集合与常用逻辑用语：容斥原理的应用、集合新定义问题讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学讲义通过逻辑推导与分层梳理构建集合知识体系，容斥原理部分按两集合（核心公式及衍生计数）、三集合（标准型与非标准型公式）递进，结合考点目录表格呈现知识脉络，突出公式内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于情境化例题设计与方法指导，如运动会参赛人数计算（例1）培养数学眼光，新定义问题通过“精读定义-翻译转化”步骤（如封闭集判断）提升数学思维。变式训练覆盖不同难度，基础生掌握方法，优秀生深化理解，助力教师精准教学与学生自主复习。

集合与常用逻辑用语：容斥原理的应用、集合新定义问题讲义 集合与常用逻辑用语：容斥原理的应用、集合新定义问题讲义 考点目录 容斥原理的应用 集合新定义问题 考点一 容斥原理的应用 【知识点解析】 一、两集合容斥原理 核心公式 逻辑：两个集合的元素总数相加后，重叠的交集部分被重复计算了1次，因此减去一次交集的元素数，保证每个元素仅计数一次。 衍生计数公式 1. 只属于集合 的元素数： 1. 只属于集合 的元素数： 1. 两个条件都不满足的元素数（全集为 ）： 二、三集合容斥原理 1. 标准型公式（已知两两交集、三者交集） 逻辑：三个集合元素数相加后，两两重叠的部分多计算了1次，三者重叠的部分多计算了2次；减去全部两两交集后，三者重叠部分又被多减了1次，因此加回一次三者交集的元素数。 2. 非标准型公式（已知“只满足两个条件”的数量、三者都满足的数量） 逻辑：只满足两个条件的部分重复计算了1次，三者都满足的部分重复计算了2次，分别减去对应倍数，保证每个元素仅计数1次。 衍生计数公式 1. 只满足一个条件的元素数： 2. 三个条件都不满足的元素数（全集为 ）： 【例题分析】 例1．（25-26高一上·四川广安·阶段检测）学校举办运动会时，高一某班共有30名同学参加，有15人参加游泳比赛，有9人参加田径比赛，有13人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有2人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛.只参加球类一项比赛的有（    ）人. A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】设同时参加球类比赛和田径比赛的有人，利用文氏图辅助解答. 【详解】不妨设同时参加球类比赛和田径比赛的有人， 结合已知条件可知，只参加游泳比赛的有10人，只参加球类比赛的有人， 只参加田径比赛的有人， 故，解得， 从而只参加球类一项比赛的有8人. 故选：B 例2．（25-26高一上·陕西西安·阶段检测）某单位为丰富职工的业余生活，举办了一届职工运动会．已知该单位共有245名职工，参加乒乓球、篮球、羽毛球比赛的人数分别为140，120，108，同时参加乒乓球、篮球比赛的人数为72，同时参加篮球、羽毛球比赛的人数为50，同时参加乒乓球、篮球、羽毛球三项比赛的人数为30．三项比赛都不参加的人数为36，则只参加羽毛球比赛的人数为（    ） A．21 B．26 C．31 D．37 【答案】A 【分析】先设出参加不同比赛的人数，再利用容斥原理列出等式，进行求解. 【详解】设该单位共有职工人数为，， 参加比赛的人数为， 设参加乒乓球的人数为，参加篮球的人数为，参加羽毛球的人数为， 则，，， 设同时参加乒乓球、篮球比赛的人数为，同时参加篮球、羽毛球比赛的人数， 同时参加乒乓球、羽毛球比赛的人数， 则，， 设同时参加乒乓球、篮球、羽毛球三项比赛的人数，三项比赛都不参加的人数为， 则，， 则由容斥原理得， 代入相应数值得， 解得， 设只参加羽毛球比赛的人数为， 则由容斥原理得. 故选：A 例3．（25-26高一上·上海·开学考试）向50名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成；赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A，B都不赞成的学生数比对A，B都赞成的学生数的三分之一多1人，问对A，B都赞成的学生和都不赞成的学生各有 ___________ 人． 【答案】21和8 【分析】设对事件A、B都赞成的学生人数为x，利用Venn图列方程求解x即可． 【详解】赞成A的人数为，赞成B的人数为， 记50名学生组成的集合为，赞成事件的学生全体为集合，赞成事件的学生全体为集合， 设对事件、都赞成的学生人数为，则对、都不赞成的人数为，赞成而不赞成的人数为，赞成而不赞成的人数为，作出Venn图如下所示， 依题意可得，解得， 所以对、都赞成的学生有21人，都不赞成的有人． 故答案为：21和8 例4．（24-25高二下·北京·期末）有A、B、C三个城市，至少去过其中一个城市的有18人，去过A、B、C三个城市的分别有9人，8人，11人，同时去过A、B的有5人，同时去过B、C的有3人，同时去过A、C的有4人，则同时去过A、B、C三个城市的有________人． 【答案】2 【分析】若同时去过的有人，根据已知及容斥原理列方程求解即可. 【详解】若同时去过的有人，则，可得. 故答案为：2 【变式训练】 变式1．（25-26高一上·福建三明·阶段检测）《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名．某社区调查了该社区的部分市民的观影情况，调查结果显示：观看了《南京照相馆》的有人，观看了《浪浪山小妖怪》的有人，观看了《长安的荔枝》的有人，三部电影都观看了的有人，观看了其中两部电影的有人，这三部电影都未观看的有人．则接受调查的市民共有（    ） A．100人 B．人 C．人 D．178人 【答案】B 【分析】根据题意用Venn图表示题设中的集合关系，根据三个集合的容斥关系公式计算得到答案. 【详解】如图所示，用Venn图表示题设中的集合关系， 不妨将观看了《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》的市民分别用集合表示， 则，，，． 不妨设总人数为，观看了《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》的人数为， 观看了《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》的人数为， 观看了《南京照相馆》、《长安的荔枝》的人数为， 则，，，． 由三个集合的容斥关系公式得 ， 解得，故接受调查的市民共有人． 故选：B． 变式2．（25-26高一上·河北衡水·阶段检测）某小学为落实双减，实现真正素质教育，在课后给同学们增设了各种兴趣班.为了了解同学们的兴趣情况，某班班主任对全班女生进行了关于对唱歌、跳舞、书法是否有兴趣的问卷调查，要求每位同学至少选择一项，经统计有21人喜欢唱歌，17人喜欢跳舞，10人喜欢书法，同时喜欢唱歌和跳舞的有12人，同时喜欢唱歌和书法的有6人，同时喜欢跳舞和书法的有5人，三种都喜欢的有2人，则该班女生人数为（   ） A．27 B．23 C．25 D．29 【答案】A 【分析】借助韦恩图处理集合运算的容斥问题. 【详解】作出韦恩图，如图所示， 可知5人只喜欢唱歌，2人只喜欢跳舞，1人只喜欢书法，同时喜欢唱歌和跳舞但不喜欢书法的有10人，同时喜欢唱歌和书法但不喜欢跳舞的有4人，同时喜欢跳舞和书法但不喜欢唱歌的有3人，三种都喜欢的有2人，则该班女生人数为. 故选：A． 变式3．（25-26高一上·辽宁·阶段检测）已知鞍山一中25届15班共有36人，其中参加数学校本课程的有20人，参加物理校本课程的有18人，参加化学校本课程的有16人，既参加数学校本课程又参加物理校本课程的有12人，既参加数学校本课程又参加化学校本课程的有10人，既参加物理校本课程又参加化学校本课程的有6人，三科都参加的有4人，则三科都没参加的有_____人． 【答案】6 【分析】根据题意画出图求解即可. 【详解】由题意，既参加数学校本课程又参加物理校本课程的有12人，三科都参加的有4人， 则参加数学校本课程和物理校本课程，没有参加化学校本课程的有8人， 而既参加数学校本课程又参加化学校本课程的有10人， 则参加数学校本课程和化学校本课程，没有参加物理校本课程的有6人， 而既参加物理校本课程又参加化学校本课程的有6人， 则参加物理校本课程和化学校本课程，没有参加数学校本课程的有2人， 可画出图，如图所示： 所以三科都没参加的人数为． 故答案为：6. 变式4．（25-26高一上·湖南长沙·阶段检测）我校数、理、化竞赛时，高一某班有名学生参加数学竞赛，名学生参加物理竞赛，名学生参加化学竞赛，其中参加数、理、化三科竞赛的有名，只参加数、物两科的有名，只参加物、化两科的有名，只参加数、化两科的有名若该班学生共有名，则没有参加任何竞赛的学生共有__________名. 【答案】 【分析】根据韦恩图，分别求出单独参加物理、数学和化学的人数，即可求出参赛人数，进而求出没有参加任何竞赛的学生. 【详解】由韦恩图知： 因为有名学生参加数学竞赛，名学生参加物理竞赛，名学生参加化学竞赛， 参加数、理、化三科竞赛的有名，只参加数、化两科的有名， 只参加数、物两科的有名，只参加物、化两科的有名， 所以单独参加数学的有人， 单独参加物理的有人，单独参加化学的有人， 故参赛人数共有人， 没有参加任何竞赛的学生共有人． 故答案为：10. 考点二 集合新定义问题 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 题型本质 题目给出课本之外的集合概念、运算规则或性质定义，要求即时理解定义并迁移应用，解决对应问题，核心考察阅读理解能力、知识迁移能力和严格的规则意识。 2. 定义特征 所有新定义均为“临时规则”，仅在本题语境下成立；解题必须严格遵循题目给出的定义，不能自行套用已有集合运算的性质或主观拓展。 3. 核心原则：定义优先，逐字落实；不增不减，严格匹配。 二、常见类型 1. 新运算型 定义两个集合之间的全新运算（如 、、 等），给出明确的运算规则，要求计算运算结果、判断运算性质（交换律、结合律等）。 1. 新集合型 定义一类具有特殊性质的集合（如“好集合”“和谐集合”“孤立集”等），要求判断给定集合是否符合定义，或根据定义构造满足条件的集合。 1. 新属性型 定义集合的某种量化属性（如集合的“长度”“权重”“秩”“基数”等），要求计算属性值、比较属性大小或求最值。 1. 元素关系型 定义集合中元素之间的特殊关系，要求判断元素是否满足关系，或根据关系确定元素的取值、集合的构成。 三、解题思路 1. 精读定义，圈画关键 逐字解读题目定义，标记核心条件、限制范围、运算规则，尤其注意元素的取值范围、集合的前提限制（如非空、元素互异、整数集等）。 1. 翻译转化，对接旧知 将陌生的新定义转化为熟悉的数学语言： · 运算类定义转化为交、并、补、方程、不等式等常规运算； · 集合类定义转化为元素满足的条件式； · 属性类定义转化为函数表达式或计算公式。 1. 代入验证，逐一匹配 · 判断类题目：将选项或给定集合代入定义，逐条验证所有条件，全部满足才符合定义； · 计算类题目：严格按照定义的步骤和规则运算，不跳步、不自行添加规则。 1. 分类讨论，全面覆盖 当定义包含多种情形、元素取值不确定时，根据条件划分分类标准，逐一讨论所有符合定义的情况，避免遗漏。 1. 性质推导，特例辅助 判断运算性质时，可先通过特例快速验证，再结合定义做一般性推导；否定一个性质只需举出一个反例。 四、高频易错点 1. 定义理解片面：漏看定义中的限制条件（如元素为整数、集合非空、正整数集等），导致结果范围扩大。 1. 思维定势干扰：习惯性将新运算等同于熟悉的交、并、差运算，用已有知识替代题目定义解题，偏离规则。 1. 忽略元素互异性：新定义运算后集合中出现重复元素，未按集合互异性剔除，导致结果错误。 1. 分类讨论不全：定义包含多种情形时，只讨论最常见的一种，遗漏其他符合条件的情况。 1. 层级关系混淆：当集合本身作为另一个集合的元素时，混淆“集合”与“元素”的层级，判断从属关系出错。 【例题分析】 例1．（25-26高一上·四川乐山·阶段检测·多选）在整数集中，被5除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，给出如下四个选项，其中正确的是（    ） A． B． C． D．当且仅当“”时，整数，属于同一类 【答案】ACD 【分析】根据所给定义一一分析即可. 【详解】因为，所以，故A正确； 因为，所以，故B错误； 因为整数集中的数被除的余数可以分为五类，分别为余数为，余数为，余数为，余数为，余数为， 所以，故C正确； 若整数，属于同一“类”，则两数被除的余数相同，则被除的余数为，即有， 若，则，被余数相同，即整数，属于同一“类”， 所以当且仅当“”时，整数，属于同一类，故D正确. 故选：ACD 例2．（25-26高一上·吉林长春·阶段检测·多选）集合，定义运算“”为，则（    ） A． B．a⊕bb⊕a C． D．若，则 【答案】ACD 【分析】由运算“”的定义分别计算判断A、B、C，用分析法分别从条件和结论出发证明得到D. 【详解】对于A，，故A正确； 对于BC，，故B错误C正确； 对于D，若，则，， 要证，只需要证，即证， 即证，即证，即证， 因为，，所以上式成立，所以，故D正确. 故选：ACD. 例3．（25-26高一上·北京顺义·阶段检测）已知是非空数集，如果对任意，都有，则称是封闭集. (1)判断集合是否为封闭集，并说明理由； (2)判断以下两个命题的真假，并说明理由； 命题：若非空集合是封闭集，则也是封闭集； 命题：若非空集合是封闭集，且，则也是封闭集； (3)若非空集合是封闭集合，且为全体实数集，求证：不是封闭集. 【答案】(1)集合是封闭集，不是封闭集，理由为： 对于集合 因为， 所以是封闭集； 对于集合，因为，， 所以集合不是封闭集； (2)命题为假命题，命题q为真命题，理由为： 对命题：令， 则集合是封闭集，但不是封闭集，故错误； 对于命题：设，则有，又因为集合是封闭集， 所以， 同理可得， 所以， 所以是封闭集，故正确； (3) 证明：假设结论成立，设， 若，矛盾，所以，所以有， 设且，否则， 所以有，矛盾，故假设不成立，原结论成立，证毕. 【分析】(1)根据封闭集的定义判断即可； (2) 对命题举反例说明即可； 对于命题：设，由是封闭集，可得，从而判断为正确； (3)根据题意，令，只需证明不是封闭集即可，取中的即可证明. 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 例4．（25-26高一上·河北秦皇岛·阶段检测）给定数集，若对于任意，有，且，则称集合为闭集合. (1)判断集合是否为闭集合，并给出证明； (2)若集合A，B为闭集合，且AR，BR，求证：R. 【答案】(1)不是闭集合，是闭集合，理由见解析 (2)证明过程见解析 【分析】（1）举出反例得到不是闭集合，并任取，设，证明出是闭集合； （2）假设结论不成立，存在且，故，同理可得，存在且，故，推出或，分析可得出矛盾，故假设不成立，结论成立. 【详解】（1）不是闭集合，是闭集合，理由如下： ，但，故不是闭集合， ，任取，设，其中， 则，， 故是闭集合； （2）反证法，假设， 因为AR，所以存在且，故， 同理可得，存在且，故， 因为，所以或， 若，则为闭集合，故，与矛盾， 若，则为闭集合，故，与矛盾， 综上，存在，使得， 故假设不成立，R. 【变式训练】 变式1．（25-26高一上·陕西商洛·阶段检测·多选）若是含有个元素的数集，则称为数集.数集中含有个元素的子集，称为的子集.若在数集的任何一个子集中，存在4个不同的数，，，，使得，则称该的子集为的等和子集.下列结论正确的是（    ） A．3数集有6个非空真子集 B．4数集有6个2子集 C．若集合，则没有等和子集 D．若集合，则的等和子集有2个 【答案】ABC 【分析】根据集合的新定义结合子集及真子集的性质分别判断各个选项即可. 【详解】3数集A有个非空真子集，A正确. 假设， 则B的2子集有，，，，，，共6个，B正确. 因为在集合C中不存在4个不同的数，，，，使得， 所以没有等和子集，C正确. D的等和子集有，，，共3个，D错误. 故选：ABC. 变式2．（25-26高一上·海南三亚·阶段检测·多选）我们知道，如果集合，那么的子集的补集为．类似的，对于集合、，我们把集合叫作集合与的差集，记作．例如，，，则有，，下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若是高一（1）班全体同学的集合，是高一（1）班全体女同学的集合，则 D．若，则2一定不是集合的元素 【答案】ACD 【分析】根据所给定义判断A、C正确；选项B、D可以通过举反例来证明错误. 【详解】对于A，或， 根据差集的定义可得，故A正确； 对于B，若，，则，显然，故B错误； 对于C，根据差集的定义可判断C正确； 对于D，设，，则，， 此时，故D正确. 故选：ACD. 变式3．（25-26高三上·辽宁沈阳·阶段检测）定义：若任意 (m，n可以相等但) ， 则集合 称为集合A的生成集； (1)若集合，的生成集为，的子集个数为4个，求实数的值； (2)若集合，的生成集为，求证： 【答案】(1) (2) ，则，故； ，故； 故，即. 【分析】（1）根据子集个数确定集合的元素有2个，考虑，，，或，时的值，两两相等计算得到答案. （2），计算，，得到证明. 【详解】（1）的子集个数为4个，故集合的元素有2个. 当时，； 当时，； 当，或，时，； ①，解得（舍）或； ②，解得（舍）； ③，解得（舍）或，或， 综上所述：，，或，即. （2）略 变式4．（25-26高一上·山东青岛·阶段检测）设集合，集合，如果对于任意元素，都有或，则称集合P为的自邻集．记为集合的所有自邻集中最大元素k的集合的个数． (1)直接判断集合和是否为的自邻集； (2)比较和的大小，并说明理由． 【答案】(1)不是的自邻集，是的自邻集. (2)，理由见解析. 【分析】（1）利用自邻集的定义直接判断即可. （2）利用自邻集的定义求出的自邻集中最大元集分别为6，5，3的所有自邻集，从而可得答案. 【详解】（1）由，得和， 而，所以不是的自邻集， 又， 所以是的自邻集. （2）， 则其自邻集中最大元素为6的集合中必含5和6，则有，，， ，，，，，共9个，即， 其自邻集中最大元素为5的集合中必含4和5，则有，，，，共5个， ， 其自邻集中最大元素为3的集合中必含2和3，则有，共2个，， 所以. 2 学科网（北京）股份有限公司 $集合与常用逻辑用语：容斥原理的应用、集合新定义问题讲义 集合与常用逻辑用语：容斥原理的应用、集合新定义问题讲义 考点目录 容斥原理的应用 集合新定义问题 考点一 容斥原理的应用 【知识点解析】 一、两集合容斥原理 核心公式 逻辑：两个集合的元素总数相加后，重叠的交集部分被重复计算了1次，因此减去一次交集的元素数，保证每个元素仅计数一次。 衍生计数公式 1. 只属于集合 的元素数： 1. 只属于集合 的元素数： 1. 两个条件都不满足的元素数（全集为 ）： 二、三集合容斥原理 1. 标准型公式（已知两两交集、三者交集） 逻辑：三个集合元素数相加后，两两重叠的部分多计算了1次，三者重叠的部分多计算了2次；减去全部两两交集后，三者重叠部分又被多减了1次，因此加回一次三者交集的元素数。 2. 非标准型公式（已知“只满足两个条件”的数量、三者都满足的数量） 逻辑：只满足两个条件的部分重复计算了1次，三者都满足的部分重复计算了2次，分别减去对应倍数，保证每个元素仅计数1次。 衍生计数公式 1. 只满足一个条件的元素数： 2. 三个条件都不满足的元素数（全集为 ）： 【例题分析】 例1．（25-26高一上·四川广安·阶段检测）学校举办运动会时，高一某班共有30名同学参加，有15人参加游泳比赛，有9人参加田径比赛，有13人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有2人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛.只参加球类一项比赛的有（    ）人. A．7 B．8 C．9 D．10 例2．（25-26高一上·陕西西安·阶段检测）某单位为丰富职工的业余生活，举办了一届职工运动会．已知该单位共有245名职工，参加乒乓球、篮球、羽毛球比赛的人数分别为140，120，108，同时参加乒乓球、篮球比赛的人数为72，同时参加篮球、羽毛球比赛的人数为50，同时参加乒乓球、篮球、羽毛球三项比赛的人数为30．三项比赛都不参加的人数为36，则只参加羽毛球比赛的人数为（    ） A．21 B．26 C．31 D．37 例3．（25-26高一上·上海·开学考试）向50名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成；赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A，B都不赞成的学生数比对A，B都赞成的学生数的三分之一多1人，问对A，B都赞成的学生和都不赞成的学生各有 ___________ 人． 例4．（24-25高二下·北京·期末）有A、B、C三个城市，至少去过其中一个城市的有18人，去过A、B、C三个城市的分别有9人，8人，11人，同时去过A、B的有5人，同时去过B、C的有3人，同时去过A、C的有4人，则同时去过A、B、C三个城市的有________人． 【变式训练】 变式1．（25-26高一上·福建三明·阶段检测）《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名．某社区调查了该社区的部分市民的观影情况，调查结果显示：观看了《南京照相馆》的有人，观看了《浪浪山小妖怪》的有人，观看了《长安的荔枝》的有人，三部电影都观看了的有人，观看了其中两部电影的有人，这三部电影都未观看的有人．则接受调查的市民共有（    ） A．100人 B．人 C．人 D．178人 变式2．（25-26高一上·河北衡水·阶段检测）某小学为落实双减，实现真正素质教育，在课后给同学们增设了各种兴趣班.为了了解同学们的兴趣情况，某班班主任对全班女生进行了关于对唱歌、跳舞、书法是否有兴趣的问卷调查，要求每位同学至少选择一项，经统计有21人喜欢唱歌，17人喜欢跳舞，10人喜欢书法，同时喜欢唱歌和跳舞的有12人，同时喜欢唱歌和书法的有6人，同时喜欢跳舞和书法的有5人，三种都喜欢的有2人，则该班女生人数为（   ） A．27 B．23 C．25 D．29 变式3．（25-26高一上·辽宁·阶段检测）已知鞍山一中25届15班共有36人，其中参加数学校本课程的有20人，参加物理校本课程的有18人，参加化学校本课程的有16人，既参加数学校本课程又参加物理校本课程的有12人，既参加数学校本课程又参加化学校本课程的有10人，既参加物理校本课程又参加化学校本课程的有6人，三科都参加的有4人，则三科都没参加的有_____人． 变式4．（25-26高一上·湖南长沙·阶段检测）我校数、理、化竞赛时，高一某班有名学生参加数学竞赛，名学生参加物理竞赛，名学生参加化学竞赛，其中参加数、理、化三科竞赛的有名，只参加数、物两科的有名，只参加物、化两科的有名，只参加数、化两科的有名若该班学生共有名，则没有参加任何竞赛的学生共有__________名. 考点二 集合新定义问题 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 题型本质 题目给出课本之外的集合概念、运算规则或性质定义，要求即时理解定义并迁移应用，解决对应问题，核心考察阅读理解能力、知识迁移能力和严格的规则意识。 2. 定义特征 所有新定义均为“临时规则”，仅在本题语境下成立；解题必须严格遵循题目给出的定义，不能自行套用已有集合运算的性质或主观拓展。 3. 核心原则：定义优先，逐字落实；不增不减，严格匹配。 二、常见类型 1. 新运算型 定义两个集合之间的全新运算（如 、、 等），给出明确的运算规则，要求计算运算结果、判断运算性质（交换律、结合律等）。 1. 新集合型 定义一类具有特殊性质的集合（如“好集合”“和谐集合”“孤立集”等），要求判断给定集合是否符合定义，或根据定义构造满足条件的集合。 1. 新属性型 定义集合的某种量化属性（如集合的“长度”“权重”“秩”“基数”等），要求计算属性值、比较属性大小或求最值。 1. 元素关系型 定义集合中元素之间的特殊关系，要求判断元素是否满足关系，或根据关系确定元素的取值、集合的构成。 三、解题思路 1. 精读定义，圈画关键 逐字解读题目定义，标记核心条件、限制范围、运算规则，尤其注意元素的取值范围、集合的前提限制（如非空、元素互异、整数集等）。 1. 翻译转化，对接旧知 将陌生的新定义转化为熟悉的数学语言： · 运算类定义转化为交、并、补、方程、不等式等常规运算； · 集合类定义转化为元素满足的条件式； · 属性类定义转化为函数表达式或计算公式。 1. 代入验证，逐一匹配 · 判断类题目：将选项或给定集合代入定义，逐条验证所有条件，全部满足才符合定义； · 计算类题目：严格按照定义的步骤和规则运算，不跳步、不自行添加规则。 1. 分类讨论，全面覆盖 当定义包含多种情形、元素取值不确定时，根据条件划分分类标准，逐一讨论所有符合定义的情况，避免遗漏。 1. 性质推导，特例辅助 判断运算性质时，可先通过特例快速验证，再结合定义做一般性推导；否定一个性质只需举出一个反例。 四、高频易错点 1. 定义理解片面：漏看定义中的限制条件（如元素为整数、集合非空、正整数集等），导致结果范围扩大。 1. 思维定势干扰：习惯性将新运算等同于熟悉的交、并、差运算，用已有知识替代题目定义解题，偏离规则。 1. 忽略元素互异性：新定义运算后集合中出现重复元素，未按集合互异性剔除，导致结果错误。 1. 分类讨论不全：定义包含多种情形时，只讨论最常见的一种，遗漏其他符合条件的情况。 1. 层级关系混淆：当集合本身作为另一个集合的元素时，混淆“集合”与“元素”的层级，判断从属关系出错。 【例题分析】 例1．（25-26高一上·四川乐山·阶段检测·多选）在整数集中，被5除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，给出如下四个选项，其中正确的是（    ） A． B． C． D．当且仅当“”时，整数，属于同一类 例2．（25-26高一上·吉林长春·阶段检测·多选）集合，定义运算“”为，则（    ） A． B．a⊕bb⊕a C． D．若，则 例3．（25-26高一上·北京顺义·阶段检测）已知是非空数集，如果对任意，都有，则称是封闭集. (1)判断集合是否为封闭集，并说明理由； (2)判断以下两个命题的真假，并说明理由； 命题：若非空集合是封闭集，则也是封闭集； 命题：若非空集合是封闭集，且，则也是封闭集； (3)若非空集合是封闭集合，且为全体实数集，求证：不是封闭集. 例4．（25-26高一上·河北秦皇岛·阶段检测）给定数集，若对于任意，有，且，则称集合为闭集合. (1)判断集合是否为闭集合，并给出证明； (2)若集合A，B为闭集合，且AR，BR，求证：R. 【变式训练】 变式1．（25-26高一上·陕西商洛·阶段检测·多选）若是含有个元素的数集，则称为数集.数集中含有个元素的子集，称为的子集.若在数集的任何一个子集中，存在4个不同的数，，，，使得，则称该的子集为的等和子集.下列结论正确的是（    ） A．3数集有6个非空真子集 B．4数集有6个2子集 C．若集合，则没有等和子集 D．若集合，则的等和子集有2个 变式2．（25-26高一上·海南三亚·阶段检测·多选）我们知道，如果集合，那么的子集的补集为．类似的，对于集合、，我们把集合叫作集合与的差集，记作．例如，，，则有，，下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若是高一（1）班全体同学的集合，是高一（1）班全体女同学的集合，则 D．若，则2一定不是集合的元素 变式3．（25-26高三上·辽宁沈阳·阶段检测）定义：若任意 (m，n可以相等但) ， 则集合 称为集合A的生成集； (1)若集合，的生成集为，的子集个数为4个，求实数的值； (2)若集合，的生成集为，求证： 变式4．（25-26高一上·山东青岛·阶段检测）设集合，集合，如果对于任意元素，都有或，则称集合P为的自邻集．记为集合的所有自邻集中最大元素k的集合的个数． (1)直接判断集合和是否为的自邻集； (2)比较和的大小，并说明理由． 2 学科网（北京）股份有限公司 $