四川省巴中市普通高中2027届高三“零诊”考试数学试题

巴中市普通高中2024级“零诊”考试 数学试题 （满分150分　　120分钟完卷） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置． 2．答选择题时请使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题答题时必须用0.5毫米黑色墨迹签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置，在规定的答题区域以外答题无效，在试题卷上答题无效． 3．考试结束后，考生将答题卡交回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数的共轭复数是 A． B． C． D． 2．单位向量，，且，则 A． B． C． D． 3．若正实数，，满足，则的最小值为 A．3 B．6 C．8 D．9 4．下列四个函数中，以为最小正周期且在上单调递减的偶函数是 A． B． C． D． 5．若满足，当时，，则时，的取值范围为 A． B． C． D． 6．下列命题正确的是 A．过平面外一点，有且只有一条直线与这个平面平行 B．过平面外一点，有且只有一个平面与这个平面垂直 C．过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线垂直 D．过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线平行 7．若数列的前项和为，且是与的等差中项，，则 A．27 B．54 C．81 D．243 8．设，若有两个零点，则的取值范围是 A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法错误的是 A．数据2，3，4，5，6，6，8，10，12，15的第70百分位数为8 B．已知一组样本数据，，…，的平均数为4，极差为6，中位数为5，则，，…，的平均数为，极差为12，中位数为 C．若随机变量满足，则 D．若，，，则 10．已知双曲线的左右焦点分别为，，过的直线与双曲线交于，两点，则 A．到渐近线的距离为 B．的最小值为5 C．若，在左右两支上，则直线的斜率的取值范围为 D．若在左支上，则的内切圆的圆心的横坐标为定值 11．正方体的棱长为2，是上底面的一个动点（含边界），，分别是棱，的中点，则下列结论正确的是 A．在平面上投影的面积为定值 B．一只蚂蚁从点出发沿正方体表面运动到点，则其最短路程为 C．经过，的平面截该正方体的截面不可能为梯形 D．的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．的展开式中，的系数为________． 13．在中，，，则________． 14．已知抛物线，过点的两条直线，分别与抛物线交于，，，四点，直线交轴于点，则直线的斜率为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 近年来，某古镇民俗节庆活动吸引了大量游客，为研究气温对游客量的影响，某调研团队记录了民俗节期间30天的数据．设表示第天的平均气温（单位：），表示第天参与民俗节活动的游客人数（单位：百人），其中，，，…，． 根据统计，计算得到如下数据： ，，． 附：相关系数． （1）根据所给数据，计算相关系数，并判断是否可用线性回归模型拟合与的关系；（，则认为两个变量具有较强的线性相关性） （2）该古镇景区向参加活动的游客发放纪念品．纪念品由某厂甲，乙，丙三台机器生产，合格率分别为，，，且三台机器产量相同，产品混放．现任取一件纪念品，求其合格的概率． 16．（15分） 已知数列满足，（）． （1）设，求证数列为等比数列，并求； （2）求数列的前项和． 17．（15分） 如图，三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，，，点是的中点，点是线段上一点． （1）求证：平面； （2）若二面角为， 求直线与平面所成角的正弦值． 18．（17分） 已知函数，． （1）求证：；； （2）解不等式； （3）当时，求证：． 19．（17分） 已知椭圆，焦距，离心率为． （1）求的方程； （2）为的右焦点，过点作倾斜角为的直线交于，两点． ①若，求； ②在上取5个不同的点，，，，， 满足， 计算的值． 学科网（北京）股份有限公司 $巴中市普通高中2024级“零诊”数学试题参考答案 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的. 题号 2 X 6 7 答案 A C D C E C D 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 题号 9 10 11 答案 AC ACD ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 160 13. 5 14.2 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(13分) (1)解：由题意得 288 288 288 =0.9…2分 V2-到2-或 √/80×1280√102400 320 .=0.90>0.75,则y与x有较强的线性相关关系 …4分 故可用线性回归模型拟合y与x的关系 5分 (2)解：设该产品为甲机器生产为事件A1,其产品合格率为P(B):该产品为乙机器 生产为事件A2,其产品合格率为P(B);该产品为丙机器生产为事件A3,其产品合 格率为P(B):任取一件产品合格为事件B …6分 由题意知P(A)=P(A)=P(A)=吉 …7分 又.纪念品合格与否相互独立 .P(BA)=P(B),P(B2A)=P(B2),P(B3A3）=P(B3)…8分 ∴.P(B)=P(B1A1)P(A1)+P(B2A2)P(A)+P(B3A3)P(A3)…10分 号×日+×分+是×号++是 = …12分 故任取一件纪念品其合格的概率为3…13分 4 ·第1页·（共5页） 16.（15分) (1)证明：当n=1时，b=a1十2十1=9…1分 bn=an+2m+1,.bn+1=an+1+2(n+1+1=an+1+2n+3…2分 又an+1=3am十4m,∴.bn+1=3am+4n+2m+3=3(an+2m+1)=3bn…4分 即=3，数列{b}是以9为首项，公比为3的等比数列…6分 b .bn=9X3m-1=3n+1…8分 (2)由(1)知am+2m十1=3+1，得an=3m+1-2n-1… …10分 ∴.Sn=a1+a2+a3十…+an =（32+33+34+…+3m+1)-(3+5+7+…+(2%+1)…11分 32(1-3”） n(3+2m+1) 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 1-3 2 …13分 =3+-2m2-4n-9 …15分 2 17.(15分) (1)方法1： 证明：连接OC,点O是BD的中点， 由题意知，AO⊥BD…1分 :AB·AD=0且AB=AD,:·AB⊥AD,则△ABD为等腰直角三角形 C AO=1… …2分 △BCD是边长为2的等边三角形，CO=√5…3分 .AO2+CO2=4=AC2,.∠AOC=90°，即AO⊥OC.…5分 又BD∩OC=O,.AO⊥平面BCD…6分 方法2：证明：连接OC,点O是BD的中点 由题意知，AO⊥BD,CO⊥BD,∴.∠AOC为二面角A-BD-C的平面角 :AB·AD=0且AB=AD,.AB⊥AD,则△ABD为等腰直角三角形， AO=1……2分 又：△BCD是边长为2的等边三角形，.CO=√ 又：AO2+CO=4=AC,.∠AOC=90°，即面ABD⊥面BCD …4分 又.面ABD∩面BCD=BD,AO⊥BD .AO⊥平面BCD… …6分 ·第2页·（共5页） (2)方法1： 解：取CD的中点为点E, 过点B作BF⊥平面MCD,垂足为点F, D 由题意知，BE⊥CD,BE=√3 …8分 又，BF⊥平面MCD,CDC平面MCD,∴.BF⊥CD …9分 又.BE∩BF=B,.CD⊥平面BFB,则FE⊥CD… …10分 故∠FEB为二面角M-CD-B的平面角，即∠FEB= 6 …11分 在直角三角形FEB中，sin∠FEB= 器分则= …12分 2 又.BF⊥平面MCD,.∠BCF为CB与平面MCD所成角.…I3分 3 则sin/BCF-BF 、=—= …14分 4 故直线CB与平面MCD所成角的正弦值为 …15分 4 方法2：由(1)知AO⊥平面BCD, .建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz, 则O(0,0,0),A0,0,1),B(1,0,0),C(0,√5,0)，D(-1,0,0)M …7分 设M(1,0,1-)(0<1<1) 取平面BCD的一法向量元=OA=(0,0,1)8 9分 设平面MCD的法向量n2=(x,y,z) -D=0,即1++1-=0，取二5，则z=1+刘 C. 元DC=0 x+√3y=0 y=1 1-入 √3(1+) 由题意得cos<,>= 21·n2 1-1 元元 /4 「√3(1+λ) 1-入 则v31+) 1-入 =±25，即1+分=2，解得1= 1- 3 或1=3（舍） =(-√5,1,2W/5)…13分 设直线CB与平面MCD所成角为0 .sin=cos<n,BC>= n2BC 2w3 z·BC 8 4 故直线CB与平面MCD所成角的正弦值为Y …15分 4 ·第3页·（共5页） 18.(17分) 解：12)-1=2×(e°广-1=+。+2-1 5 e+e2 2 =f(2x)…2分 2f(a)g(a)-2.ete-.e-e=e-e-2 2 2 2 =g(2x),即结论成立…4分 2)令e十e≤5，t=e>0,化简得：3t-10t+3≤0…6分 2 解得：行≤t≤3，即号≤e≤3 ……8分 又y=e单调递增，所以解得：-ln3≤x≤ln3, .不等式解集为：{x-ln3≤x≤ln3}… …10分 3原不等式等价于：，兰>e>0) 2 又e+e>0即证：>二8(>0 即E:>1-7>02 e2m+1 >1-(x>0)）(*）…12分 当r≥1时，27>0,1-0≤0，不等式成立；…13分 e2m+1 ②当0<D<1时，令(=2+0<<1， e2m+1 h'(x)=- 4e2x eo+1+1 (e2m-1)2 (e2+17 >0,则h(x)在0<x<1上单调递增 h(x)>h(0)=1…l6分 综上所述：当x>0时，xf(x)>g(x)…17分 19.(17分) [2c=2√5 c=√3 解：(1)由题意有： e=8=9,解得：a=2 2 …2分 a a2=c2+b2 b=1 E的方程为：军+y=1 …4分 (2)①由（①）知F(3,0),若日=否，则直线1方程为：y=5x-3 …5分 立层4-，消y:1-2w5-2=0 :F(√，0)在E内部，△>0恒成立.设M(,h),N(四，)， ·第4页·（共5页） 则 +2= 24w5 13 (西 …7分 13 则|MW=√1+(W31x1-l=√1+(3×Vx+x2)2-4c 1245)2 =2V13° …9分 ②∠MO6=∠6OM=∠AMOM=∠LOM,=∠MOM=g元 不妨设M1在第一象限，M1、M,、M、M、M逆时针排列，记∠MFx=0,则： 1M(QM.cos9,OMsin8),代入E方程得.OMcos0+OMsin6=1 4 化简得：0元二子十是0…2分 园毛可得：o=子+子mp+号小以t关推 1 1 1 1 TOMTIOM.F +TOMP+JOMF 1 IOMP n0+是+星sin0,++sin+号x 3 1 4 父土3n(日+号元++3 4sin20+ 3 sin20+sin2(0 号xj+simg+号)+sin+gx+sim6+ 2 5 元 5+ (sin9+sin(a+号x+sin(8+专x+sin(0-5r+sin0-号 4 454 36o20-a20-号-c0s29+习co2g 号元-os(2- 5π/ +(侵号(cos29+cos29+x+os20+g)+cs29-)+os(20-) 1 8 其中：cos20+cos20+吉x)+cos(20+gx)+cos20-号j+cos20-吉x -c2+co0)2co20c) -cos291+2(os告j+eos(grx》）-cos291+2os(号j+oas号》 号元+c0s号，B=c0s号元-c0专，则AB=c0s号 令A=co 9 π-cos4 2AB=2c082元 5π=cos 2 则A=号cos201+2cos(告xj+cos(号x刘》=0…15分 1 1 1 1 1 oMP+1OzF+O话+OZF+OM 综上： 1 1 1 1 1 =25 OMOMP OMOM 8 …17分 OMP ·第5页·（共5页）