25.4数据的分组（教学课件）数学新教材人教版五四制八年级上册

该初中数学课件聚焦“数据的分组”，通过超市商品分类、宾馆楼层划分等生活实例导入，关联平均数、中位数等前期数据描述知识，以招聘成绩分组问题为载体，构建“实际需求→提出问题→确定原则→计算验证”的学习支架。 其亮点在于以生活实例培养数学眼光，通过应聘者成绩分组推导组内离差平方和最小原则渗透数学思维，结合城市气温、员工绩效等实例训练用数据语言表达现实问题。采用四步分组流程总结方法，助力学生提升数据分析能力，也为教师提供系统教学路径。

25.4 数据的分组 第二十五章 数据的分析 第二十五章 数据的分析 章节导读 平均数 中位数和众数 25.3数据的四分位数 25.1 数据的分析 25.2 数据的离散程度 25.4 数据的分组 1 2 3 理解数据分组的实际意义，掌握组内离差平方和最小的核心分组原则； 明确组内离差平方和、组间离差平方和的含义，理解两者的内在联系； 经历 “实际需求→提出分组问题→确定分组原则→计算离差平方和→选出最优分组→验证合理性”的统计流程，提升数据分析能力和科学分类能力. 导入新课 生活中处处有分类 今天我们就来学习一种科学、量化的数据分组方法——基于组内离差平方和最小原则的数据分组. ①超市商品按用途分类摆放 ②宾馆按星级分类 ③学生按兴趣分组活动 分类能让复杂问题变得清晰有序，提高解决问题的效率 探究一：分组原则的推导与理解 新知探究 探 究 某公司招聘员工，10名应聘者的笔试成绩（已按从小到大排序）为： 公司要从中选出一部分人进入面试，怎么分组更合理？ 方法1：选前三名（90,92,89）； 方法2：85分及以上（85,89,90,92）； 方法3：按人数平均分（前5名和后5名） 这些方法有什么缺点？ ②方法3没有考虑数据自身的分布特点，不够科学. ①方法1和2会导致相近分数被分到不同组 新知探究 10个笔试成绩按顺序排列形成9个间隔，如图所示： 怎么刻画组内笔试成绩差异的大小呢？哪种分法能使笔试成绩好和差两组的组内差异最小？ 离差平方和 离差平方和越小，数据越集中，差异越小. 组内离差平方和： 新知探究 是第一组的离差平方和： 是第二组的离差平方和： 如果将数据分成两组，第一组有个数据，第二组有个数据 可以分别计算两组的离差平方和，然后将它们相加，得到组内离差平方和： 其中 新知探究 由于总离差平方和是固定的，因此组内离差平方和最小等价于组间离差平方和最大. 总离差平方和 其中 是组间离差平方和 如果将组内离差平方和记为，则总离差平方和如下： 因此既可以按最小来分组， 也可以按最大来分组. 新知探究 9 种分组方法对应的组内离差平方和如下： 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 第 1 个间隔 第 2 个间隔 第 3 个间隔 第 4 个间隔 第 5 个间隔 第 6 个间隔 第 7 个间隔 第 8 个间隔 第 9 个间隔 由最后一列组内离差平方和可知，按第5个间隔分组，组内离差平方和最小. 故按组内离差平方和最小的分法为 和, 85, 89, 90, 新知总结 数据的分组 分组意义：让复杂数据有序化，组内差异小，组间差异大 分组原则 ： ①组内离差平方和最小（主要） ②组间离差平方和最大（等价） 典例分析 城市 北京 石家庄 呼和浩特 哈尔滨 上海 广州 海口 成都 贵阳 昆明 平均高温 /℃ 例 10 个城市某月的每日最高温度的平均数（简称平均高温）如表所示. 根据平均高温的组内离差平方和最小的原则，把这 10 个城市分为两组。 【分析】先对甲、乙两地气温数据排序，计算四分位数，绘制箱线图，再通过箱线图的分布对比两地气温的集中趋势与波动差异. 将它们分成两组共有 9 种情况，利用计算器或信息技术工具，分别计算组内离差平方和（结果保留小数点后一位），如表所示. 解：将表中的数据按从小到大排列，可得 典例分析 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 第 1 个间隔 第 2 个间隔 第 3 个间隔 第 4 个间隔 第 5 个间隔 第 6 个间隔 第 7 个间隔 第 8 个间隔 第 9 个间隔 当按第4个间隔分组时，组内离差平方和最小. 因此，按组内离差平方和最小的分法为 北京，石家庄，呼和浩特，哈尔滨 和上海，广州，海口，成都，贵阳，昆明 新知探究 结合以上分组过程，你能总结给数据分组的步骤吗？ 数据分组四步流程： ① 排序：将数据从小到大（或从大到小）排列； ② 找间隔：n个数据有n-1个分组间隔，列出所有可能的分组方法； ③ 算平方和：计算每个间隔对应的组内离差平方和； ④ 定分组：选择组内离差平方和最小的间隔作为分组点，确定最终分组. 即时训练 1.如果组内离差平方和很大，说明（    ） A．组间差异大 B．组内差异大 C．总差异小 D．均值相等 【分析】组内离差平方和是衡量组内数据与组均值偏离程度的指标，值越大表示组内数据越分散． ∴当组内离差平方和很大时，说明组内数据波动大，即组内差异大． 故选：B． 【详解】解： ∵组内离差平方和表示组内各数据与组均值的偏差平方和， B 即时训练 2.某公司5名员工的季度绩效分数为75，80，85，90，95．人力资源部门想将员工分为“普通组”和“优秀组”，要求组内绩效同质性高（组内离差平方和最小），如何分组？计算最小离差平方和． 【分析】先列出所有可能的分组方式，分别计算每组的组内离差平方和，再比较总和，找到使组内离差平方和最小的分组方案. 【详解】将数据75，80，85，90，95分成两组，共有4种情况， ①，；②，；③，； ④，； 分别计算组内离差平方和，如下表所示： 即时训练 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 ① ② ③ ④ 由表可知，当75，80一组 85，90，95一组或75，80，85一组 90，95一组时，组内离差平方和最小，最小值为62.5． 巩固练习 1.某公司5名员工的季度绩效分数为75，80，85，90，95．人力资源部门想将员工分为“普通组”和“优秀组”，要求组内绩效同质性高（组内离差平方和最小），如何分组？请通过计算说明． 【分析】对有序绩效分数，枚举所有相邻划分方案，计算每组离差平方和，找出使总离差平方和最小的分组. 【详解】解：第一组为，均值为，离差平方和为； 第二组为，均值为，离差平方和为； 总离差平方和为． 将数据，，，，分成两组，共有种情况，分别计算组内离差平方和，如表所示： 巩固练习 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 { 75 }  与 { 80 ， 85 ， 90 ， 95 } 0 125 125 { 75 ， 80 }  与 {  85，90 ， 95 } 12.5 50 62.5 { 75 ， 80 ，85 }  与 {90， 95 } 50 12.5 62.5 { 75 ， 80，85 ， 90 }  与 { 95 } 125 0 125 由表可以发现，当按第个间隔或第个间隔分组时 组内离差平方和最小，分组方法为： 普通组为，优秀组为； 或普通组为，优秀组为． 巩固练习 2.某农场种植6块试验田，亩产量（单位：）为300，320，350，400，450，500．若将试验田分为两组，使组内离差平方和最小，如何分组？请通过计算说明（除不尽的结果保留小数点后两位）． 【分析】对有序亩产量数据，枚举所有相邻划分方案，计算每组离差平方和，找出使总离差平方和最小的分组. 【详解】将数据从小到大排序：，，，，， 为使组内离差平方和最小，可将已排序的数据按相邻位置分割 有如下种情况，分别计算组内离差平方和，如表所示： 巩固练习 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 第1个间隔 第2个间隔 第3个间隔 第4个间隔 第5个间隔 由表可知，当按第个间隔分组时，组内离差平方和最小 即分组方法为和 巩固练习 3.某农场种植6块试验田，亩产量（单位：kg）如下：300，320，350，400，450，500．若将试验田分为两组，使组内离差平方和最小，如何分组？请说明分组意义． 【分析】对有序亩产量数据，枚举所有相邻划分方案，计算每组离差平方和，找出使总离差平方和最小的分组，并说明其代表的 “低产 / 高产” 含义. 【详解】解：将数据分成两组 共有种情况，分别计算组内离差平方和（精确到） 如下表所示： 巩固练习 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 由表可知，要使组内离差平方和最小，应一组，一组． 分组后组内产量波动小，便于分析不同种植方案的效果 一起来看看这节课我们学到了些什么？ 点击图标，进入本节课的课堂总结 要点回顾 课堂总结 感 谢 聆 听！ 数据的分组 核心原则小结 知识点回顾 易错点警示 解题技巧 知识点回顾 1. 分组的核心原则 数据分组的本质是使“同类相聚”，其核心数学原则是使组内离差平方和最小。 SSE = Σ(xᵢ - x̄)² 其中 xᵢ 是组内数据，x̄ 是该组的平均数。 2. 分组的意义 组内：差异越小越好，体现数据的凝聚性。 组间：差异越大越好，体现数据的区分度。 易错点警示 ⚠️ 盲目增加组数 组数过多虽然能减小组内离差，但会使分布过于零散，失去统计意义。应在简化数据与保留特征之间寻找平衡。 ⚠️ 忽略“左闭右开”原则 在划分区间时，若不统一边界归属（如 a ≤ x < b），会导致边界处的数据被重复统计或遗漏。 ⚠️ 均值替代的误差 分组后常用组中值代替组内数据，若分组不合理（组内离差大），这种替代产生的代表性误差就会显著增加。 解题技巧 🔍 观察法初步聚类 在手动分组前，先观察数据的分布趋势。若数据呈现明显的“簇状”分布，应尽量将同一个簇的数据划入同一组，以降低 SSE。 📐 数形结合：直方图分析 通过频数分布直方图观察“峰值”。一个理想的分组应使直方图能清晰反映数据的集中趋势和离散程度。 💡 极差与组距的联动 若极差较大且数据分布均匀，可适当增大组距；若数据在局部非常密集，则应在密集区采用较小的组距（非等距分组思想）。 $