3.2.2 双曲线的离心率及综合应用（教案）-高教版第三版《数学 拓展模块一（上册）》【上好课】

该教案聚焦双曲线离心率及综合应用，课堂导入以冷却塔轮廓实例切入，承接双曲线定义、标准方程和渐近线知识，引导学生思考张口大小刻画需求，构建从参数认识到综合应用的学习支架。 特色在于以现实情境激活数学眼光，如冷却塔实例引发探究，通过参数关系推导（e与渐近线斜率）培养数学思维，结合讲练结合法和即时练习巩固，距离差建模（声音定位）强化数学语言应用，帮助学生提升直观想象与运算能力，为教师提供清晰教学路径和反馈策略。

高教版第三版《数学》拓展模块一（上册） 第3章 圆锥曲线 3.2.2 双曲线的离心率及综合应用 授课班级 授课类型 新授课 授课教师 教学时长 1课时（45分钟） 教材分析 教材在双曲线定义、两类标准方程、基本几何性质和渐近线的基础上，先用焦距与实轴长的比定义离心率，再由参数关系说明离心率、渐近线斜率和张口大小的联系；随后通过典型例题依次组织性质读取、条件求方程、图像绘制和距离差建模，形成由参数认识到综合应用的递进结构。 本课是双曲线内容的综合与收束，承接标准方程、基本几何量和渐近线，重点训练多条件之间的转化、焦点方向判断以及由距离差确定曲线分支，为后续研究其他圆锥曲线和解决实际轨迹问题积累方法。 学情分析 学生已经能够从标准方程中读出、、和焦点方向，也会求双曲线的渐近线，但容易把焦距与半焦距、实轴长与实半轴长混淆，对离心率与张口大小的联系缺少参数依据。综合求方程时还可能忽略焦点方向，应用题中也容易只写整条双曲线而不依据距离差正负限定分支，需要通过图形、参数关系和规范建模反复校正。 教学目标 1．理解双曲线离心率的定义、取值范围及其与张口大小的关系，掌握相关参数公式。 2．能根据方程、焦点、顶点、渐近线和离心率等条件求双曲线的基本量或标准方程，并能利用性质画出大致图像。 3．能把声音到达时间差转化为距离差并判断双曲线分支，在观察、运算和解释模型的过程中提升直观想象、数学运算与逻辑推理素养。 教学重难点 教学重点：离心率与张口大小的联系，利用多种几何条件确定双曲线方程，运用性质画图和建立距离差模型。 教学难点：综合选择参数关系，并根据距离差的正负准确判断实际轨迹所在的双曲线分支。 教学方法 问题探究法、直观演示法、对比归纳法、讲练结合法。 课前准备 教师准备：教材、演示课件。 学生准备：教材、笔记本。 教学环节设计 教学环节 教学内容 设计意图 教学导入 教师展示教材图3-24中的冷却塔，提出问题：从远处观察，塔身轮廓为什么常呈双曲线形状？不同双曲线的张口大小可以用什么量刻画？学生观察轮廓并回忆焦距、实轴长和渐近线。 【答案】 冷却塔的竖直截面轮廓可近似看作双曲线的一支；比较张口大小需要把焦距、实轴长和渐近线斜率联系起来。 【解析】 只比较某一个长度会受图形整体大小影响。教材用焦距与实轴长的比引入离心率，再利用参数关系说明它与张口大小的联系。 借助冷却塔轮廓激活双曲线图像经验，引导学生产生刻画张口大小和研究综合性质的需要。 新知讲授 一、双曲线的离心率 双曲线的焦距与实轴长的比称为双曲线的离心率，记作e。即。 因为，所以双曲线的离心率。由可以看出，e越大，渐近线斜率的绝对值越大，双曲线的张口就越大。因此，离心率e反映了双曲线的张口大小。 【即时练习1】双曲线的焦距为20，实轴长为16，求离心率。 【答案】 。 【解析】 由，得。 【即时练习2】判断：双曲线的离心率越大，张口越小。 【答案】 错误。 【解析】 由可知，e越大，渐近线斜率绝对值越大，张口越大。 二、利用性质和离心率确定方程 例4 求双曲线的实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、离心率与渐近线方程。 【答案】 实轴长8，虚轴长4；焦点坐标为；顶点坐标为(0,-4)、(0,4)；离心率；渐近线为。 【解析】 将方程化为。由此可知焦点在y轴上，，再按实轴、虚轴、焦点、顶点、离心率和纵轴型渐近线公式依次求得各量。 例5 求满足下列条件的双曲线的标准方程：（1）一个焦点为(10,0)，一条渐近线为；（2）焦距为12，离心率为。 【答案】 （1）。（2），或。 【解析】 （1）焦点在x轴上，；由渐近线得，结合解得。（2）由得。焦点方向未说明，应分别写出两类方程。 【即时练习3】双曲线的焦距为10，离心率为2，焦点在轴上，求标准方程。 【答案】 。 【解析】 由得。 【即时练习4】已知双曲线焦点在轴上，一个焦点为(0,5)，离心率为，求标准方程。 【答案】 。 【解析】 由得。 三、图像与距离差模型 例6 用描点法画出双曲线的图像。由对称性，先画第一象限内的图像。当时，可写为。 x 4 5 6 7 8 y 0 2.25 3.35 4.31 5.20 以表3-2中的x值为横坐标、对应的y值为纵坐标描点，用光滑曲线顺次连接，再利用对称性画出全部图像。 还可以先确定顶点和虚轴端点，作基本矩形及两条渐近线，再根据曲线经过实轴端点并逐渐接近渐近线的特点画出大致图像。 例7 已知A、B两个哨所相距1600 m，在A哨所听到炮弹爆炸声比在B哨所晚3 s，求炮弹爆炸点所有可能位置构成的曲线的方程，空气中声速约为340 m/s。 【答案】 。 【解析】 时间差对应距离差，所以。又。由于，爆炸点在靠近B的一支，故还需限定。 【即时练习5】画双曲线²/²/的大致图像时，应先确定哪些关键对象？ 【答案】 两个顶点、两个虚轴端点、基本矩形及其两条对角线。 【解析】 由确定顶点和虚轴端点，对角线所在直线是渐近线，再画从顶点出发并逐渐接近渐近线的两支曲线。 【即时练习6】两接收点相距1000 ，某声源到两点的距离差为600 。以两接收点中点为原点、连线为轴，求轨迹所在双曲线的、及²。 【答案】 。 【解析】 由距离差绝对值为600得；由两定点距离为1000得，再用计算。距离差正负决定具体分支。 【知识检测】双曲线离心率与渐近线斜率绝对值有什么联系？解决声音定位问题时，为什么还要判断距离差的正负？ 【答案】 离心率越大，渐近线斜率绝对值越大，张口越大；距离差的正负用于确定实际点落在双曲线的哪一支。 【解析】 给出参数联系；双曲线定义使用距离差绝对值，而具体应用中的先后或远近关系决定差的符号。 按参数联系、方程确定、图像绘制和距离差建模递进组织学习，用教材原例和即时练习突破综合转化难点。 课堂背诵 完成下列挖空并逐项复述。 1．双曲线离心率是焦距与____的比，记作e，公式为____，取值范围是____。 【答案】 实轴长；；。 【解析】 焦距与实轴长分别为2c和2，且。 2．离心率越大，双曲线的张口越____。 【答案】 大。 【解析】 e越大，越大，渐近线斜率绝对值越大。 3．实际问题中由距离差得到双曲线方程后，还要根据什么确定分支？ 【答案】 根据有向距离差的正负，判断动点更靠近哪一个焦点，从而确定所在分支。 【解析】 双曲线定义中的距离差绝对值确定整条双曲线，而实际远近关系通常只对应其中一支。 通过定义挖空、张口关系和分支判断复述，检查学生必须会写、会说和会辨析的核心内容。 师生互动 教师依次给出条件：焦距10、离心率、焦点在y轴上。学生独立求、b，再与同桌核对标准方程；随后说明若去掉焦点方向，答案会怎样变化。 【答案】 ；方程为。若焦点方向未知，还应有焦点在x轴上的另一类方程。 【解析】 由得；由得，再由得b=4。 教师归纳：先把焦距、实轴长、离心率、渐近线或顶点条件转化为、、的关系，再确定焦点方向；实际轨迹还要依据距离差正负确定分支。 利用条件卡片组织参数转化、同伴互检和方向辨析，诊断学生能否完整选择关系并规范写出方程。 课堂练习 1．双曲线的焦距为18，实轴长为12，求离心率。 【答案】 。 【解析】 。 2．求双曲线的离心率和渐近线方程。 【答案】 离心率；渐近线。 【解析】 由直接代入离心率和横轴型渐近线公式。 3．已知双曲线焦点在x轴上，一条渐近线为，且一个焦点为(10,0)，求标准方程。 【答案】 。 【解析】 由解得=8、b=6。 4．两个接收点相距1200 ，声源到两点的距离差绝对值为800 。求以两接收点中点为原点、连线为轴时轨迹的标准方程，并说明还需什么信息才能确定具体分支。 【答案】 ；还需知道声源到哪一个接收点更远。 【解析】 由得。具体远近关系决定距离差符号和所在分支。 设置离心率、性质读取、条件定方程和距离差建模四个梯度任务，检测课堂达标并反馈典型错误。 课堂小结 学生回答：离心率怎样定义并反映什么？综合求方程时怎样选择参数关系？实际距离差模型为什么要判断分支？ 【答案】 双曲线离心率，离心率越大，张口越大。求方程时先把已知条件转化为、b、c及渐近线关系，再判断焦点方向并写标准方程。距离差的正负反映动点更靠近哪一个焦点，因此决定具体分支。 【解析】 教师提醒：焦距是2c，实轴长是2；渐近线给出参数比，实际轨迹还要把数学方程与情境中的远近关系对应。 围绕离心率、参数选择和分支判断整理知识联系，形成可复述、可迁移的综合解题路径。 作业布置 1．复习本节课的知识点； 2．完成课后练习； 3．整理笔记和易错题。 教学反思 课堂实施中应进一步压缩例题板演时间，把更多机会留给学生说明离心率、渐近线和张口大小之间的联系。需要重点观察学生是否混淆焦距与半焦距、实轴长与实半轴长，并根据即时练习及时调整参数关系的呈现顺序。距离差建模中，分支判断仍可能被忽略，可增加有向距离差的口头解释和同伴互检。后续还应优化图像演示与代数运算的衔接，使学生既能看懂张口变化，也能规范写出方程和实际取值范围。 学科网（北京）股份有限公司 $