3.2.2 双曲线的渐近线（练习）-高教版第三版《数学 拓展模块一（上册）》【上好课】（原卷版+解析版）

**基本信息** 聚焦双曲线渐近线，通过基础巩固与综合应用分层设计，实现从概念理解到问题解决的递进，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|渐近线方程、基本矩形边界、画图步骤|直接考查方程求解（填空5-6）、概念辨析（选择3-4），强化符号意识| |提升层|焦点位置与渐近线综合、参数计算、图像应用|结合焦点参数关系（选择9、填空12）、几何变换影响（选择11），解答题（15）整合方程求解与图像绘制，发展推理能力|

高教版第三版《数学》拓展模块一（上册） 第3章 圆锥曲线 3.2.2 双曲线的渐近线 一、选择题 1. 双曲线的渐近线方程是（　　）。 A. B. C. D. 2. 双曲线的渐近线方程是（　　）。 A. B. C. D. 3. 下列双曲线的渐近线为的是（　　）。 A. B. C. D. 4. 画双曲线的大致图像时，基本矩形的边界直线应为（　　）。 A. =±1，=±2 B. =±4，=±1 C. =±2，=±4 D. =±2，=±1 二、填空题 5. 双曲线的渐近线方程为____。 6. 把方程化为标准方程后，其渐近线为____。 7. 利用渐近线画双曲线的大致图像时，应先确定两个顶点，再确定两个虚轴端点，作基本矩形及其____，最后画出两支曲线。 8. 对双曲线，当无限增大时，式子无限接近____。 一、选择题 9. 已知双曲线的焦点在x轴上，一条渐近线为，且，则其标准方程为（　　）。 A. B. C. D. 10. 若某双曲线的一条渐近线为，则下列说法一定正确的是（　　）。 A. 焦点一定在轴上 B. 基本矩形的纵向半长与横向半长之比为3 C. ， D. 标准方程唯一确定 11. 将双曲线的基本矩形横、纵方向同时放大2倍，得到一条新双曲线。新双曲线的渐近线（　　）。 A. 斜率变为原来的2倍 B. 斜率变为原来的一半 C. 仍为 D. 无法确定 二、填空题 12. 双曲线的焦点在y轴上，渐近线为，且，则其标准方程为____。 13. 双曲线的焦点在x轴上，一个顶点为，一条渐近线为，则焦距为____。 14. 方程（）表示双曲线，若一条渐近线为，则m=____。 三、解答题 15. 已知双曲线的焦点在x轴上，一条渐近线为，且经过点。 （1）求双曲线的标准方程；（2）写出基本矩形的四条边界直线，并说明如何利用渐近线画出其大致图像。 学科网（北京）股份有限公司 $ 高教版第三版《数学》拓展模块一（上册） 第3章 圆锥曲线 3.2.2 双曲线的渐近线 一、选择题 1. 双曲线的渐近线方程是（　　）。 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】实轴在x轴上，，所以斜率为。 2. 双曲线的渐近线方程是（　　）。 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】实轴在y轴上，基本矩形横向半长为3、纵向半长为5，故斜率为。 3. 下列双曲线的渐近线为的是（　　）。 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】分别按实轴方向写出基本矩形的横、纵半长。A项横向半长为6、纵向半长为4，斜率为；其余各项均不符合。 4. 画双曲线的大致图像时，基本矩形的边界直线应为（　　）。 A. =±1，=±2 B. =±4，=±1 C. =±2，=±4 D. =±2，=±1 【答案】D 【解析】由，基本矩形的四条边分别为。 二、填空题 5. 双曲线的渐近线方程为____。 【答案】 【解析】由，得。 6. 把方程化为标准方程后，其渐近线为____。 【答案】 【解析】原式化为，基本矩形横向半长为4、纵向半长为3。 7. 利用渐近线画双曲线的大致图像时，应先确定两个顶点，再确定两个虚轴端点，作基本矩形及其____，最后画出两支曲线。 【答案】两条对角线（或渐近线） 【解析】基本矩形的两条对角线所在直线就是该双曲线的两条渐近线。 8. 对双曲线，当无限增大时，式子无限接近____。 【答案】1 【解析】因为无限接近0，所以根式无限接近1。 一、选择题 9. 已知双曲线的焦点在x轴上，一条渐近线为，且，则其标准方程为（　　）。 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由设。又，得。 10. 若某双曲线的一条渐近线为，则下列说法一定正确的是（　　）。 A. 焦点一定在轴上 B. 基本矩形的纵向半长与横向半长之比为3 C. ， D. 标准方程唯一确定 【答案】B 【解析】渐近线斜率只能确定基本矩形纵、横半长的比值，不能确定焦点方向或具体尺度。 11. 将双曲线的基本矩形横、纵方向同时放大2倍，得到一条新双曲线。新双曲线的渐近线（　　）。 A. 斜率变为原来的2倍 B. 斜率变为原来的一半 C. 仍为 D. 无法确定 【答案】C 【解析】同时放大后参数变为，比值仍为，渐近线不变。 二、填空题 12. 双曲线的焦点在y轴上，渐近线为，且，则其标准方程为____。 【答案】 【解析】焦点在y轴上，所以。设，由得。 13. 双曲线的焦点在x轴上，一个顶点为，一条渐近线为，则焦距为____。 【答案】 【解析】由顶点得；由渐近线得。于是，焦距为。 14. 方程（）表示双曲线，若一条渐近线为，则m=____。 【答案】3 【解析】渐近线斜率满足。两边平方得，解得，且符合m>1。 三、解答题 15. 已知双曲线的焦点在x轴上，一条渐近线为，且经过点。 （1）求双曲线的标准方程；（2）写出基本矩形的四条边界直线，并说明如何利用渐近线画出其大致图像。 【答案】（1）；（2）。 【解析】设，则。代入M得，解得。因此。作上述四条边界直线围成基本矩形，连接两条对角线，再从两个顶点出发画出逐渐接近渐近线的两支曲线。 学科网（北京）股份有限公司 $