3.3.2 抛物线图像与综合应用（课件）-高教版第三版《数学 拓展模块一（上册）》【上好课】

该中职数学课件聚焦抛物线图像绘制与综合应用，涵盖描点法结合对称性作图、拱形建模、轨迹求法及光学性质。课堂导入以“如何用较少点画完整图像”设问，引导学生利用对称性（如y²=4x先描第一象限点再补全），搭建从方程到图像的学习支架，衔接后续隧道拱等实际应用案例。 其亮点在于以情境化问题驱动教学，如隧道拱建设中以拱顶为原点建系、探照灯光学原理应用，结合即时练习和课堂背诵强化关键步骤。注重直观想象（图像绘制）、逻辑推理（轨迹问题代入法）和数学运算（直线与圆相切计算）的核心素养培养，帮助学生提升解决实际问题能力，也为教师提供结构化教学资源。

高教版第三版《数学》 拓展模块一（上册） 第3章 圆锥曲线 3.3.2 抛物线图像与综合应用 学习目标 1．理解利用描点法和对称性绘制抛物线图像的方法，掌握拱形建模、轨迹求法和光学应用中的规范结论。 2．能依据抛物线方程和题设关系完成作图、建立坐标系、求交点或轨迹方程，并说明关键步骤。 3．通过观察图像、处理表格数据和解释实际模型，提升直观想象、数学运算、逻辑推理和数据分析素养。 作图问题导入 如何用较少的点画出完整抛物线图像？ 【答案】 先取≥0，选取值计算值，描出第一象限内的点，再利用关于轴的对称性画出全部图像。 【解析】 方程中以平方出现，正负对应同一个，因此图像关于轴对称。 例4：方程与作图策略 用“描点法”画出抛物线 ²=4x 的图像。 【解析】先计算一个象限内的点，再用对称性补全，可减少计算量并保证图像方向正确。 0 1 2 3 4 … 0 2 2.8 3.5 4 … 先取 ≥0，方程化为 ≥0）。 例4：利用对称性补全图像 依次描点并用光滑曲线连接第一象限图像，再利用关于轴的对称性画出全部图像。 例5：隧道拱情境 建设交通强国是全面建成社会主义现代化强国的重要支撑.2021年年底，我国高速公路里程已位居世界第一. 在修建A市到B市的高速公路过程中，需要挖掘一条横截面如图3−37(1)所示的隧道. 已知横截面的顶部是抛物线拱，拱高为2 m，跨度为6 m. 试建立平面直角坐标系，求抛物线拱的方程. 隧道拱高2 、跨度6 。以拱顶为原点、经过拱顶的垂线为轴，设方程为 ²=-2py。端点坐标为,-2)、B(3,-2)。 例5：坐标系与端点坐标 拱顶为原点，经过拱顶的垂线为轴；端点,-2)、B(3,-2)。 【答案】 ，拱形方程为²=- （-3≤≤3）。 【解析】 将B(3,-2)代入²=-2py，得，所以；用端点横坐标限定范围。 例6：直线与圆相切的综合条件 已知斜率为1的直线过抛物线=−2py (p>0)的焦点F，且与圆+=8相切，求该抛物线的方程。 【答案】 或，抛物线方程为²=-12y或²=-44y。 【解析】 由焦点、直线与圆相切条件建立方程，解得或，再代入²=-2py。 例6：直线与圆相切的综合条件 即时练习 说明例5中为什么选择拱顶为原点。 【答案】 拱顶是抛物线顶点，取其为原点可使对称轴成为坐标轴，端点坐标和方程表达更简洁。 【解析】 坐标系应服务于对称性和已知长度的表达，原点与对称轴位置明确后，代入端点即可确定参数。 例7：中点轨迹问题 抛物线²=8x上点P向轴作垂线，求垂线段中点M的轨迹方程。 【答案】 中点M的轨迹方程为²=2x。 【解析】 由₀、和₀²=8x₀，代入₀=、₀=2y消元得到²=2x。 例7：中点轨迹问题 光学性质与实际应用 焦点发出的光线或声波反射后平行于抛物线的轴；探照灯、汽车前灯和太阳灶利用该性质。 课堂背诵 拱形建模时坐标原点和坐标轴怎样选择？ 【答案】 作图先取一个象限描点，再关于轴对称；拱顶为原点、垂线为轴。 【解析】 作图和建模都先利用对称关系选择简洁坐标表达。 课堂背诵 画抛物线图像时，为什么可以先研究一个象限？ 【答案】 利用抛物线的对称性，先画一个象限再补全其余部分。 【解析】 方程中的平方项使相反符号的对应坐标成对出现。 课堂背诵 抛物线的光学性质是什么？ 【答案】 焦点发出的光线经反射后平行于抛物线的轴；太阳光反射后可集中于焦点。 【解析】 前者说明探照灯、汽车前灯的原理，后者说明太阳灶的原理。 师生互动：三类问题共同路径 比较作图、隧道拱建模和中点轨迹三个情境，说明先识别何种关系、再写何种方程。； 【答案】 情境1先取≥0描点，再关于轴对称；情境2拱顶为原点、垂线为轴，端点为,-2)、(3,-2)；情境3有₀、，再代入原抛物线方程。 【解析】 三个情境分别对应作图、建模和轨迹求法，关键是先识别对称关系，再把几何关系写成坐标关系。 课堂练习 【答案】 A。 【解析】 方程中y为平方项，点(x,y)与(x,-y)同时出现。 课堂练习 2 2．填空：例5中端点A、B的坐标分别为____、____。 【答案】 ,-2)、(3,-2)。 【解析】 跨度6 给出横坐标±3，拱高2 给出纵坐标-2。 课堂练习 3 3．计算：例5中，拱形方程为____。 【答案】 ，²=- 。 【解析】 将B(3,-2)代入²=-2py，得。 课堂练习 4 4．判断：抛物线焦点发出的光线反射后平行于抛物线的轴。（ ） 【答案】 正确。 【解析】 这是教材给出的抛物线光学性质。 课堂练习 5 5．已知抛物线 ²=8x 上点P向轴作垂线，若中点M(,)满足₀、，求轨迹方程。 【答案】 ²=2x。 【解析】 代入₀²=8x₀并用₀=、₀=2y，得(2y)²=8x。 课堂小结 本课怎样画抛物线？如何建立拱形模型？轨迹问题的关键是什么？ 【答案】 作图先利用方程和对称性选取一个象限描点，再补全图像；拱形模型把拱顶和对称轴作为坐标系基准，用端点坐标确定参数；轨迹问题先写动点与相关点的坐标关系，再代入原方程消元。 【解析】 三类问题都要先读图识别关系，再用坐标和方程完成表达。 作业布置 1．复习本节课的知识点； 2．完成课后练习； 3．整理笔记和易错题。 解 由题知，抛物线的焦点坐标为，则直线方程为，即 圆的圆心坐标为，半径。由于直线与圆相切，则有，解得或。 所以抛物线的方程为或。 解 如图所示，设点是抛物线上的任一点，作轴，垂足为，则点的坐标为。设线段的中点为，则有，，即，。 由于在抛物线上，满足，所以，即。 所以点的轨迹方程为。它是顶点在坐标原点，焦点坐标为的抛物线。 选择：画时，优先利用的性质是（ ）。 A.关于x轴对称 B.关于y轴对称 C.关于原点对称 D.无对称性 $