26.4 第3课时 抛物线形问题 导学案 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学导学案聚焦“抛物线形问题”，核心是根据实际情境建立坐标系求二次函数解析式并解决问题。通过自主预习的预学思考补全建模步骤，结合自学检测的拱桥、投篮问题，衔接二次函数旧知，搭建从理论到应用的学习支架。 资料以真实情境（拱桥、球的运动）为载体，合作探究中题型精讲与课堂检测结合五育融合，发展数学建模与直观想象素养，培养用数学语言表达现实问题的应用意识，助力学生提升解决实际问题的能力。

26.4 第3课时 抛物线形问题 素养目标 1.能根据题意建立适当的平面直角坐标系,利用情境中的条件求二次函数解析式. 2.能利用二次函数的有关知识,解决抛物线形问题. 3.通过建立抛物线形问题的二次函数模型,发展数学建模与直观想象素养,提升运用函数知识解决拱桥、球的运动路线等问题的能力. 重点 根据实际情境建立适当的平面直角坐标系. 【自主预习】 预学思考 知识点 用二次函数解决抛物线形问题 　　阅读课本本课时的内容,补全下列新知要点: 建立二次函数模型解决抛物线形问题的一般步骤: 1.建立适当的 ,将抛物线形状的图形放到 中.  2.从已知条件和图象中获得求 所需要的条件.  3.利用待定系数法求出 .  4.运用已求出的 解决问题.  自学检测 1.如图所示的是抛物线形拱桥,当拱顶离水面2 m时,水面宽4 m.则水面上升1.5 m时,水面的宽度为 ( ) A.1 m　　　　B. m　　　　C.2 m　　　　D.2 m 2.一名篮球运动员在距篮筐中心水平距离4 m处起跳投篮,篮球沿抛物线运动.当球运动的水平距离为2.5 m时,达到最大高度3.5 m,随后准确落入篮筐.已知篮筐中心距地面3.05 m,在如图所示的平面直角坐标系中,下列说法正确的是 ( ) A.抛物线的解析式为y=-0.2x2+3.5 B.篮筐中心坐标是(4,3.05) C.抛物线顶点坐标是(3.5,0) D.篮球出手时离地面的高度是2 m 【合作探究】 题型精讲 题型1 拱桥问题 例1　如图,这是一座抛物线形拱桥,当水面宽度是4 m时,拱高为2 m.一艘木船宽2 m,要想顺利从桥下通过,船顶与桥拱之间的间隔不应少于0.3 m,那么木船的高不得超过多少? 题型2 球的运动路线问题 例2　如图,在一次高尔夫球的比赛中,某运动员在原点O处击球,目标是离击球点10 m远的球洞,球的飞行路线是一条抛物线,结果球的落地点距离球洞2 m(击球点、落地点、球洞三点共线),球在空中最高处达3.2 m. (1)求表示球飞行的高度y(单位:m)与表示球飞出的水平距离x(单位:m)之间的函数关系式. (2)当球的飞行高度不低于3 m时,求x的取值范围. 课堂检测 1.如图所示的抛物线形构件为某工业园区的新厂房骨架,为了牢固起见,构件需要每隔0.4 m加设一根不锈钢的支柱,构件的最高点距底部0.5 m,则该抛物线形构件所需不锈钢支柱的总长度为 ( ) A.2.2 m　　　　B.2 m C.1.6 m　　　　D.0.8 m 2.(五育融合·爱国教育)乒乓球作为中国的国球,早已成为体现中国体育精神的重要文化象征,而发球机也随之成为乒乓球爱好者最常用的训练辅助工具.球从发球机出口到第一次接触球台的运行轨迹近似为抛物线的一部分,在如图所示的平面直角坐标系中,乒乓球到球台的竖直高度y(单位:cm)与乒乓球运行的水平距离x(单位:cm)之间的函数关系式为y=-(x-80)2+144.某次训练,发球机从球台边缘O点正上方的A处发球,当乒乓球第一次接触球台时,球到起始点的水平距离是 cm.  参考答案 【自主预习】 预学思考 知识点 1.平面直角坐标系　坐标系 2.抛物线的解析式 3.抛物线的解析式 4.抛物线的解析式 自学检测 1.C　2.A 【合作探究】 题型精讲 题型1 例1 解:设水面宽度为AB,以水面所在的直线AB为x轴,AB的中点O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系. 则C(0,2),A(-2,0),B(2,0). 设抛物线的解析式为y=ax2+2.把B(2,0)代入上式, 得a=-, ∴y=-x2+2. 设木船可以从正中央通过,N点的坐标为(1,0), 点Q的坐标为(1,), 故PN=-0.3=1.2, 即该船要想顺利过桥,木船的高度不得超过1.2 m. 题型2 例2 解:(1)由题意可知,点(0,0),(8,0)在抛物线上, ∴设y与x之间的函数关系式为y=ax(x-8), 将(4,3.2)代入得3.2=a×4×(4-8), 解得a=-0.2, ∴y=-0.2x(x-8) =-0.2x2+1.6x, ∴y与x之间的函数关系式为y=-0.2x2+1.6x. (2)令y=3得3=-0.2x2+1.6x, ∴x2-8x+15=0, 解得x1=3,x2=5, ∴观察图象可知,当球的飞行高度不低于3 m时,3≤x≤5. 课堂检测 1.C　2.200 学科网（北京）股份有限公司 $