27.3 第2课时 建立函数模型解决实际问题 导学案 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学导学案聚焦“建立函数模型解决实际问题”，通过自主预习的“收集多组数据、画散点图、选函数类型”等步骤，结合自学检测中杠杆原理等跨学科题目，衔接一次函数、反比例函数等旧知，搭建从实际问题抽象函数模型的学习支架。 资料以项目式学习（如节能冰箱耗电量探究）和数据分析（课堂检测数据描点与函数确定）为亮点，引导学生用数学眼光观察实际问题，通过推理建立模型，培养模型意识与数据意识，提升运用数学语言解决实际问题的能力。

27.3 第2课时 建立函数模型解决实际问题 素养目标 1.能从实际问题情境中识别函数模型,判断变量间的关系. 2.能根据实际问题中的数量关系建立函数模型,并运用其解决简单实际问题. 3.通过从实际问题中抽象出函数模型并解决问题,发展数学建模、数据分析素养,体会数学与生活的联系,增强应用意识与创新意识. 重点 能从实际问题中抽象出函数模型,利用函数的性质与图象解决工程、几何、物理等实际问题. 【自主预习】 预学思考 知识点 建立函数模型解决实际问题 阅读课本本课时的内容,补全下列新知要点: 建立函数模型解决实际问题的步骤: 1.收集数据:收集实际问题中相关变量的 (填“一组”或“多组”)对应数据.  2.画散点图:建立平面直角坐标系,描出以各组数据为坐标的点,画出 图,观察点的分布特征.  3.选函数类型:根据散点图的分布形状(如呈双曲线的一支),选择合适的 (如反比例函数y=)进行近似描述.  4.建立模型:设出函数解析式,代入一组或多组数据计算并确定函数解析式,建立数学模型. 5.验证模型:将剩余数据代入解析式,或画出函数图象,检验模型与实际数据的吻合程度,验证模型的有效性. 6.利用模型:将实际问题中的已知量代入建立好的函数模型,求解 ,解决实际问题.  自学检测 1.(跨学科·数物融合)杠杆原理也称为“杠杆平衡条件”,要使杠杆平衡,作用在杠杆上的两个力矩(力与力臂的乘积)大小必须相等,即F1×L1=F2×L2.如图,铁架台左侧钩码的个数与位置都不变,在保证杠杆水平平衡的条件下,右侧力F与力臂L满足的函数关系是 ( ) A.正比例函数关系 B.一次函数关系 C.反比例函数关系 D.二次函数关系 2.下列函数关系中,可以看作是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的模型的是 ( ) A.圆的周长与圆的半径之间的关系 B.某地人口年自然增长率为1%,该地人口总数随年份的变化关系 C.在一定距离内汽车行驶速度与行驶时间的关系 D.正方体的表面积与棱长的关系 【合作探究】 题型精讲 题型 建立函数模型解决实际问题 例 　(新考法·项目式学习)【项目主题】探索某款节能冰箱的日耗电量. 【项目背景】节能冰箱通过变频技术或其他节能设计,实现电能高效利用.节能冰箱的耗电量与许多因素有关,包括类型、功率、使用频率和使用环境等. 【项目素材】 素材1 某款冰箱,耗电功率为0.16 kW.当温度下降到-20 ℃时,停止运行;温度上升到-5 ℃时,冰箱再次运行,如此循环反复.冰箱停止运行时,不耗电. 素材2 冰箱内部温度y(单位:℃)与时间x(单位:min)的函数图象如图所示: 当0≤x≤15时,y是x的一次函数;当15≤x≤t时,y是x的反比例函数. 素材3 冰箱每天耗电量(单位:kW·h)=耗电功率(单位:kW)×每天运行时间(单位:h). 【项目任务】 任务1:当15≤x≤t时,求y关于x的函数解析式及t的值. 任务2:该冰箱的广告中声称:每天(24 h)的耗电量不超过1 kW·h.忽略特殊情况的耗电量,请问该冰箱的广告是否符合实际? 课堂检测 某学校为了控制冬季传染病的传播,对各教室进行消毒.为了得到时间t(单位:min)与教室里空气中药物含量y(单位:mL/m3)之间的关系,测得以下数据: 时间t/min … 1 2 3 4 … 空气中药物含量y/(mL/m3) … 24 12 8 6 … (1)根据上表,请在以时间t为横坐标,空气中药物含量y为纵坐标建立的平面直角坐标系内描出上述各点,并用平滑曲线把这些点依次连接. (2)请根据平面直角坐标系内各点的变化趋势,确定y与t的函数模型及函数解析式. (3)根据药物性质可知,当教室里空气中药物含量小于3 mL/m3且大于 mL/m3时,消毒效果最好.最好的消毒效果时间能持续多久? 参考答案 【自主预习】 预学思考 知识点 多组　散点　函数类型　未知量 自学检测 1.C　2.D 【合作探究】 题型精讲 题型 例 解:任务1:当15≤x≤t时,设y=(k≠0), 将(15,-20)代入函数解析式可得-20=, 解得k=-300, ∴当15≤x≤t时,y关于x的函数解析式为y=-, 当y=-5时,-5=-, 解得x=60,即t=60. 任务2:由题意可得24××0.16=0.96(kW·h). ∵0.96<1, ∴该冰箱的广告符合实际. 课堂检测 解:(1)如图所示: (2)设y与t的函数解析式为y=,且过点(1,24), ∴k=1×24=24, ∴y与t的函数解析式为y=. (3)当y=3时,t=8, 当y=时,t=48, 48-8=40(min). 答:最好的消毒效果时间能持续40 min. 学科网（北京）股份有限公司 $