3.3.2 抛物线图像与综合应用（教案）-高教版第三版《数学 拓展模块一（上册）》【上好课】

该教案聚焦抛物线图像绘制、拱形建模、轨迹求法及光学应用，通过“如何用较少点画完整图像”的问题导入，引导学生利用对称性先描一个象限再补全，承接标准方程等旧知，搭建从图像到应用的学习支架。 此资料以数学眼光观察图像对称性，数学思维推导轨迹坐标关系，数学语言构建拱形模型，如选拱顶为原点简化隧道方程。采用问题探究与小组任务，对比作图、建模、轨迹关键步骤，提升学生直观想象与运算能力，为教师提供梯度教学资源，助力高效课堂。

高教版第三版《数学》拓展模块一（上册） 第3章 圆锥曲线 3.3.2 抛物线图像与综合应用 授课班级 授课类型 新授课 授课教师 教学时长 1课时（45分钟） 教材分析 教材在抛物线标准方程和几何性质的基础上，先通过描点法与对称性呈现图像，再依次安排隧道拱建模、直线与抛物线及圆的综合问题、运动关系轨迹问题，最后联系反射性质说明实际应用，形成由图像到方程、由模型到应用的递进结构。 本课承接抛物线标准方程、焦点和准线等知识，着重训练利用对称性作图、选择坐标系建立拱形模型以及由动点关系求轨迹的方法，并为后续习题综合训练和圆锥曲线实际应用奠定基础。 学情分析 学生已掌握抛物线标准方程及焦点、准线的基本关系，能够进行代数代入和简单方程变形，但在作图时容易忽略对称性，在拱形建模和轨迹问题中也可能出现坐标系选择不当、变量关系遗漏等情况。课堂需通过表格描点、图形观察、坐标标注和逐步代入帮助学生形成规范的问题解决路径。 教学目标 1．理解利用描点法和对称性绘制抛物线图像的方法，掌握拱形建模、轨迹求法和光学应用中的规范结论。 2．能依据抛物线方程和题设关系完成作图、建立坐标系、求交点或轨迹方程，并说明关键步骤。 3．通过观察图像、处理表格数据和解释实际模型，提升直观想象、数学运算、逻辑推理和数据分析素养。 教学重难点 教学重点：利用对称性作图，选择坐标系建立拱形模型，并根据运动关系求轨迹方程。 教学难点：把实际情境中的长度、位置和运动关系准确转化为坐标与方程。 教学方法 问题探究法、图像观察法、讲练结合法、合作交流法。 课前准备 教师准备：教材、演示课件。 学生准备：教材、笔记本。 教学环节设计 教学环节 教学内容 设计意图 教学导入 教师展示抛物线的图像问题：怎样用较少的点画出完整图像？学生观察方程和图形，回答可先研究一个象限，再利用对称性补全。 【答案】 先取≥0，选取值计算值，描出第一象限内的点，再利用关于轴的对称性画出全部图像。 【解析】 方程中以平方出现，正负对应同一个，因此图像关于轴对称。教师归纳作图思路并引出本课。 从作图问题激活方程与图像的联系，引导学生发现对称性并形成解决实际图像任务的需要。 新知讲授 一、描点法和性质法画抛物线 教材例4：用“描点法”画出抛物线的图像。先在中选取x值，得到教材表3-4：x为0、1、2、3、4，对应y为0、2、2.8、3.5、4；描点并用光滑曲线连接第一象限图像，再利用关于x轴的对称性补全。 【答案】 得到顶点在原点、开口向右且关于轴对称的抛物线图像。 【解析】 先计算一个象限内的点，再用对称性补全，可减少计算量并保证图像方向正确。 二、实际应用与综合问题 教材例5：隧道拱高2 m、跨度6 m。以拱顶为原点、经过拱顶的垂线为y轴，设方程为 x²=-2py。端点坐标为A(-3,-2)、B(3,-2)。 【答案】 p=，拱形方程为 x²=- y（-3≤x≤3）。 【解析】 将B(3,-2)代入 x²=-2py，得9=4p，所以p=。用端点的横坐标限定实际拱形范围为-3≤x≤3。 教材例6：已知斜率为的直线过抛物线 （）的焦点，且与圆相切，求该抛物线的方程。 【答案】 p=6或p=22，抛物线方程为 x²=-12y 或 x²=-44y。 【解析】 由抛物线焦点坐标写出斜率为1且过焦点的直线方程，再利用圆心到该直线的距离等于半径建立相切条件，解得p=6或p=22，分别代入 x²=-2py。 教材例7：抛物线 y²=8x 上点P向x轴作垂线，求垂线段中点M的轨迹方程。 【答案】 中点M的轨迹方程为 y²=2x。 【解析】 设P(x₀,y₀)，则M(x,y)满足x=x₀、y=。由=8x₀，以x₀=x、y₀=2y代入，得(2y)²=8x，即y²=2x。 【即时练习】说明例5中为什么选择拱顶为原点。 【答案】 拱顶是抛物线顶点，取其为原点可使对称轴成为坐标轴，端点坐标和方程表达更简洁。 【解析】 坐标系应服务于对称性和已知长度的表达，原点与对称轴位置明确后，代入端点即可确定参数。 三、光学性质与应用 从抛物线焦点发出的光线或声波经反射后平行于抛物线的轴；利用光的可逆性，太阳光经旋转抛物面反射后集中于焦点。 按作图、建模、综合推理和光学应用的顺序组织内容，使学生经历从图像观察到方程表达再到实际解释的完整过程。 课堂背诵 1．画抛物线图像时，为什么可以先研究一个象限？ 【答案】 利用抛物线的对称性，先画一个象限再补全其余部分。 【解析】 方程中的平方项使相反符号的对应坐标成对出现。 2．拱形建模时，坐标原点和坐标轴怎样选择？ 【答案】 通常把拱顶作为原点，把经过拱顶的垂线作为轴。 【解析】 这样能直接利用顶点和对称轴信息表示端点坐标。 3．抛物线的光学性质是什么？ 【答案】 焦点发出的光线经反射后平行于抛物线的轴；太阳光反射后可集中于焦点。 【解析】 前者说明探照灯、汽车前灯的原理，后者说明太阳灶的原理。 通过具体问答提取作图、建模和应用结论，检查学生能否准确复述方法、条件及物理意义。 师生互动 小组任务：比较三个情境并说明关键步骤。任务1：对作图；任务2：隧道拱高2 m、跨度6 m时建立坐标系；任务3：中点轨迹问题中写出x、y与的关系。 【答案】 任务1先取描点，再关于x轴对称；任务2拱顶为原点、垂线为y轴，端点为(-3,-2)、(3,-2)；任务3有，再代入原抛物线方程。 【解析】 三个任务分别对应作图、建模和轨迹求法，关键是先识别对称关系，再把几何关系写成坐标关系。 教师归纳：遇到抛物线综合题，先判断图像方向和对称性，再选择坐标系，最后用方程验证并解释结果。 通过分组比较让学生交流不同任务的共同解题路径，在说明理由和互相纠错中形成规范的综合表达。 课堂练习 1．选择：画时，优先利用的性质是（ ）。A.关于x轴对称 B.关于y轴对称 C.关于原点对称 D.无对称性 【答案】 A。 【解析】 方程中为平方项，点(,)与(,-)同时出现。 2．填空：例5中端点A、B的坐标分别为____、____。 【答案】 ,-2)、(3,-2)。 【解析】 跨度6 给出横坐标±3，拱高2 给出纵坐标-2。 3．计算：例5中，拱形方程为____。 【答案】 ，。 【解析】 将B(3,-2)代入，得。 4．判断：抛物线焦点发出的光线反射后平行于抛物线的轴。（ ） 【答案】 正确。 【解析】 这是教材给出的抛物线光学性质。 5．已知上点P向x轴作垂线，若中点M(x,y)满足，求轨迹方程。 【答案】 。 【解析】 代入并用，得。 6．说明：为什么作图时要先选取若干整数值？ 【答案】 便于计算对应值并形成有序描点表。 【解析】 有序表格能帮助检查点的变化趋势并绘制平滑曲线。 安排由性质识别、坐标读取、参数计算、性质判断到轨迹求法的梯度练习，及时发现作图和建模中的典型错误。 课堂小结 学生回答：本课怎样画抛物线？如何建立拱形模型？轨迹问题的关键是什么？ 【答案】 作图先利用方程和对称性选取一个象限描点，再补全图像；拱形模型把拱顶和对称轴作为坐标系基准，用端点坐标确定参数；轨迹问题先写动点与相关点的坐标关系，再代入原方程消元。 【解析】 三类问题都要先读图识别关系，再用坐标和方程完成表达。 以方法链回应导入问题，帮助学生把作图、建模和轨迹求法整理为可迁移的解题结构。 作业布置 1．复习本节课的知识点； 2．完成课后练习； 3．整理笔记和易错题。 教学反思 课堂实施可进一步优化图像观察与代数推导的衔接，在描点环节引导学生先利用对称性减少计算，再通过坐标标注检查图形方向。拱形建模中应留出更多时间让学生说明原点和坐标轴的选择依据，轨迹问题则需强化动点、中点坐标关系的书写。课后可依据练习中的错点调整表格数据呈现和同伴互检方式，使学生逐步形成从情境识别到方程表达的稳定路径。 学科网（北京）股份有限公司 $