4.1.1 平面的特征、画法与表示（教案）-高教版第三版《数学 拓展模块一（上册）》【上好课】

该教案聚焦立体几何中平面的特征、画法、表示及位置关系，通过《几何原本》章导语与湖面、桌面等生活实例导入，搭建从二维平面到三维空间的学习支架，为后续空间关系学习奠定基础。 特色在于突出数学抽象与直观想象，用即时练习（如判断黑板面积）突破平面无限延展性难点，三向互译（文字-符号-图形）强化数学语言表达，师生互动中的同伴互检培养推理意识，助力学生建立空间观念，也为教师提供规范教学流程与实用练习设计。

高教版第三版《数学》拓展模块一（上册） 第4章 立体几何 4.1.1 平面的特征、画法与表示 授课班级 授课类型 新授课 授课教师 教学时长 1课时（45分钟） 教材分析 教材从《几何原本》及立体几何由二维平面向三维空间拓展的章导语切入，在学生已有简单几何体、点和直线知识的基础上，先由湖面、桌面等实例抽象平面，再依次安排平面的特征、画法、字母表示以及点与直线、平面位置关系的符号表示，并通过例1实现文字、符号和图形之间的转换。 本课是第4章章首节，也是空间点、直线、平面关系的起始课。学生在本课形成的平面观念、符号语言和规范画图方法，将作为学习平面的基本性质以及后续直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的表达基础。 学情分析 学生熟悉桌面、湖面和长方体表面等直观对象，也具备点、直线和平面图形的初步知识，但容易把平面等同于有边界、有大小的实际表面；在符号表达中，还可能混淆点与直线、平面的“属于”关系以及直线与平面的图形位置。教学中需借助实物抽象、教材图示、文字与符号互译和规范作图，逐步形成空间观念。 教学目标 1．理解平面具有平和向各个方向无限延展的特征，掌握平面的常用画法、字母表示以及点与直线、平面的属于或不属于关系。 2．能根据文字条件正确使用符号表示点、直线和平面的位置关系，并能画出满足条件的空间图形。 3．通过从实际表面抽象平面、观察章首材料和进行文字—符号—图形互译，提升数学抽象与直观想象素养。 教学重难点 教学重点：平面的特征、画法与字母表示，点与直线、平面位置关系的文字、符号和图形表示。 教学难点：理解平面的无限延展性，并依据复合位置条件规范作图和处理直线被平面遮挡的部分。 教学方法 情境教学法、观察归纳法、示范作图法、讲练结合法。 课前准备 教师准备：教材、演示课件。 学生准备：教材、笔记本。 教学环节设计 教学环节 教学内容 设计意图 教学导入 教师呈现第4章章首徐光启插图，结合章导语简要介绍《几何原本》传入中国以及立体几何是从二维平面向三维空间的拓展，引导学生明确本章将研究空间中点、直线、平面的位置关系。 教师提出问题：平静的湖面、海面、课桌桌面和书本封面都可以用“平面”来描述，它们有哪些共同特征？学生联系生活经验观察、交流。 【答案】 这些表面都给人“平”的感受；从数学角度抽象时，还要设想它们可以向各个方向不断延展。 【解析】 实际物体的表面有边界，数学中的平面是对这些表面的共同特征进行抽象后得到的理想对象。教师由此引出本课。 借助章导语和生活实例沟通二维与三维经验，引导学生从实际表面抽象出平面的研究对象。 新知讲授 一、平面的特征与画法 这些面都是平的，可以向各个方向无限延展。数学中的平面具有平和无限延展的特征。 教师强调：黑板、桌面或湖面只能看作平面的一部分，平面本身没有边界，不能比较面积大小。 类似地，我们用平面的一部分来表示平面。通常我们用平行四边形、三角形、圆等平面图形来表示平面。 教师结合图说明：观察对象不同，粉笔盒的正面、顶面和侧面所在平面在图中呈现为不同形状，但都只是用有限图形表示无限延展的平面。 【即时练习1】判断：一块长3 、宽1.5 的黑板所在平面的面积是4.5 ²。 【答案】 错误。 【解析】 黑板表面有确定的长和宽，只是平面的一部分；数学中的平面向各个方向无限延展，不能用黑板面积作为平面的面积。 【即时练习2】下列对象中，哪些可以看作平面的一部分：平静的水面、玻璃球表面、平整的墙面？ 【答案】 平静的水面和平整的墙面可以看作平面的一部分；玻璃球表面不可以。 【解析】 判断时抓住“平”这一特征；玻璃球表面是曲面。 二、平面的表示 为叙述方便，点可以用大写英文字母A、B、…表示；直线可以用小写英文字母l、、…表示，也可以用直线上两点的字母AB、CD、…表示。 可以用小写希腊字母α、β、γ、…表示平面，如平面α、平面β、…；也可以用多边形的顶点字母表示平面。对于平行四边形，可选用其中一组对角的顶点字母表示平面。 教师结合图4-3说明：三角形ABC所在的平面可表示为平面ABC；平行四边形ABCD所在的平面可表示为平面ABCD或平面AC。 【即时练习3】平行四边形EFGH所在的平面，除表示为平面EFGH外，还可以怎样表示？ 【答案】 可以表示为平面EG或平面FH。 【解析】 表示平行四边形所在平面时，可以选用其中一组对角顶点的字母。 【即时练习4】判断：平面α和平面ABCD的名称不同，所以它们一定是不同的平面。 【答案】 错误。 【解析】 同一个平面可以采用不同方式命名，是否为同一平面要依据图形及点的位置关系判断。 三、点与直线、平面的位置关系 当点P在直线l上或在平面α内时，可分别表示为，。当点P不在直线l上或不在平面α内时，可分别表示为，。 教师说明：点与直线、点与平面之间使用“属于”或“不属于”；表达时应先确定对象，再选择符号。 教材例1 用符号语言表示以下点与直线、平面的位置关系，并画出满足条件的一个图形。 （1）点A在直线l上，且在平面α内； （2）点C不在平面β内，直线经过点C且与平面β有一个公共点B。 【答案】 （1）且；（2），，，。 【解析】 （1）先画平行四边形表示平面α，将点A画在平面内，再在平面α内经过点A画直线l。（2）先画平面β，把点C画在平面外、点B画在平面内，连接C、B并向两个方向延长，标注为直线m。 画直线与平面相交时，直线被平面遮挡的部分画成虚线或不画。 【即时练习5】用符号表示：点D在平面γ内，但不在直线上。 【答案】 ，。 【解析】 “在平面内”用属于符号，“不在直线上”用不属于符号。 【即时练习6】画图表示：点E在平面δ外，直线经过点E，并与平面δ相交于点F。 【答案】 ，，，；图形画法与教材例1第（2）问同类。 【解析】 先确定平面内外的两个点，再连接两点作直线；直线被平面遮挡的部分应画为虚线或不画。 【知识检测】平面具有哪些特征？表示平行四边形所在平面时可采用哪两类名称？点与平面的位置关系使用哪一组符号？ 【答案】 平面具有平和向各个方向无限延展的特征；可以用四个顶点字母或一组对角顶点字母表示；点与平面的位置关系使用和。 【解析】 依次对应平面的特征、平面的命名规则和点与平面的符号关系。 按照特征与画法、字母表示、位置关系的顺序展开，通过教材例题和即时练习落实规范表达。 课堂背诵 完成下列挖空并逐项复述。 1．数学中的平面具有____和____的特征。 【答案】 平；向各个方向无限延展。 【解析】 实际表面只能看作平面的一部分，数学中的平面没有边界。 2．平面可以用小写____字母表示，也可以用____的顶点字母表示。 【答案】 希腊；多边形。 【解析】 常用α、β、γ等表示平面，也可用平面图形的顶点字母表示。 3．点P在平面α内和点P不在平面α内，分别怎样用符号表示？ 【答案】 ；。 【解析】 点与平面之间采用属于或不属于的符号表达。 通过挖空和符号复述集中提取平面特征、命名规则及属于关系，检查学生的准确记忆。 师生互动 文字—符号—图形三向互译：各组任选一项完成符号表示并说明作图步骤，其他组检查对象、符号和遮挡画法。 （1）点M在直线上，且在平面α内；（2）点N不在平面β内，直线经过点N并与平面β相交于点Q。 【答案】 （1），；（2），，，。 【解析】 （1）在平面内画点M，并经过M画直线。（2）把N画在平面外、Q画在平面内，连接N、Q作直线；被平面遮挡部分用虚线或不画。教师归纳：先逐句确定点与各对象的关系，再统一作图。 利用三向互译和同伴互检诊断符号选择与作图错误，促进学生形成完整、规范的空间表达。 课堂练习 1．判断：不同平面的大小可能不同。 【答案】 错误。 【解析】 平面向各个方向无限延展，没有大小之分。 2．判断：平行四边形ABCD所在平面既可表示为平面ABCD，也可表示为平面AC。 【答案】 正确。 【解析】 平行四边形所在平面可以用四个顶点字母或一组对角顶点字母表示。 3．填空：点R在直线d上但不在平面γ内，用符号表示为____，____。 【答案】 ；。 【解析】 分别把“在直线上”和“不在平面内”翻译为属于和不属于关系。 4．纠错：某同学画直线e与平面δ相交时，把被平面遮挡的线段仍画成实线。请指出错误并改正。 【答案】 被平面遮挡的部分应改画为虚线或不画。 【解析】 空间图形应通过虚实线区分可见部分与被遮挡部分。 5．画出一个满足下列条件的图形：点S在平面α内，点T在平面α外，直线f经过S、T两点。 【答案】 ，，，。 【解析】 先画平面α，将S画在平面内、T画在平面外，再连接S、T并向两端延长；被平面遮挡部分用虚线或不画。 6．举出生活中一个可以看作平面一部分的对象，并说明判断依据。 【答案】 示例：平整的教室墙面可以看作平面的一部分，因为它具有“平”的特征。 【解析】 答案不唯一，所举对象的表面应是平整的；实际表面只能看作平面的一部分。 通过判断、填空、纠错、作图和实例说明形成梯度检测，反馈概念、符号与画法掌握情况。 课堂小结 学生回答：数学中的平面有哪些特征？怎样画和表示平面？怎样把点与直线、平面的位置关系在文字、符号和图形之间转换？ 【答案】 平面具有平和向各个方向无限延展的特征，可以用平行四边形、三角形、圆等图形表示；可用小写希腊字母或多边形顶点字母命名。点在或不在直线、平面上，分别用或表示。作图时应逐项落实条件，直线被平面遮挡的部分画成虚线或不画。 【解析】 教师用“实际表面抽象特征—有限图形表示无限平面—文字符号图形互译”梳理本课知识，并回应导入问题。 引导学生把平面特征、表示方法和位置关系整理成知识链，回应导入并强化规范表达。 作业布置 1．复习本节课的知识点； 2．完成课后练习； 3．整理笔记和易错题。 教学反思 课堂实施中需进一步平衡章导语与核心新知的时间，避免历史材料挤占文字、符号和图形互译的练习。学生可能凭生活经验把平面理解成有边界的表面，应通过判断题及时暴露并纠正。教材例1第（2）问的复合条件较多，可增加逐句标记对象关系的示范，并观察学生能否正确处理遮挡线。后续可依据课堂练习中符号误用和作图顺序问题，调整板书对照与同伴互检方式，提高表达的准确性。 学科网（北京）股份有限公司 $