4.1.1 平面的特征、画法与表示（课件）-高教版第三版《数学 拓展模块一（上册）》【上好课】

该中职数学课件聚焦立体几何中平面的特征、画法与表示，通过平静湖面、桌面等实际表面抽象出“平”和“无限延展”的核心特征，搭建从二维平面到三维空间过渡的学习支架。 其亮点是采用“文字—符号—图形”三向互译教学法，如例1中“点A在直线l上且在平面α内”的符号表示与作图步骤，培养数学语言表达能力。结合数学眼光（从实际抽象）和数学思维（如“平面面积”判断纠错），助力学生提升直观想象与逻辑推理素养，教师可通过丰富练习与互动设计优化教学效果。

高教版第三版《数学》 拓展模块一（上册） 第4章 立体几何 4.1.1 平面的特征、 画法与表示 学习目标 1．理解平面具有平和向各个方向无限延展的特征，掌握平面的常用画法、字母表示以及点与直线、平面的属于或不属于关系。 2．能根据文字条件正确使用符号表示点、直线和平面的位置关系，并能画出满足条件的空间图形。 3．通过从实际表面抽象平面、观察章首材料和进行文字—符号—图形互译，提升数学抽象与直观想象素养。 章导语：从二维平面到三维空间 《几何原本》传入中国，“几何”这一名词由此得来。立体几何是从二维平面到三维空间的拓展和延伸。 本章将研究空间中点、直线、平面的位置关系，以及直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行或垂直。 在观察、实验、分析、推理和计算中提升直观想象与逻辑推理素养。 哪些实际表面可以用“平面”描述？ 平静的湖面、海面、课桌桌面和书本封面都可以用“平面”来描述，它们有哪些共同特征？ 答案：这些表面都给人“平”的感受；从数学角度抽象时，还要设想它们可以向各个方向不断延展。 解析：实际物体的表面有边界，数学中的平面是对这些表面的共同特征进行抽象后得到的理想对象。教师由此引出本课。 实际表面 → 抽象共同特征 → 数学中的平面 平面的特征 这些面都是平的，可以向各个方向无限延展。数学中的平面具有平和无限延展的特征。 黑板、桌面或湖面只是平面的一部分；平面本身没有边界，也没有大小之分。 α 怎样画出无限延展的平面？ 怎样画出具有无限延展性的平面呢？ 类似于用直线的一部分表示整条直线，我们用平面的一部分表示平面。 通常用平行四边形、三角形、圆等平面图形来表示平面。 即时练习：平面有没有面积？ 判断：一块长3 m、宽1.5 m的黑板所在平面的面积是4.5 m²。 答案：错误。 解析：黑板表面有确定的长和宽，只是平面的一部分；数学中的平面向各个方向无限延展，不能用黑板面积作为平面的面积。 即时练习：哪些表面是平的？ 下列对象中，哪些可以看作平面的一部分：平静的水面、玻璃球表面、平整的墙面？ 平静的水面 玻璃球表面 平整的墙面 答案：平静的水面和平整的墙面可以看作平面的一部分；玻璃球表面不可以。 解析：判断时抓住“平”这一特征；玻璃球表面是曲面。 判断依据：抓住“平”这一特征。 点、直线和平面怎样命名？ 几何对象 常用字母 表示示例 点 大写英文字母A、B、… 点A、点B 直线 小写英文字母l、m、…；或直线上两点 直线l、直线AB 平面 小写希腊字母α、β、γ、…；或多边形顶点 平面α、平面ABC、平面AC 图4-3：平面的两类表示 三角形ABC所在的平面可表示为平面ABC。 平行四边形ABCD所在的平面可表示为平面ABCD或平面AC。 即时练习：平行四边形所在平面 1．平行四边形EFGH所在的平面，除表示为平面EFGH外，还可以怎样表示？ 答案：可以表示为平面EG或平面FH。 解析：表示平行四边形所在平面时，可以选用其中一组对角顶点的字母。 2．判断：平面α和平面ABCD的名称不同，所以它们一定是不同的平面。 答案：错误。 解析：同一个平面可以采用不同方式命名，是否为同一平面要依据图形及点的位置关系判断。 点与直线、平面的位置关系 点与直线、点与平面之间使用“属于”或“不属于”。 文字关系 符号表示 文字关系 点P在直线l上 点P不在直线l上 点P在平面α内 点P不在平面α内 　　 即时练习：把文字翻译为符号 用符号表示：点D在平面γ内，但不在直线n上。 答案：，。 解析：“在平面内”用属于符号，“不在直线上”用不属于符号。 教材例1：从文字条件到符号 教材例1 用符号语言表示以下点与直线、平面的位置关系，并画出满足条件的一个图形。 （1）点A在直线l上，且在平面α内； （2）点C不在平面β内，直线m经过点C且与平面β有一个公共点B。 答案：（1）且；（2），，，。 解析：先把文字条件逐项翻译为符号。 教材例1（1）：在平面内经过一点作直线 （1）点A在直线l上，且在平面α内； 答案：且。 解析：先画平面α，将点A画在平面内，再在平面α内经过点A画直线l。 ①画平面α ②在平面内画点A ③经过A画直线l 教材例1（2）：直线与平面相交 （2）点C不在平面β内，直线m经过点C且与平面β有一个公共点B。 答案：，，，。 解析：先画平面β，把C画在平面外、B画在平面内，连接C、B并向两个方向延长为直线m。 直线被平面遮挡的部分画成虚线或不画。 知识检测：特征、名称与符号 平面具有哪些特征？表示平行四边形所在平面时可采用哪两类名称？点与平面的位置关系使用哪一组符号？ 答案：平面具有平和向各个方向无限延展的特征；可以用四个顶点字母或一组对角顶点字母表示；点与平面的位置关系使用和。 解析：依次对应平面的特征、平面的命名规则和点与平面的符号关系。 课堂背诵（一） 1．数学中的平面具有____和____的特征。 答案：平；向各个方向无限延展。 解析：实际表面只能看作平面的一部分，数学中的平面没有边界。 2．平面可以用小写____字母表示，也可以用____的顶点字母表示。 α 答案：希腊；多边形。 解析：常用α、β、γ等表示平面，也可用平面图形的顶点字母表示。 课堂背诵（二） 3．点P在平面α内和点P不在平面α内，分别怎样用符号表示？ 答案：；。 解析：点与平面之间采用属于或不属于的符号表达。 师生互动 文字—符号—图形三向互译：各组任选一项完成符号表示并说明作图步骤，其他组检查对象、符号和遮挡画法。 （1）点M在直线b上，且在平面α内； 答案：，。 解析：在平面内画点M，并经过M画直线b。 （2）点N不在平面β内，直线c经过点N并与平面β相交于点Q。 答案：，，，。 解析：把N画在平面外、Q画在平面内，连接N、Q作直线c；被平面遮挡部分用虚线或不画。 先逐句确定点与各对象的关系，再统一作图。 课堂练习（一） 1．判断：不同平面的大小可能不同。 答案：错误。 解析：平面向各个方向无限延展，没有大小之分。 2．判断：平行四边形ABCD所在平面既可表示为平面ABCD，也可表示为平面AC。 答案：正确。 解析：平行四边形所在平面可以用四个顶点字母或一组对角顶点字母表示。 课堂练习（二） 3．填空：点R在直线d上但不在平面γ内，用符号表示为____，____。 答案：；。 解析：分别把“在直线上”和“不在平面内”翻译为属于和不属于关系。 4．纠错：某同学画直线e与平面δ相交时，把被平面遮挡的线段仍画成实线。请指出错误并改正。 答案：被平面遮挡的部分应改画为虚线或不画。 解析：空间图形应通过虚实线区分可见部分与被遮挡部分。 课堂练习（三） 5．画出一个满足下列条件的图形：点S在平面α内，点T在平面α外，直线f经过S、T两点。 答案：，，，。 解析：先画平面α，将S画在平面内、T画在平面外，再连接S、T并向两端延长；被平面遮挡部分用虚线或不画。 课堂练习（四） 6．举出生活中一个可以看作平面一部分的对象，并说明判断依据。 平整的教室墙面 答案：示例：平整的教室墙面可以看作平面的一部分，因为它具有“平”的特征。 解析：答案不唯一，所举对象的表面应是平整的；实际表面只能看作平面的一部分。 课堂小结 1．平面具有平和向各个方向无限延展的特征。 2．用平行四边形、三角形、圆等图形表示平面；用希腊字母或多边形顶点字母命名。 3．点在或不在直线、平面上，分别用或表示。 4．逐项落实作图条件，被平面遮挡的直线部分画成虚线或不画。 实际表面抽象特征 → 有限图形表示无限平面 → 文字、符号、图形互译 作业布置 1．复习本节课的知识点； 2．完成课后练习； 3．整理笔记和易错题。 $