4.1.2 平面的基本性质（一）（教案）-高教版第三版《数学 拓展模块一（上册）》【上好课】

该教案聚焦立体几何中“平面的基本性质（一）”，涵盖不共线三点确定平面的公理、直线在平面内的判定及三个推论。通过指尖支撑硬纸板实验导入，从直观操作到反例辨析，再到规范表达，承接点线面表示与画法，为后续空间位置关系学习搭建支架。 此资料以实验观察和问题探究为特色，通过正方体例题、平行四边形共面说明及三脚架等生活实例，发展学生直观想象与逻辑推理素养，规范数学表达。科学的教学环节设计帮助学生形成推理习惯，也为教师提供清晰教学路径和易错点指导。

高教版第三版《数学》拓展模块一（上册） 第4章 立体几何 4.1 平面——4.1.2 平面的基本性质（一） 授课班级 授课类型 新授课 授课教师 教学时长 1课时（45分钟） 教材分析 教材从三个不共线指尖支撑硬纸板的操作情境出发，引出不共线三点确定一个平面；接着辨析一个点、两个点和共线三点不能唯一确定平面，再结合直线在平面内的表示，归纳直线上两点与整条直线的关系，最后依次形成直线和直线外一点、两条相交直线、两条平行直线确定平面的三个推论，知识展开由直观经验走向规范表达。 本课承接点、直线、平面的表示与基本画法，重点理解“有且只有一个”所包含的存在性和唯一性，并能依据公理与推论判断平面是否唯一、说明简单图形共面，为后续研究空间中直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系奠定推理基础。 学情分析 学生已经会用字母表示点、直线和平面，也能识别两直线平行或相交，但对空间图形中的“存在”与“唯一”容易混为一谈，常把任意三点误判为能确定一个平面，或只凭图形直观作出共面结论。教学中需通过支撑实验、反例辨析和条件对照，把生活经验转化为可引用的数学依据，并训练规范的符号与文字表达。 教学目标 1．理解不共线三点确定一个平面以及直线上两点在平面内时整条直线在平面内，准确把握“有且只有一个”的含义。 2．掌握直线和直线外一点、两条相交直线、两条平行直线确定平面的三个推论，能判断给定条件是否唯一确定平面。 3．能结合正方体、平行四边形和生活实例进行简单的共面说明，发展直观想象、逻辑推理和数学表达素养。 教学重难点 教学重点：理解公理1、直线上两点与整条直线的关系及三个确定平面的推论，能根据条件确定平面。 教学难点：辨析“有且只有一个”中的存在性与唯一性，选择恰当依据说明点、线共面。 教学方法 实验观察法、问题探究法、对比归纳法、讲练结合法。 课前准备 教师准备：教材、演示课件。 学生准备：教材、笔记本。 教学环节设计 教学环节 教学内容 设计意图 教学导入 教师展示教材图4-8，组织学生分别尝试用一个指尖、两个指尖、三个指尖顶起一块硬纸板，观察哪种方式更平稳，并追问：三个指尖满足什么位置关系时，硬纸板的位置能够稳定下来？ 【答案】三个指尖不在同一条直线上时，能将硬纸板平稳地顶起来。 【解析】三个不共线的支点能够稳定确定硬纸板所在的位置，由此可把操作经验抽象为不共线三点与一个平面的关系。 通过可操作的教材情境激活空间经验，使学生产生研究三点怎样确定平面的需要。 新知讲授 一、不共线三点确定一个平面 公理1 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。 这个公理也可以说成“不共线的三点确定一个平面”。 教师结合图4-9说明：“有”表示存在性，“只有一个”表示唯一性；平面可用不共线三点命名。 容易看出，经过一个点、两个点或共线的三个点有无数个平面，也可以说成“一个点、两个点或共线的三个点不能确定一个平面”。 【即时练习1】判断：经过三个点有且只有一个平面。 【答案】错误。 【解析】还必须说明三个点不共线；三个点共线时，经过它们的平面有无数个。 二、直线在平面内 公理2 如果一条直线上有两个点在一个平面内，那么这条直线上所有点都在这个平面内。 当一条直线上的所有点都在平面内时，称直线在平面内，或者说平面经过直线。直线在平面内可表示为（或）。 观察图4-11。若直线上的两点、都在平面内，则直线在平面内。 符号表示为：若，则。 【即时练习2】一条直线与一个平面有两个不同的公共点，能否判定这条直线在该平面内？ 【答案】能。 【解析】两个不同的公共点确定了这条直线；直线上两点在平面内，因此整条直线在平面内。 三、确定平面的三个推论 推论1 经过一条直线和该直线外一点有且只有一个平面。 推论2 经过两条相交直线有且只有一个平面。 推论3 经过两条平行直线有且只有一个平面。 教师引导学生比较四组条件：不共线三点；一条直线和直线外一点；两条相交直线；两条平行直线。共同点是条件中都能找到三个不共线的点。 【即时练习3】判断：同时经过两条平行直线的平面不止一个。 【答案】错误。 【解析】经过两条平行直线有且只有一个平面，两条平行直线能够唯一确定一个平面。 依次形成公理、直线在平面内的判定和三个推论，并用反例与条件对照突出唯一性。 课堂背诵 一、公理复述 合上教材完成：经过____的三点，有且只有一个平面；若一条直线上的____在一个平面内，则这条直线在该平面内。 【答案】不在同一条直线上；两个不同点。 【解析】第一处强调三点不共线，第二处强调直线上两个不同点，这些都是结论成立的关键条件。 二、推论复述 说出能够确定一个平面的三组直线条件，并指出每组条件中隐含的三个不共线点。 【答案】一条直线和直线外一点；两条相交直线；两条平行直线。 【解析】直线外一点与直线上两点不共线；相交直线可取交点及两条直线上的另两个点；平行直线可从一条直线取两点、另一条直线取一点。 通过挖空和口头复述检查关键条件是否完整，强化公理与三个推论的准确提取。 师生互动 例4 在正方体中按条件找平面 在正方体中，找出符合下列条件的平面：（1）经过、、；（2）经过直线和点；（3）经过直线和；（4）经过直线和。 【答案】（1）平面；（2）平面；（3）平面；（4）平面。 【解析】依次使用不共线三点、直线和直线外一点、两条相交直线、两条平行直线确定平面的条件。命名平面时选择该平面内三个不共线点，也可按图形写出四个共面顶点。 通过正方体中的四类条件识别和同伴说明理由，把确定平面的结论转化为可操作的判断依据。 课堂练习 1．判断：经过直线和直线外一点有且只有一个平面。 【答案】正确。 【解析】这正是确定平面的推论1，直线外一点是不可缺少的条件。 2．判断：两条相交直线可以确定一个平面；同时经过两条平行直线的平面不止一个。 【答案】前一句正确，后一句错误。 【解析】两条相交直线和两条平行直线都各自唯一确定一个平面。 3． 根据平面的基本性质和推论，说明平行四边形的四条边在同一个平面内。 【答案】平行四边形的四条边共面。 【解析】因为，所以直线、确定一个平面。点、在平面内，因此；同理，故四条边共面。 4．生活中的三脚架为什么通常用三个不在同一直线上的支点？混凝土刮平尺为什么可以用来检查地面是否平整？ 【答案】三个不共线支点能确定一个平面；刮平尺是一条直线，它与地面贴合时可检验直线上的点是否都在地面所在平面内。 【解析】三脚架应用不共线三点确定一个平面；刮平尺应用直线上两点在平面内则整条直线在平面内，若仍有缝隙就说明地面不平。 用判断、共面说明和生活应用三个层次检测学生能否识别条件并规范引用结论。 课堂小结 学生回答：本课有哪些确定一个平面的条件？使用这些结论时最容易遗漏什么？说明点线共面的一般思路是什么？ 【答案】不共线三点、一条直线和直线外一点、两条相交直线、两条平行直线都能确定一个平面；容易遗漏“不共线”“直线外”“有且只有一个”等条件；说明共面时先由已知条件确定一个平面，再说明其余点或直线在该平面内。 【解析】四类条件都可以回到不共线三点；直线上两点在平面内时整条直线在平面内，是把点的归属转化为直线共面的关键依据。 以条件清单、易错点和证明路径串联全课，帮助学生形成确定平面与说明共面的知识结构。 作业布置 1．复习本节课的知识点； 2．完成课后练习； 3．整理笔记和易错题。 教学反思 课堂实施中可进一步优化操作实验与规范结论之间的衔接，避免学生只记住“三点支撑”而忽略“不共线”和“有且只有一个”。讲授三个推论时应增加条件对照，让学生主动指出直线外、相交、平行等关键词，并用不共线三点解释其依据。正方体例题可先让学生独立圈出已知元素，再交流平面命名方法；课堂反馈重点收集把共线三点、任意两直线误判为能唯一确定平面的错误，据此调整反例数量和板书层次，使学生逐步形成先确定平面、再说明其余点线归属的推理习惯。 学科网（北京）股份有限公司 $