25.3数据的四分位数（教学课件）数学新教材人教版五四制八年级上册

该初中数学课件聚焦数据的四分位数，系统讲解百分位数、四分位数（Q1、Q2、Q3）定义及计算，四分位距含义，箱线图绘制与解读。导入通过回顾平均数反映集中趋势、方差反映离散程度的局限，提出“数据具体分布范围”问题，搭建从已有统计量到四分位数的学习支架。 其亮点是以理财团队收益率、气温比较等真实案例为载体，引导学生经历“发现局限-引入概念-计算分析-绘制图表-决策应用”的统计过程，发展数据观念与推理意识。采用案例探究与即时训练结合，帮助学生提升数据分析能力，教师可直接利用系统的探究活动与习题设计优化教学。

25.3 数据的四分位数 第二十五章 数据的分析 第二十五章 数据的分析 章节导读 平均数 中位数和众数 25.3数据的四分位数 25.1 数据的分析 25.2 数据的离散程度 25.4 数据的分组 1 2 3 理解百分位数、四分位数的定义，明确第一四分位数、第二四分位数、第三四分位数的统计意义； 理解四分位距的含义，掌握箱线图的绘制方法； 经历 发现平均数与方差的局限→引入四分位数→计算四分位数→绘制箱线图→解读分布特征→作出科学决策的完整统计过程，提升数据分析能力和逻辑推理能力. 导入新课 前面我们学习了平均数和方差，它们分别刻画了数据的什么特征？ 平均数集中趋势；方差离散程度. 今天我们就来学习一种能全面刻画数据分布情况的统计量 ——四分位数，以及能直观展示数据分布的统计图 ——箱线图. 如果我们想知道“某类数据大部分在什么范围”、“哪些范围比较集中”等问题，平均数和方差能回答吗？ ①平均数只能反映平均水平 ②方差只能反映整体波动，无法反映数据的具体分布情况 探究一：四分位数的定义与计算 新知探究 探究 某银行 A、B 两个理财团队，近三年各负责 12 项理财产品，收益率（单位：%）如下： 提问：如果你是投资者，会选择哪个团队的产品？ 计算，； ，． 激进型选 A（方差大，有高收益可能） 因此稳健型选 B（方差小，稳定） 百分位数:将一组数据按从小到大排列，中位数把数据分成 2 等份. 新知探究 探究 如果投资者还想进一步了解两个团队理财产品收益率的具体情况，例如收益率大部分在什么范围，哪些范围比较集中等信息，那么产品收益率的平均数和方差能反映出这些信息吗？ 平均数和方差显然是不能解决以上问题的，因此我们引入以下下的统计量： 如果把数据分成 100 等份，每一分数点就是百分位数. 四分位数：我们常用三个特殊的百分位数——25% 分位数、50% 分位数（中位数）、75% 分位数 它们把数据分成四等份，称为四分位数. 特殊的百分位数： 新知探究 第一四分位数（下四分位数）：（25% 分位数） 第二四分位数（中位数）：（50% 分位数） 第三四分位数（上四分位数）：（75% 分位数） 新知探究 将团队A的收益数据从小到大排序 第一四分位数 第二四分位数 第三四分位数 从团队 A 的三个四分位数中，能得到哪些信息？ ①小于 3.195% 的产品占 25%； ② 小于 3.915% 的产品占 50%； ③ 大于 4.44% 的产品占 25%； ④中间 50% 的产品收益率在 3.195%~4.44% 之间。 新知探究 同理，将将团队B的收益数据从小到大排序，用能得到什么信息？ 第一四分位数 第二四分位数 第三四分位数 由团队 B 产品收益率的三个四分位数可以知道 ①小于3.635% 的项目数占总数的 25% ②小于 3.89% 的项目数占总数的一半 ③大于 4.125% 的项目数占总数的 25% ④在 3.635% 至 4.125% 之间的项目数占总数的 50% 新知总结 数据的四分位数 数据的四分位数的概念 ①百分位数：将数据分成100等份 ②四分位数：Q1(25%)、Q2(50%，中位数)、Q3(75%) 计算步骤： （1）排序 （2）找中位数 （3）找左右中位数 新知探究 探究二：箱线图的绘制与解读 新知探究 为了更直观地展示数据的分布特征，我们可以用五个数值 —— 最小值、、、、最大值，绘制箱线图（盒须图）. 以团队 A 为例： 1.画数轴：标注数据范围 2.画箱体：左端对齐 ，右端对齐 ，箱体中间画竖线对齐 3.画须线：从箱体左端向左画线段到最小值 2.02，从箱体右端向右画线段到最大值 6.44. 新知探究 整个箱体的长度为第三四分位数减去第一四分位数的差，称为四分位距. 类似地，可以画出团队Ｂ产品收益率的箱线图，如图所示． 新知总结 用样本估计总体 箱线图的构成：最小值、Q1、Q2、Q3、最大值 绘制：数轴→箱体→须线 解读：范围、中位数、集中程度、对称性 应用：比较数据分布，辅助决策 典例分析 时刻 甲 /℃ 乙 /℃ 例 根据下表中的数据，分别计算甲、乙两地气温的四分位数，在同一幅图中画出箱线图，据此比较甲、乙两地的气温特点. 【分析】先对甲、乙两地气温数据排序，计算四分位数，绘制箱线图，再通过箱线图的分布对比两地气温的集中趋势与波动差异. 解：将表中两地的气温（单位：℃）分别按从小到大的顺序排列，可得 甲地 乙地 典例分析 甲、乙两地气温各有13个数据. 甲地气温的最小值为9，最大值为24，三个四分位数分别为 乙地气温的最小值为11，最大值为21，三个四分位数分别为 在同一幅图中画出两地气温的箱线图， 如图所示. 可以看出，甲、乙两地气温的中位数相同， 但甲地气温的波动明显比乙地的大，甲地约有 25%时刻的气温高于乙地的最高温度，约有 25%时刻的气温低于乙地的最低温度. 即时训练 1.祖冲之把圆周率精确到小数点后7位，领先世界约1000年.数学活动课上，小红对圆周率的小数点后100位数字进行了统计： 数字 频数 则圆周率的小数点后100位数字的上四分位数、下四分位数为（    ） A．8，2 B．2，8 C．12，12 D．12，8 【分析】先根据四分位数的定义计算出对应位置，再通过累计频数确定对应位置的数字，注意题目中“上四分位数、下四分位数”的顺序． 即时训练 【详解】解：将100个数字按从小到大排列， 数字0出现8次；数字1出现8次；数字2出现12次；数字3出现11次；数字4出现10次；数字5出现8次；数字6出现9次；数字7出现8次；数字8出现12次；数字9出现14次，总共有100个数据 第25、26个数都是2， ∴下四分位数是， 第75、76个数都是8， ∴上四分位数是， 故选：A． 即时训练 2.一组数据（都是整数）：5，5，7，8，9，7，11，13，10，6，，．这组数据的箱线图如图所示．若数据中，则的值为多少？ 【分析】本题主要考查了箱线图，上四分位数，中位数．由箱线图可知：最小值是5，最大值是13，中位数是，下四分位数是，上四分位数是10，一共是12个数，即可求解． 【详解】解：由箱线图可知：最小值是5，最大值是13，中位数是，下四分位数是，上四分位数是10，一共是12个数， 即时训练 所以第6和第7个数分别是7和8，第3和第4个数分别是6和7，第9和第10个数都是10， 所以这组数据从小到大排列为： 5，5，6，7，7，，8，9，10， ，11，13． 所以的值为7. 巩固练习 1.现有一组数据：2，5，3，1，5，，若该组数据的中位数是，则该组数据的下四分位数是多少？ 【分析】首先根据中位数为求出x的值，数据排序后中位数为第三和第四位的平均值，令其等于，解得. 【详解】解：将已知的五个数据从小到大排列为1，2，3，5，5， ∵该组数据（共6个）的中位数为， ∴排序后第3个和第4个数据的平均数为， ∴x必为第4个数据，则有 ， ∴这组数据排序为1，2，3，4，5，5． ∵下四分位数为下半部分数据的中位数，下半部分为1，2，3， ∴下四分位数为2． 巩固练习 2.班主任为了解本班学生每周用于课外阅读的时间，随机调查了名本班学生每周用于课外阅读的时间（单位：），数据如下：，则这组数据的下四分位数是多少？ 【分析】本题考查了下四分位数，先将数据从小到大排序，求出中位数，进而确定下半部分数据，再求出下半部分数据的中位数即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：数据排序后为： 巩固练习 ∵数据个数为偶数， ∴中位数为第和第个数据的平均值，即， ∴下半部分数据为：， ∵下半部分数据个数为， ∴中位数为第和第个数据的平均值，即， ∴下四分位数为 巩固练习 3.如图是小强某次练习射击成绩的箱线图（单位：环），则这组数据的下四分位数是（    ） A．8.5环 B．7环 C．6环 D．5环 【分析】本题考查了箱线图的知识，理解箱线图的数据是关键，根据箱线图即可得到下四分位数是6，由此即可求解． 【详解】解：根据图示得到，这组数据的下四分位数是6环. 故选：C ． C 巩固练习 4.甲、乙两组的测试成绩如下： 甲：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98； 乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95． (1)求甲组数据的四分位数； (2)根据四分位数可绘制如图的箱线图，观察图中乙组的箱线图，绘制甲组的箱线图； (3)根据箱线图和对四分位数的理解，哪组成绩波动大． 【分析】先将甲组数据从小到大排序，再计算出四分位数即可；根据甲组的四分位数绘制箱线图即可；最后根据箱线图和四分位数比较两组数据即可． 巩固练习 【详解】（1）将甲组的成绩从小到大排列为60，70，70，80，89，91，92，96，98，100， 则； （2）如答图所示： （3）根据箱线图和四分位数可知甲组成绩的中位数和乙组相同，甲组成绩明显比乙组的波动大． 一起来看看这节课我们学到了些什么？ 点击图标，进入本节课的课堂总结 要点回顾 课堂总结 感 谢 聆 听！ 百分位数与箱线图 课堂小结 · 人教版八下 知识点回顾 易错点警示 解题技巧 知识点回顾 1. 百分位数的计算 将 n 个数据按从小到大排序，计算 i = n × p%： 若 i 不是整数，则第 p 百分位数为第 [i]+1 项数据。 若 i 是整数，则第 p 百分位数为第 i 项与第 i+1 项数据的平均数。 2. 箱线图的五个关键值 箱线图由一组数据的五个特征数绘制而成： 最小值 Q₁ Q₂ Q₃ 最大值 Q₁：第 25 百分位数（下四分位数）。 Q₂：第 50 百分位数（中位数）。 Q₃：第 75 百分位数（上四分位数）。 易错点警示 ⚠️ 忽略排序步骤 无论是计算百分位数还是找箱线图的关键值，首要任务必须是从小到大排序。 ⚠️ 四分位数的计算误区 计算 Q₁ 和 Q₃ 时，必须严格执行百分位数的计算规则（看 n × 25% 和 n × 75% 是否为整数），不能简单地在两半数据中找中位数。 ⚠️ 箱线图的“胖瘦”误读 箱体的长度反映的是数据的离散程度（四分位极差），而不是数据的多少。箱体越长，说明中间 50% 的数据越分散。 解题技巧 🔍 快速定位法 计算出指数 i 后，养成习惯： • i = 整数 → 第 i 项 + 第 i+1 项2 • i ≠ 整数 → 进一取整 📐 箱线图对比分析 对比两组数据时，主要看： 1. 位置：中位数线越高，整体水平越高。 2. 跨度：箱体和胡须的总长度越短，数据越稳定。 💡 实际应用建模 在实际问题中，若要选拔“表现最稳定”的选手，应优先选择箱线图箱体较窄且位置较高的选手。 $