函数的必备前提，k=0不再属于一次函数； ❸两点确定一条直线，绘制一次函数图像，只需确定两个点连线； ❹两直线平行相等且b不等；k不相等，则两直线相交。 1.忽略k≠0限制条件，判断函数类型时漏掉该前提 2.混淆参数k、b作用，分不清k控制倾斜增减，b控制与y轴交点 3.求解直线与坐标轴交点计算出错，混淆x轴、y轴交点坐标 4.图像上下平移记错变化规律 5.误以为所有一次函数图像都经过原点，只有b=0才过原点 6.忽略|k|对直线倾斜程度的影响 7.画图像忘记连线延长，漏掉列表‑描点‑连线完整步骤 题型 考察方向 难度 题型一 正比例函数的图象 ★ 题型二 正比例函数的性质 ★★ 题型三 判断一次函数的图象 ★★ 题型四 根据一次函数解析式判断其经过的象限 ★★ 题型五 已知函数经过的象限求参数范围 ★★★ 题型六 一次函数图象与坐标轴的交点问题 ★★ 题型七 用描点法画函数图象 ★ 题型八 画一次函数图象 ★ 题型九 一次函数图象平移问题 ★★ 题型十 一次函数图象与对称问题 ★★★ 题型十一 判断一次函数的增减性 ★ 题型十二 根据一次函数增减性求参数 ★★★ 题型十三 一次函数的增减性判断自变量的变化情况 ★★ 题型十四 比较一次函数值的大小 ★★ 题型十五 一次函数的规律探究问题 ★★★★ 拔高题 7题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★拔高 题型一：正比例函数的图象 解题思路：①正比例函数y=kx(k≠0)图像是经过原点的直线；②采用两点法作图，选取(0,0)与(1,k)；③连接两点，并将直线向两端延长。 1．正比例函数的图象是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正比例函数的图象性质：图象必过原点，当时经过第一、三象限，并结合特殊点坐标进行判断． 【详解】解：函数是正比例函数， 其图象是一条经过原点的直线，故排除D， ， 图象经过第一、三象限，故排除A， 又当时，， 图象必经过点， 观察选项可知，B选项经过点，C选项经过点， C选项符合题意． 2．若正比例函数的图象上有一点，且，则k的取值范围是____________________． 【答案】 【分析】根据正比例函数图象上点的坐标特征，得到，推导得，结合可得关于的一元一次不等式，解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：正比例函数的图象上有一点， ， ． ， ∴， ， 解得． 3．如图是某函数的图象，当时，若在该函数图象上可以找到n个不同的点，使得恒成立，则n的值不可能是（    ） A．2 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】本题考查了函数图象，学会利用数形结合的思想解决问题是解题关键． 设，则在该函数图象上n个不同的点，，也都在正比例的图象上，画出函数图象，观察正比例函数与其交点情况即可求解． 【详解】解：设，则在该函数图象上n个不同的点，，也都在，的图象上，画出函数图象观察交点即可求解． 如图1 正比例函数与该函数图象有2个交点，故A不符合； 如图2 正比例函数与该函数图象有5个交点，故B不符合； 如图3 正比例函数与该函数图象有6个交点，故C不符合； 故选：D． 题型二：正比例函数的性质 解题思路：①依据k正负判断象限与增减性：k>0，图像过一、三象限，y随x增大而增大；k<0，图像过二、四象限，y随x增大而减小；②|k|越大，直线倾斜程度越大；③做题不能忽略前提k≠0。 4．关于正比例函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．经过第二、四象限，随的增大而增大 B．经过第二、四象限，随的增大而减小 C．经过第一、三象限，随的增大而减小 D．经过第一、三象限，随的增大而增大 【答案】B 【详解】解：∵正比例函数中，， ∴函数图象经过第二、四象限，且随的增大而减小． 5．正比例函数的图象经过，，则______． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数的性质；根据正比例函数的图象经过，可以求得该函数的解析式，再根据点在该函数图象上，即可求得的值． 【详解】解：设该函数的解析式为， 正比例函数的图象经过， ， 解得， ， 点在该函数图象上， ， 解得， 故答案为：． 6．在正比例函数的图象上有两点，，则该函数图象一定经过的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】两点在正比例函数图象上，坐标满足函数解析式，先代入两点坐标列方程求出的值，得到函数解析式，再判断选项中的点是否满足解析式即可． 【详解】解：∵点，都在正比例函数的图象上， ∴将两点坐标代入解析式得， 把代入，得， 解得， ∴正比例函数的解析式为， 即点的横纵坐标相等，选项中只有满足横纵坐标相等， 因此该函数图象一定经过点． 题型三：判断一次函数的图象 解题思路：①从解析式y=kx+b(k≠0)确定k、b的符号；②由k判断直线倾斜与增减性，由b判断直线与y轴交点位置；③结合k、b两个条件匹配对应图像。 7．一次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． 当时，图象过一，三象限，时，图象过二，四象限，当图象与y轴交于正半轴，当图象与y轴交于负半轴，据此可求解． 【详解】解：∵，， ∴图象过二，三，四象限， 故选：C． 8．如图，四个一次函数，，，的图象如图所示，则a，b，c，d 的大小关系是________________． 【答案】 【分析】此题考查函数的图象，根据一次函数图象的性质分析，了解一次函数图象的性质：当时，图象经过一、三象限，随的增大而增大；当时，图象经过二、四象限，随的增大而减小．同时注意直线越陡，则越大． 【详解】解：由图象可得：，，，， 由于直线比陡，直线比陡， ，， ， 故答案为：． 9．已知为第一象限内的点，则一次函数的图象大致是（     ） A． B． C．D． 【答案】D 【分析】由点在第一象限，可得 ，对于一次函数的一次项系数，，根据图象的性质判断即可． 【详解】解：∵点在第一象限， ∴ ， ∴一次项系数 ∴随增大而减小，排除掉选项， ∵常数项， ∴直线与轴交于正半轴，C选项交轴负半轴，不符合，只有D满足条件． 题型四：根据一次函数解析式判断其经过的象限 解题思路：①读出解析式中k、b正负；②由k确定直线倾斜方向，由b确定与y轴交点；③综合k、b，判断直线经过的全部象限。 10．一次函数的图象不经过的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据一次函数、的符号判断图象经过的象限． 【详解】解：∵一次函数解析式为， ∴，． ∵， ∴函数图象经过第一、三象限． ∵， ∴函数图象与轴负半轴相交， ∴该函数图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限． 11．若，则直线一定经过第_______限． 【答案】三，四 【分析】本题考查一次函数的性质，解题的关键是分类讨论思想的应用． 由，可得，当时，，直线经过一，三，四象限；当时，直线为经过二，三，四象限；即可得到答案． 【详解】解：∵， ，，， ， 当时，， ∴直线为，经过一，三，四象限； 当时，有， ， ∴直线为，经过二，三，四象限； 综上所述，直线一定经过第三，四象限； 故答案为：三，四． 12．如图所示是一次函数的图象，则一次函数的图象可能是（     ） A． B． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数的图象得到，，进而可判断一次函数的图象． 【详解】解：由图象可得，一次函数的图象过第一、三、四象限， ∴，， ∴， ∴一次函数的图象过第二、三、四象限，故D选项符合题意． 题型五：已知函数经过的象限求参数范围 解题思路：①根据图像经过的象限，列出k、b对应的不等式；②解不等式，求出参数取值范围；③检验边界数值，k=0必须舍去 13．若直线（k为常数，）经过第一、二、三象限，则b的值可以是（     ） A． B．0 C． D．2 【答案】D 【分析】根据直线经过的象限判断的取值范围，即可选出符合条件的选项． 【详解】解：∵直线（）经过第一、二、三象限， ∴直线与轴的交点在轴正半轴， ∴， 观察四个选项，只有满足，符合题意． 14．已知关于的函数是一次函数，且图象经过一、二、四象限，则的值为__________． 【答案】1 【分析】根据一次函数列出，求得，再根据经过象限列出不等式组，解得的取值范围，即可得到满足要求的值． 【详解】解：∵函数是一次函数， ∴，解得， ∵函数图象经过一、二、四象限， ∴，解得， 则． 15．已知一次函数，，关于它的图象，下列示意图中，正确的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图像判断的大小，即可求解． 【详解】A：由图象可知，，，，符合题意； B：由图象可知，，，，不符合题意； C：由图象可知，，，，不符合题意； D：由图象可知，，，，不符合题意． 题型六：一次函数图象与坐标轴的交点问题 解题思路：①求与y轴交点：令x=0，求出y值，得到交点(0,b)；②求与x轴交点：令y=0，解一元一次方程求出x；③规范写出交点坐标。 16．一次函数在轴上的截距是（     ） A．5 B． C． D．10 【答案】C 【分析】根据y轴上点的横坐标为0，将代入函数解析式，求出对应的值即可得到截距． 【详解】解：将代入，得： ， ∴该一次函数在轴上的截距是． 17．已知一次函数的图象与两坐标轴围成的三角形的面积为，则______． 【答案】 【分析】先求出一次函数与坐标轴交点坐标，再利用三角形面积公式列出方程求解． 【详解】解：当时，，得到与轴交点； 当时，，解得，即与轴交点． 坐标轴围成直角三角形，两条直角边长分别为和． ， ， ， ， 解得：． 18．如图，已知直线：与直线：在第一象限交于点，直线与轴交于点，则的面积为（     ） A．2 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】将点坐标代入求出值，即可知道点坐标，利用其坐标在上先求出值即可求出该直线解析式，进而求出点坐标，即可知道距离，最后求出的面积． 【详解】解：在上， ， ， ． 在上， ， ， ， 在上， ， ， ． 的纵坐标是5，即是到轴距离， ． 题型七：用描点法画函数图象 解题思路：①列表：选取若干自变量x，计算对应的函数y值；②描点：将每组(x,y)作为坐标，在坐标系内描出对应点；③连线：按自变量顺序用直线连接各点，并适当延长。 19．“利用描点法画出函数图像，探究函数的一些简单性质”是初中阶段研究函数的主要方式，请试着探究函数，其图像经过（    ） A．第一、二象限 B．第三、四象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限． 【答案】D 【分析】根据x的取值，判断y的范围即可求解． 【详解】解：当时，；此时点在二象限； 当时，；此时点在四象限． 故选：D． 【点睛】本题主要考查函数的图像、描点法等知识点，掌握分类讨论思想是解答本题的关键． 20．在某火车站托运物品时，不超过3kg的物品需付1.5元，以后每增加1kg（不足1kg按1kg计）需增加托运费0.5元，则下列图象能表示出托运费y与物品重量x之间的函数关系式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意分析出 托运费y与物品重量x之间的函数关系，画出图像即可． 【详解】解：由题意可得， 当时，， ∵物品重量每增加1kg（不足1kg按1kg计）需增加托运费0.5元， ∴托运费y与物品重量x之间的函数图像为： 故选：D． 【点睛】此题考查了函数的图像，解题的关键是根据题意正确分析出托运费y与物品重量x之间的函数关系． 21．在数学函数图象的操作课上，小红利用网格画板研究函数的图象，请你根据函数学习的经验，结合解析式的结构，小红得到的图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数图象的分析，正确分析解析式，得出函数图象的情况是解题的关键． 根据，得到当且时，，函数图象在轴下方，当时，，函数图象在轴上方，即可得到答案． 【详解】解：函数， 当且时，，函数图象在轴下方， 当时，，函数图象在轴上方， 小红得到的图象是 故选：A． 题型八：画一次函数图象 解题思路：①优先使用两点法，求出直线与x轴、y轴的两个交点；②在坐标系描出这两个点；③过两点绘制直线，向两端适当延长。 22．用描点法画一次函数图象，某同学在列如下表格时有一组数据是错误的，这组错误的数据是（   ） x 0 1 2 y 6 2 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的图象，熟练掌握利用描点法画一次函数图象是解题的关键． 在平面直角坐标系中，描点，发现点、、在同一直线上，点不在直线上，据此解答即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，表格中各点的位置为： 则表格中点、、在同一直线上，不在直线上， 故选：D． 23．一次函数和的图像交于点（a，n），直线y＝n﹣1与和的图像分别交于点（b，n﹣1）和（c，n﹣1）．若＞0，＜0，则a、b、c从大到小排列应为________． 【答案】c＞a＞b 【分析】依据条件画出一次函数图像可直观判断． 【详解】解：∵＞0，＜0， 点（b，n﹣1）和（c，n﹣1）纵坐标相等 ∴ y＝n﹣1是一条水平线 画出满足题意位置关系的函数图像如下， 由图像易得：c＞a＞b， 故答案为：c＞a＞b． 【点睛】本题考查一次函数的图像及性质，依据性质去画出图像是解题关键． 24．如图，点，，是平面直角坐标系中第一象限内的三个点，画出经过这三个点中每两个点的一次函数的图象，并得到函数表达式为，和，当时，一次函数的图象应为（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象，作直线、、，求出当时，，，，画出直线，由函数图象并结合即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：如图，作直线、、， 当时，，，， ∵， ∴如图，画出直线，结合图象可得，一次函数的图象应为直线， 故选：C． 题型九：一次函数图象平移问题 解题思路：①本节课考察上下平移，平移前后k值保持不变，仅改变b；②向上平移m个单位，b增加m；向下平移m个单位，b减少m；③逆向还原平移，执行反向运算。 25．直线向下平移个单位长度后得到的直线的函数解析式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：将直线向下平移个单位长度，得，即， 故选：C． 26．将一次函数向上平移3个单位长度后得到另一个函数的图象，这个函数解析式为_____． 【答案】 【分析】一次函数向上平移后，一次项系数不变，根据上下平移“上加下减”的规律计算常数项即可得到新解析式． 【详解】解：∵原函数解析式为， ∴平移后的函数解析式为，化简得． 27．将一次函数的图象向上平移3个单位长度后经过点，则的值为________． 【答案】10 【分析】先根据“上加下减，左加右减”的平移规律得到平移后的直线解析式为，再把代入平移后的直线解析式中求解即可． 【详解】解：一次函数的图象向上平移3个单位长度后的直线解析式为， ∵平移后的直线经过点， ∴， ∴ 28．将一次函数的图象通过下列操作后，一定不能经过点的是（     ） A．关于x轴对称 B．沿y轴向上平移 C．沿x轴向左平移 D．沿y轴向下平移 【答案】D 【分析】根据不同变换的规则写出变换后解析式，代入点判断是否存在符合要求的变换，即可得到结论． 【详解】解：A. 关于轴对称，变换规则为不变，换为，得 ，即. 当时，，变换后图象经过点，A不符合要求； B. 设沿轴向上平移个单位，解析式为；将代入得 ，解得，存在符合条件的平移，因此可以经过，B不符合要求； C. 设沿轴向左平移个单位，解析式为；将代入得 ，解得，存在符合条件的平移，因此可以经过，C不符合要求； D. 设沿轴向下平移个单位，解析式为；将代入得 ，解得，不存在满足条件的正平移距离，因此一定不能经过点，D符合要求． 题型十：一次函数图象与对称问题 解题思路：①关于x轴对称：将(x,y)替换为(x,-y)，代入原解析式整理出新函数；②关于y轴对称：将(x,y)替换为(-x,y)，代入原解析式整理出新函数；③结果整理化为y=kx+b标准形式。 29．若将一次函数的图象关于轴对称，对称后所得的图象经过点，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得出一次函数的图象经过点，代入计算即可． 【详解】解：∵将一次函数的图象关于轴对称，对称后所得的图象经过点， ∴一次函数的图象经过点， ∴， 解得． 30．在平面直角坐标系中，若直线（，是常数，）与直线关于轴对称，则的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查一次函数解析式、关于轴对称点的坐标特征，熟练掌握利用待定系数法求解析式和关于轴对称点的坐标特征是解题的关键．根据直线求得其关于y轴的对称点，然后利用待定系数法求出k和b的值，再计算的值． 【详解】解：∵直线 令得，解得， 令得，， 则直线与x轴的交点为，与y轴的交点为， 点关于y轴的对称点为， ∵直线（，是常数，）与直线关于轴对称， 将点和代入，得方程组： ， 解得， 则， 故答案为：． 31．关于一次函数的图象，下列说法正确的是（   ） A．关于直线对称 B．关于轴对称 C．关于轴对称 D．关于直线对称 【答案】B 【分析】本题考查一次函数图象的对称性，关于轴对称的图象对应函数值互为相反数． 由得到，即可判断一次函数和的图象关于轴对称． 【详解】解：∵， ∴， ∴一次函数和的图象关于轴对称， 故选：B． 题型十一：判断一次函数的增减性 解题思路：①提取解析式中参数k；②k>0，y随x增大而增大；k<0，y随x增大而减小；③注意前提条件k≠0。 32．若点，在一次函数的图象上，则，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵一次函数中，， ∴随的增大而增大. ∵点，在该函数图象上，且， ∴． 33．已知点，，均在直线的图象上，则、、的大小关系为_________（用>号连接） 【答案】 【分析】先根据一次函数解析式判断函数的增减性，再结合三个点的纵坐标大小，即可得到横坐标，，的大小关系． 【详解】解：对于一次函数， 由一次项系数， 根据一次函数的性质可得，随的增大而减小， 已知点，，在该直线上，三个点的纵坐标满足， 因此对应的横坐标满足． 34．已知关于的一次函数和的图象如图所示，下列结论错误的是（     ） A． B． C． D．点，是直线上不重合的两点，则 【答案】D 【详解】的图象从左到右上升，则；与轴交点在正半轴，则． 的图象从左到右下降，则；与轴交点在负半轴，则． 对于A，，，，选项A正确，不符合题意； 对于B，当时，，，此时的图象在的上方，即， ，选项B正确，不符合题意； 对于C，已知两条直线的交点横坐标是， 当时，，即， ， ，选项C正确，不符合题意； 对于D，， 随的增大而减小， 若，则，此时，，则， 若，则，此时，，则， ，选项D错误，符合题意． 题型十二：根据一次函数增减性求参数 解题思路：①增减性由k符号决定，根据题干列出关于k的不等式；②解不等式得到参数取值范围；③保证k≠0，剔除不符合条件的取值。 35．在式子中，每增加1，增加，没变，因此也增加．在一次函数中，当由2增加到3时，函数值由5增加到7，则的值为（     ） A．2 B．3 C．5 D．7 【答案】A 【分析】先求出的增加量和的增加量，根据题意每增加1，也增加即可求出． 【详解】解：∵由2增加到3，由5增加到7， ∴的增加量为，的增加量为， ∵每增加1，的增加量等于， ∴． 36．点，在一次函数的图像上，当 时， 则a的取值范围是_______． 【答案】 【分析】由已知条件时，可得随的增大而减小，结合一次函数性质即可得到的取值范围． 【详解】解：已知一次函数解析式为， 由题意可知，当时，， 说明函数值随的增大而减小， 当随的增大而减小时， ， 因此． 37．已知一次函数的图象如图所示，那么的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由图象看出：随的增大而减小，由此可以确定，然后即可法求出的取值范围． 【详解】解：观察图象可得，随的增大而减小， 则有，即． 38．函数的图象上有两点．若，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图象的性质，掌握一次函数图象的增减性，分类讨论思想是关键． 根据一次函数图象的性质，分类讨论求解． 【详解】解：函数的图象上有两点， 当时，，随的增大而增大， ∵， ∴， ∴，符合题意； 当时，即，，随的增大而减小， ∴，， ∴， ∴，不符合题意； 当，时，，，若， ∴， 解得，， 综上所述，当时，， 故选：A ． 题型十三：根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 解题思路：①先判断k正负，确定函数增减特性；②函数递增：y增大，则x增大；y减小，则x减小；③函数递减：y增大，则x减小；y减小，则x增大。 39．在平面直角坐标系中，点，点均在直线上．若，则与的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的增减性，利用一次函数的性质，结合已知即可判断与的大小关系； 【详解】解：∵直线解析式为，且， ∴随的增大而增大； 又∵点，均在该直线上，且， ∴； 40．如图，平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A(1，1)，B(3，1)，C(2，2)，当直线y＝x＋b与△ABC有交点时，b的取值范围是________． 【答案】 【分析】将A（1，1），B（3，1），C（2，2）的坐标分别代入直线y＝x＋b中求得b的值，再根据一次函数的增减性即可得到b的取值范围． 【详解】解：直线y＝x＋b经过点B，将B(3，1)代入直线y＝x＋b中，可得，解得； 直线y＝x＋b经过点A，将A(1，1)代入直线y＝x＋b中，可得，解得； 直线y＝x＋b经过点C，C(2，2)代入直线y＝x＋b中，可得，解得； 故b的取值范围是． 故答案为： 【点睛】本题考查一次函数图象上的点的特征，待定系数法等知识，解题的关键是应用数形结合思想，属于中考常考题型． 41．对于一次函数，下表列出5组自变量与其对应的函数值，其中恰好有一个函数值有误，则这个错误的函数值是（   ） 0 1 2 3 3 6 9 13 15 A．3 B．6 C．13 D．15 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数．根据一次函数的性质即可解答． 【详解】解：从表中可以看出，自变量每增加1个单位，函数值的前3个都是增加3，只有第4个是增加了4，导致第5个只增加了2． 第4个应是增加了3，即为12． 这样函数值随自变量是均匀增加，因而满足一次函数关系． ∴这个计算有误的函数值是13， 故选：C． 题型十四：比较一次函数值的大小 解题思路：①方法一：将自变量代入解析式，算出函数值直接比较大小；②方法二：利用增减性判断：k>0，自变量越大函数值越大；k<0，自变量越大函数值越小。 42．已知点，在直线上，若，则与的大小关系是（） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【详解】解：∵中， ∴随的增大而减小， ∵， ∴． 43．若点，在一次函数（是常数）的图像上，则_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质，根据一次函数中可知，一次函数中随的增大而减小，根据点、对应的值的大小关系比较、的大小． 【详解】解：一次函数中， 一次函数中随的增大而减小， 点和点在函数上， ， ． 故答案为：． 44．已知，为直线上的两个点，若，则下列判断正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的性质，先将直线方程变形，确定直线过定点及增减性，结合得出与的大小关系，再逐一分析选项． 【详解】解：∵直线方程可化为， ∴当时，，且时，y随x的增大而增大， ∵，在直线上，且， ∴， 对于A、B：若，则，但无法推出或，故A、B错误； 对于C：若，则， 又∵， ∴，即，故C正确； 对于D：由C的推导可知，故D错误， 故选：C． 题型十五：一次函数的规律探究问题 解题思路：①依次计算前几组点的坐标或者函数值；②分别观察自变量、函数值的变化规律，多为坐标类规律；③遇到周期循环题型，计算余数定位目标；④套用规律求出结果，检验结果是否符合题意。 45．如图，过点作轴的垂线，交直线于点，在轴的正半轴上取点，使得，过点作轴的垂线，交直线于点，在轴的正半轴上取点，使得，过点作轴的垂线，交直线于点，依次这样作图，则点的纵坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质．根据一次函数图象上点的坐标特征和等腰三角形的性质即可得到规律，再利用规律求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴点的横坐标为1， ∵，，在直线的图象上， ∴纵坐标为2， ∴， ∴， ∴点的纵坐标为， ∴的纵坐标为的纵坐标为， ……， ∴点的纵坐标为． 故选：A． 46．如图，在平面直角坐标系中，点在轴上且，，，按此规律，过点作轴的垂线分别与直线交于点记，，，，…的面积分别为，则______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，数字规律探寻，解决本题的关键是根据规律得到与． 根据，，可得，再根据点在直线上，可得，根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：∵，，，，， ∴，即点， ∵过点作轴的垂线分别与直线交于点， ∴点，，，，， ∴，，，，， ∴， ∴， ∴． 故答案为： ． 47．在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，如图所示，依次作正方形，正方形，…，正方形，使得点，，，……，在直线l上，点，，，…，在y轴正半轴上，则点的坐标为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质及点的坐标的规律，根据点的坐标的变化找出变化规律（为正整数）是解题的关键． 根据一次函数图象上点的坐标特征结合正方形的性质可得出点的坐标，同理可得出、、、…及、、、…的坐标，根据点的坐标变化可找出变化规律（为正整数），依此规律即可得出结论． 【详解】解：当时，由， 解得：， 点的坐标为， 为正方形， ， 同理可得：，，，，…， ，，，，…， （为正整数）， 点的坐标为：， 故选：A． 解答题 1．已知正比例函数． (1)判断点是否在正比例函数的图象上，并说明理由． (2)若点和在正比例函数的图象上，则___________．（填“”“ ”“或“=”） 【答案】(1) 解：当时，， 故点不在正比例函数的图象上． (2) 【分析】（1）计算时，对应的函数值，若等于，在正比例函数的图象上，反之不在． （2）根据函数的性质解答即可． 本题考查了点与图象的关系，函数的增减性解题，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）解：∵中， ∴y随x的增大而减小， ∵， ∴． 故答案为：． 2．先画图，再回答问题 (1)在同一直角坐标系内作出一次函数，，的图象； (2)点、是否在所画的图象上？在哪一个函数的图象上？ (3)如果在的图象上，求a的值． 【答案】(1) 如图所示： (2)点在函数图象上，点不在函数图象上，且点在函数的函数图象上 (3) 【分析】本题主要考查了函数的图象以及图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数图象的特征，是解题的关键． （1）分别求出直线与x轴、y轴的交点，用两点法即可作出图象； （2）根据函数图象即可判断； （3）把代入即可求解． 【详解】（1）解：函数与坐标轴的交点坐标为，， 函数经过点，， 函数与坐标轴的交点坐标为，， 在平面直角坐标系中描点、连线， （2）解：根据图象可知，点在所画的函数的图象上，点不在所画的三个函数的图象上； （3）解：将点代入，得， 解得：． 3．联系一次函数的图象，回答下列问题： (1)当时，函数的图象经过哪几个象限？当时呢？ (2)当时，函数的图象不经过哪个象限？当时呢？ 【答案】(1)当时，函数的图象经过第一、三象限；当时，函数的图象经过第二、四象限． (2)当时，函数的图象不经过第四象限；当时，函数的图象不经过第二象限 【分析】（1）画出和时函数的图象，根据图象解答即可； （2）画出时，时的图象，根据图象解答即可． 【详解】（1）解：当时，函数的图象如图，则函数的图象经过第一、三象限； 当时，函数的图象如图，则函数的图象经过第二、四象限； （2）解：当时，函数的图象如图，函数的图象不经过第四象限； 当时，函数的图象如图，函数的图象不经过第二象限． 4．已知关于的函数， (1)为何值时，函数的图象经过坐标原点； (2)若函数图象经过第一、二、三象限，求的取值范围； (3)若，当时，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据函数的图象经过坐标原点，可得，解方程求出的值； （2）根据函数的图象经过第一、二、三象限，可得关于的不等式组，解不等式组求出的取值范围； （3）当时，函数解析式为，根据的取值范围求出的取值范围． 【详解】（1）解：函数的图象经过坐标原点， ， 解得：； （2）解：函数的图象经过第一、二、三象限， ， 解得：； （3）解：当时，函数解析式为， 当时， 可得：， 即． 5．已知一次函数的图象是一条直线． (1)①列表，下表列出了部分对应值，请补充完整表格； … 0 … … 0 … ②描点、连线，画出函数的图象； (2)将此直线向右平移3个单位，可得直线_____________． 【答案】(1) … 0 … … 4 0 … 函数图象如图所示： (2) 【详解】（1）解：令，解得；令，解得，据此补全表格并画出函数图象． （2）解：由图象平移口诀“左加右减”，则此直线向右平移3个单位，可得直线． 6．已知一次函数过定点，另一个一次函数为． (1)请你判断是否过定点，并说明理由． (2)点和点分别在一次函数和的图象上，求证：． (3)设函数，当时，函数有最大值，求的值． 【答案】(1)一次函数过定点，理由如下： 证明：因为一次函数过定点， 所以，； 当时，， 所以一次函数过定点． (2)证明：因为点和点分别在一次函数和的图象上， 所以，， 即； 因为， 所以； 因为， 所以， 即； (3)的值为或 【分析】本题考查了一次函数的性质． （1）根据题意得出，将代入，得出，即可求解； （2）将点和点分别代入一次函数和的解析式，得出，结合，即可得证． （3）先求得，根据当时，函数有最大值，分和，结合一次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：略； （2）证明：略； （3）解：， ①若，随的增大而增大，当时，，解得； ②若，随的增大而减小，当时，，解得； 所以的值为或． 7．如图，一次函数、的图象交于轴上的点，其中为常数且，．点为正半轴上的一点，过点作轴的平行线分别交的图象于点、，过点、作轴的平行线分别交的图象于点、． 【特例探究】当时 （1）若点的纵坐标为3，则　　，　　，　　； （2）求的值； （3）求的值． 【归纳猜想】请运用特殊到一般的数学思想和归纳法进行猜想（不需要证明）： 　　；　　．（用含有的代数式表示） 【答案】特例探究：（1）4，4，12；（2）；（3）；归纳猜想：， 【分析】本题考查了一次函数的性质，掌握一次函数的性质是解决本题的关键． 特例探究：（1）当时，则，，令求出点B和点C的坐标，再根据题意分别令和时，即可求出点D和点E的坐标，进而即可求出、和的值； （2）设点的纵坐标为，根据题意求出点B和点C的坐标，再求出和的值，进而即可求解； （3）由（2）进而求出和的值，进而即可求解； 归纳猜想：设P的纵坐标为m，根据题意求出点B和点C的坐标、点D和点E的纵坐标，进而求解即可． 【详解】解：特例探究：（1）当时，则，， 当点的纵坐标为3时，则 解得， 解得， ∴点B为，点C为， ∵过点、作轴的平行线分别交的图象于点、， ∴当时， ， 当时， ， ∴点D为，点E为， ∴，，， 故答案为：4，4，12； （2）设点的纵坐标为，则直线的方程为， 令，得， 解得， ∴点B为， 令，得 解得， ∴点C为， ∴，， ∴， ∴； （3）∵过作轴平行线（），交于D， ∴代入得， ∴点D为， ∴， ∵过作轴平行线（），交于E， ∴代入得， ∴点E为， ∴， ∴， ∴； 归纳猜想：∵，（，），点P在y正半轴上， ∴设P的纵坐标为m（）， ∵点B是l与的交点， ∴当时，得 解得， ∴点B为， ∵点C是l与的交点， ∴当时，得 解得， ∴点C为， ∴，， ∴， ∵过点B作y轴平行线（），交于D， ∴点D的纵坐标为， ∴ ∵过点C作y轴平行线（），交于E， ∴点E的纵坐标为， ∴， ∴， 故答案为：，． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $