专题1.3 集合的基本运算讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦高中数学集合的基本运算核心知识点，系统梳理并集、交集、全集与补集的概念，通过自然语言、符号语言、图形语言三维度呈现，结合Venn图直观表示运算结果，构建从基础概念到综合应用的学习支架。 该资料特色在于分考点梯度设计，涵盖运算求解、参数确定、实际应用及新定义问题，如用Venn图解决运动会参赛人数问题，培养数学眼光观察现实世界，新定义题型提升数学思维与创新意识，课中辅助教学，课后助力学生查漏补缺。

专题1.3 集合的基本运算 【考点导航】 【知识梳理】 1．并集的概念及表示 自然语言 符号语言 图形语言 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”) A∪B={x|x∈ A,或x∈ B} 2.交集的概念及表示 自然语言 符号语言 图形语言 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B(读作"A交B") A∩B={x|x∈ A,且x∈ B} 3．全集 (1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． (2)符号表示：全集通常记作U. 4．补集 定义 文字语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA 符号语言 ∁UA={x|x∈U,且x∉A} 图形语言 性质 (1) (2) 5. 两个集合运算结果的Venn图表示 6. 解决集合新定义问题的着手点 (1)正确理解新定义：耐心阅读，分析含义，准确提取信息是解决这类问题的前提，剥去新定义、新法则、新运算的外表，利用所学的集合性质等知识将陌生的集合转化为我们熟悉的集合，是解决这类问题的突破口． (2)合理利用集合性质：运用集合的性质(如元素的性质、集合的运算性质等)是破解新定义型集合问题的关键．在解题时要善于从题设条件给出的数式中发现可以使用集合性质的一些因素，并合理利用．　　 【考点1：并集的概念及运算】 1．（26-27高一上·全国·课堂例题）设集合，集合，则集合（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据并集的定义求解即可. 【详解】因为集合，集合， 所以. 2．（26-27高一上·全国·课前预习）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为集合，，则. 3．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】集合，，则 4．（26-27高一上·甘肃嘉峪关·开学考试）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】. 5．（26-27高三上·河南郑州·开学考试）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】集合，，则. 【考点2：根据并集结果求集合或参数】 1．（25-26高二下·黑龙江黑河·期末）若集合，，且，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【详解】若,则，违反集合的互异性， 因为，所以. 2．（25-26高二下·广东汕尾·期末）已知集合，，若，则实数a的值为（     ） A． B．3 C．或3 D．2 【答案】B 【详解】若，则， 所以或. 当时，. 此时不符合集合中元素的互异性，所以； 当时，， 即. 因为，所以，所以， 即. 当时，. 综上所述，. 3．（26-27高一上·全国·课后作业）（多选）（多选）已知集合，，则使的实数的取值范围可以是（　　）. A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】∵，∴. ①若，则，解得. ∵，， ∴，且，解得. 此时. ②若，则，解得，符合题意． 综上，实数满足即可. 4．（26-27高一上·全国·课后作业）设集合，集合，且，则的值组成的集合是________. 【答案】 【分析】先求集合，再由，得，分和两种情况讨论即可求解. 【详解】由，得，， 当时，，满足题意， 当时，，所以或，所以或， 故所求集合为. 5．（25-26高二下·安徽六安·期末）已知集合，{或}. (1)若，求的取值范围； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）因为，{或}，， 所以，解得，即的取值范围为． （2）当时，满足，此时，解得．   当时，或， 解得或，   综上，或，即的取值范围为或． 【考点3：交集的概念及运算】 1．（山东省日照市校际联合考试2026-2027学年高二上学期开学考试数学试题）集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得，因此，又，因此. 2．（26-27高一上·全国·课堂例题）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出集合，，根据交集的定义求解即可． 【详解】集合，，所以． 3．（26-27高一上·全国·课堂例题）若集合或，则______． 【答案】 【分析】利用集合的交集定义即可求解. 【详解】因或 则 4．（26-27高一上·全国·课堂例题）若集合或，则　______，______． 【答案】 R 【分析】利用集合的交集、并集定义，借助于数轴即可求解. 【详解】因或， 则， 5．（26-27高一上·全国·课后作业）已知集合，求. 【答案】，. 【详解】 ∵， 把集合A与B表示在数轴上，如图． ∴， . 【考点4：根据交集结果求集合或参数】 1．（23-24高一上·云南文山·阶段检测）（多选）已知集合，，则使的实数的取值可以是（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】AB 【详解】由，得. ①当时，可得，解得； ②当时，可得，解得， 综上，故选项AB正确. 2．（25-26高二下·北京·阶段检测）已知集合，，若，则实数值的集合为_________． 【答案】 【详解】∵ ，∴ ，且. 集合，分情况讨论： ① 若，解得， 此时，则，与矛盾，舍去； ② 若， 此时，则，与矛盾，舍去； ③ 若，解得， 此时，，符合题意. 综上，实数值的集合为. 3．（第03讲集合的基本运算（暑假预习讲义）新高一年级数学人教A版）已知集合，或.若，求实数的取值范围. 【答案】 【详解】由，有，解得， 所以实数的取值范围为. 4．（2026高一·全国·专题练习）设 ．若 ，求 的取值范围． 【答案】或 【分析】化简集合，根据交集的概念可知，通过讨论集合是否为空集即可求解. 【详解】化简集合 ，得 ．由于 ，则有 可知集合 或为空集，或只含有根0或 ． ①若，由 ，得． ②若，代入 ，得，即 或 ， 当时，，符合题意； 当时， ，也符合题意； ③若，代入，得 ，即 或 ，当时，②中已讨论，符合题意； 当时， ，不合题意； 综合①②③得或. 5．（25-26高二下·山西阳泉·期末）已知集合，集合． (1)当时，求和； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先求出集合，再根据并集、交集的定义求解即可； （2）分、两种情况讨论求解即可. 【详解】（1）当时，，又， ，． （2）由， 若，则，解得； 若，则或，解得. 综上所述，实数的取值范围为． 【考点5：全集与补集的概念及运算】 1．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知为全集，集合是的子集，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由于，故，如图所示， 由图可知BD错误， 又，故A错误，C正确. 2．（25-26高二下·甘肃白银·期末）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，， 所以，故. 3．（25-26高二下·河北唐山·期末）设全集是小于等于8的正整数}，集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知，全集为小于等于8的正整数构成的集合，因此. 而是所有属于但不属于A的元素构成的集合， 代入，可得. 而 是所有既属于又属于B的元素构成的集合， 代入，可得. 4．（26-27高一上·全国·课后作业）已知全集，集合，，则集合________. 【答案】 【详解】因为集合， 所以， 又因为,则． 5．（25-26高二下·陕西榆林·期末）已知全集，集合，则集合中元素的个数为_________. 【答案】3 【详解】因为， 所以， 又，所以， 则集合中有3个元素. 【考点6：交并补混合运算】 1．（26-27高一上·辽宁沈阳·开学考试）（多选）已知全集，集合，，且，则（     ） A． B． C．中元素个数为1 D． 【答案】BCD 【分析】首先根据韦达定理判断集合中的元素，再通过分类讨论进行判断 【详解】对于A：方程，因为， 所以方程有两个不同的实数根，由韦达定理可得， 又因为，所以或者. 若，将代入方程得 解得， 若，将代入方程得 解得， 故存在满足条件，与不符，选项A错误； 对于B：， 若，则，即； 若，则，即，选项B正确； 对于C： 若，则，只有一个元素； 若则，只有一个元素，选项C正确； 对于D：全集，， 所以， 若，则，不为； 若，则，不为，选项D正确. 2．（25-26高一下·河南新乡·期末）设全集，集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，, 其中组成了所有整数， 则, 3．（26-27高一上·全国·课后作业）全集，，，，，则________，________ 【答案】 【详解】法一：根据题意作出Venn图如图所示： 由图可知，． 法二：∵， ∴． 又， ∴． ∵，， ∴． 4．（26-27高一上·全国·课后作业）设集合，，，求，，，． 【答案】,,, ． 【详解】，，， ， ， ，， ， . 5．（25-26高一上·四川广安·阶段检测）（1）已知全集，集合，，求：和； （2）设全集，，，求、. 【答案】（1），；（2），. 【详解】（1）因为全集，集合，， 所以，故， 因为，，故； （2）因为全集，，， 所以， 因为或，故. 【考点7：根据交并补混合运算求集合或参数】 1．（25-26高一下·安徽滁州·开学考试）已知集合，则集合（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，则， 而，则， 若，则，，此时，不满足题意，故， 同理可得，又，则. 2．（2026高三上·河南鹤壁·专题练习）已知集合，，若，则的取值范围为______ 【答案】 【分析】由补集和交集的概念可得出答案. 【详解】已知，则， ，且， 所以. 故答案为： 3．（2026高一·全国·专题练习）已知集合，，若，则a的取值范围是_______ 【答案】 【详解】因为，所以， 又因为，所以和没有公共元素， 即，所以中所有元素都满足， 又因为，中最小元素是， 要让中所有元素都大于，只需， 故的取值范围是. 4．（25-26高二下·河北沧州·期末）已知集合，或． (1)当时，求； (2)若，且，求实数m的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）当时，集合， 且或，所以或. （2）因为，则， 又因为，则，可得， 又因为或，则，解得， 所以m的取值范围是． 5．（第03讲集合的基本运算（暑假预习讲义）新高一年级数学人教A版）已知集合，，全集为.若，求实数m的取值范围. 【答案】 【分析】根据集合是否为空集进行分类讨论，由此列不等式求得的取值范围. 【详解】由得，， 当时，由，可得，即， 此时； 当时，由， 得或，而， 所以，解得， 综上所述，实数m的取值范围为. 【考点8：集合的应用】 1．（25-26高二下·黑龙江佳木斯·期中）学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时只参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时只参加游泳比赛和球类比赛的有3人，同时参加三项比赛的有1人，则同时只参加田径比赛和球类比赛的人数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】结合韦恩图，列出方程求解即可. 【详解】设同时只参加田径比赛和球类比赛的人数为，只参加田径的人数为，只参加球类比赛的人数为， 则只参加游泳比赛的人数为，画出韦恩图，如图所示， 则，解得，所以同时只参加田径比赛和球类比赛的有1人. 2．（24-25高一上·贵州贵阳·阶段检测）某校“五一田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则下列说法错误的是（    ） A．三项比赛都参加的有2人 B．只参加100米比赛的有3人 C．只参加400米比赛的有3人 D．只参加1500米比赛的有1人 【答案】C 【详解】设集合，， . 由题可知， ， 所以，即三项都参加的有2人，故A正确； 只参加100米的有人，故B正确； 只参加400米的有人，故C错误； 只参加1500米的有人，故D正确. 3．（2026·安徽合肥·模拟预测）为了丰富学生的课余生活，促进学生全面发展，某校开设了劳动实践、研学参观、技术培训类拓展课程．高三某班学生共有人报名参加拓展课程，其中有人报名参加劳动实践，有人报名参加研学参观，有人报名参加技术培训，同时报名参加劳动实践和研学参观的有人，同时报名参加研学参观和技术培训的有5人，只参加技术培训的人数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】使用三集合容斥原理，通过韦恩图划分各部分人数，设三类都参加的人数为、只参加劳动实践和培训的人数为，根据总人数列方程化简得，再结合培训的总人数，算出只参加培训的人数． 【详解】设类课程全参加的有人，同时只参加劳动实践和技术培训的有人， 列出韦恩图，则， 可得，则只参加技术培训的人数为人． 4．（25-26高一上·山东济南·自主招生）学校里有30位老师会打乒乓球，60位老师会打羽毛球，20位老师会打篮球，有80位老师至少会一种球类，三种球都会的老师有5位，则会且仅会两种球类的老师有___________位． 【答案】20 【分析】三集合容斥，总人次 = 至少会一种人数 + 仅会两种人数 三种都会人数，据此变形求解仅会两类的数量. 【详解】先把会三种球的人数加起来：（人）， 这里面，只会两种球的人被重复算了1次，三种球都会的人被重复算了2次， 而实际至少会一种的只有80人，三种球都会的5人，多算了2次，一共多算：， 用总加和减去多算的部分，再减去实际的总人数，剩下的就是只会两种球的人数：． 5．（25-26高一下·四川成都·期中）对班级40名学生调查对两个事件的态度，有如下结果：24人赞成，其余的不赞成；27人赞成，其余的不赞成；另外，对都不赞成的学生数比对都赞成的学生数的三分之一多人，则对都赞成的学生有__________人. 【答案】 【详解】设都赞成人，所以赞成或赞成的人数为 由题可知都不赞成人数为， 所以总人数 ，解得 【考点9：集合的新定义】 1．（山东聊城市2026-2027学年高三上学期9月学习质量综合评估数学试题）已知表示集合中的元素个数，若，，，则（    ） A．5 B．6 C．3 D．4 【答案】D 【分析】利用容斥原理求解. 【详解】根据容斥原理得：， 所以：，所以 2．（25-26高一下·浙江杭州·期末）在机器学习中，常用来衡量两个集合，之间的相似度，其中表示集合的元素的个数．已知，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由条件求和，再结合定义求结论. 【详解】因为，， 所以，， 所以，， 所以. 3．（25-26高一上·云南曲靖·阶段检测）对于集合，，定义，且，，设，，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】先求解集合、的值域，再根据新定义运算分别计算和，最终求两者的并集得到结果. 【详解】对于集合，根据二次根式的非负性，，因此 ，即. 对于集合，由可得，因此，即 因为，且，所以，. 又因为，所以. 4．（25-26高二下·北京丰台·期末）已知集合，且集合，，，满足如下两个条件： ①每个集合均恰有5个元素； ②． 称集合中元素的最大值与最小值之和为的特征数（）， 则的值可能为（    ） A．64 B．65 C．102 D．103 【答案】C 【分析】求出集合，按集合的特性求出的最值即可. 【详解】集合， 由每个集合均恰有5个元素，且， 知集合的最小元素必为1，最大元素必为20， 要使的值最小，则集合的最小元素的一个排列为， 除20外，另外3个最大元素尽可能地小，最大元素的一个排列为， 因此的最小值为，AB不可能； 要使的值最大，则集合的最大元素的一个排列为， 除1外，另外3个最小元素尽可能地大，最小元素的一个排列为， 因此的最大值为，C可能，D不可能. 5．（2026年高一数学秋季开学分班-学情自测卷02（北京专用）【范围：人教B版必修一第1~2章】）对任意，，记，并称为集合，的对称差．例如：若，，则．下列命题中，为真命题的有_____ ①．若，且，则 ②．若，且，则 ③．若，且，则 ④．对任意，，都有⊕⊕ 【答案】②③④ 【分析】根据集合新定义，结合集合的交集、并集、补集之间的元素关系逐项判断即可． 【详解】对于①，因为⊕，所以，，故，故①错误； 对于②，，且⊕，则，， 即与是相同的，所以，故②正确； 对于③，，且⊕，则，， 故，且中元素不能出现在中，故，故③正确； 对于④，⊕ ， 其中， ， 故⊕ ，，， 而⊕，，故⊕⊕，故④正确． 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.3 集合的基本运算 【考点导航】 【知识梳理】 1．并集的概念及表示 自然语言 符号语言 图形语言 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”) A∪B={x|x∈ A,或x∈ B} 2.交集的概念及表示 自然语言 符号语言 图形语言 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B(读作"A交B") A∩B={x|x∈ A,且x∈ B} 3．全集 (1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． (2)符号表示：全集通常记作U. 4．补集 定义 文字语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA 符号语言 ∁UA={x|x∈U,且x∉A} 图形语言 性质 (1) (2) 5. 两个集合运算结果的Venn图表示 6. 解决集合新定义问题的着手点 (1)正确理解新定义：耐心阅读，分析含义，准确提取信息是解决这类问题的前提，剥去新定义、新法则、新运算的外表，利用所学的集合性质等知识将陌生的集合转化为我们熟悉的集合，是解决这类问题的突破口． (2)合理利用集合性质：运用集合的性质(如元素的性质、集合的运算性质等)是破解新定义型集合问题的关键．在解题时要善于从题设条件给出的数式中发现可以使用集合性质的一些因素，并合理利用．　　 【考点1：并集的概念及运算】 1．（26-27高一上·全国·课堂例题）设集合，集合，则集合（    ） A． B． C． D． 2．（26-27高一上·全国·课前预习）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 3．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 4．（26-27高一上·甘肃嘉峪关·开学考试）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 5．（26-27高三上·河南郑州·开学考试）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【考点2：根据并集结果求集合或参数】 1．（25-26高二下·黑龙江黑河·期末）若集合，，且，则（    ） A． B．1 C． D． 2．（25-26高二下·广东汕尾·期末）已知集合，，若，则实数a的值为（     ） A． B．3 C．或3 D．2 3．（26-27高一上·全国·课后作业）（多选）（多选）已知集合，，则使的实数的取值范围可以是（　　）. A． B． C． D． 4．（26-27高一上·全国·课后作业）设集合，集合，且，则的值组成的集合是________. 5．（25-26高二下·安徽六安·期末）已知集合，{或}. (1)若，求的取值范围； (2)若，求的取值范围. 【考点3：交集的概念及运算】 1．（山东省日照市校际联合考试2026-2027学年高二上学期开学考试数学试题）集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（26-27高一上·全国·课堂例题）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．（26-27高一上·全国·课堂例题）若集合或，则______． 4．（26-27高一上·全国·课堂例题）若集合或，则　______，______． 5．（26-27高一上·全国·课后作业）已知集合，求. 【考点4：根据交集结果求集合或参数】 1．（23-24高一上·云南文山·阶段检测）（多选）已知集合，，则使的实数的取值可以是（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 2．（25-26高二下·北京·阶段检测）已知集合，，若，则实数值的集合为_________． 3．（第03讲集合的基本运算（暑假预习讲义）新高一年级数学人教A版）已知集合，或.若，求实数的取值范围. 4．（2026高一·全国·专题练习）设 ．若 ，求 的取值范围． 5．（25-26高二下·山西阳泉·期末）已知集合，集合． (1)当时，求和； (2)若，求实数的取值范围． 【考点5：全集与补集的概念及运算】 1．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知为全集，集合是的子集，若，则（　　） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·甘肃白银·期末）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·河北唐山·期末）设全集是小于等于8的正整数}，集合，，则（   ） A． B． C． D． 4．（26-27高一上·全国·课后作业）已知全集，集合，，则集合________. 5．（25-26高二下·陕西榆林·期末）已知全集，集合，则集合中元素的个数为_________. 【考点6：交并补混合运算】 1．（26-27高一上·辽宁沈阳·开学考试）（多选）已知全集，集合，，且，则（     ） A． B． C．中元素个数为1 D． 2．（25-26高一下·河南新乡·期末）设全集，集合，，，则（    ） A． B． C． D． 3．（26-27高一上·全国·课后作业）全集，，，，，则________，________ 4．（26-27高一上·全国·课后作业）设集合，，，求，，，． 5．（25-26高一上·四川广安·阶段检测）（1）已知全集，集合，，求：和； （2）设全集，，，求、. 【考点7：根据交并补混合运算求集合或参数】 1．（25-26高一下·安徽滁州·开学考试）已知集合，则集合（ ） A． B． C． D． 2．（2026高三上·河南鹤壁·专题练习）已知集合，，若，则的取值范围为______ 3．（2026高一·全国·专题练习）已知集合，，若，则a的取值范围是_______ 4．（25-26高二下·河北沧州·期末）已知集合，或． (1)当时，求； (2)若，且，求实数m的取值范围． 5．（第03讲集合的基本运算（暑假预习讲义）新高一年级数学人教A版）已知集合，，全集为.若，求实数m的取值范围. 【考点8：集合的应用】 1．（25-26高二下·黑龙江佳木斯·期中）学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时只参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时只参加游泳比赛和球类比赛的有3人，同时参加三项比赛的有1人，则同时只参加田径比赛和球类比赛的人数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（24-25高一上·贵州贵阳·阶段检测）某校“五一田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则下列说法错误的是（    ） A．三项比赛都参加的有2人 B．只参加100米比赛的有3人 C．只参加400米比赛的有3人 D．只参加1500米比赛的有1人 3．（2026·安徽合肥·模拟预测）为了丰富学生的课余生活，促进学生全面发展，某校开设了劳动实践、研学参观、技术培训类拓展课程．高三某班学生共有人报名参加拓展课程，其中有人报名参加劳动实践，有人报名参加研学参观，有人报名参加技术培训，同时报名参加劳动实践和研学参观的有人，同时报名参加研学参观和技术培训的有5人，只参加技术培训的人数为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·山东济南·自主招生）学校里有30位老师会打乒乓球，60位老师会打羽毛球，20位老师会打篮球，有80位老师至少会一种球类，三种球都会的老师有5位，则会且仅会两种球类的老师有___________位． 5．（25-26高一下·四川成都·期中）对班级40名学生调查对两个事件的态度，有如下结果：24人赞成，其余的不赞成；27人赞成，其余的不赞成；另外，对都不赞成的学生数比对都赞成的学生数的三分之一多人，则对都赞成的学生有__________人. 【考点9：集合的新定义】 1．（山东聊城市2026-2027学年高三上学期9月学习质量综合评估数学试题）已知表示集合中的元素个数，若，，，则（    ） A．5 B．6 C．3 D．4 2．（25-26高一下·浙江杭州·期末）在机器学习中，常用来衡量两个集合，之间的相似度，其中表示集合的元素的个数．已知，，则（     ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·云南曲靖·阶段检测）对于集合，，定义，且，，设，，则（    ） A． B． C．或 D．或 4．（25-26高二下·北京丰台·期末）已知集合，且集合，，，满足如下两个条件： ①每个集合均恰有5个元素； ②． 称集合中元素的最大值与最小值之和为的特征数（）， 则的值可能为（    ） A．64 B．65 C．102 D．103 5．（2026年高一数学秋季开学分班-学情自测卷02（北京专用）【范围：人教B版必修一第1~2章】）对任意，，记，并称为集合，的对称差．例如：若，，则．下列命题中，为真命题的有_____ ①．若，且，则 ②．若，且，则 ③．若，且，则 ④．对任意，，都有⊕⊕ 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $