3.2.2 双曲线的基本几何性质（课件）-高教版第三版《数学 拓展模块一（上册）》【上好课】

该中职数学课件聚焦双曲线基本几何性质，涵盖范围、对称性、顶点、实轴及虚轴等核心知识点。教学导入通过回顾标准方程，引导学生思考如何从方程判断开口方向和图形特征，以方程变形、坐标代换和特殊值分析为支架，衔接前后知识。 其亮点在于注重数学抽象与逻辑推理，通过即时练习、师生互动辨析等环节，如判断双曲线范围和实轴虚轴长，帮助学生发展直观想象。课堂小结采用表格梳理知识，学生能系统掌握，教师可提升教学效率。

高教版第三版《数学》 拓展模块一（上册） 第3章 圆锥曲线 3.2.2 双曲线的基本 几何性质 学习目标 1．理解双曲线的范围、对称性、中心、顶点、实轴、虚轴及半轴长等基本几何性质。 2．能依据双曲线标准方程确定两支位置、对称轴、中心、顶点、实轴和虚轴，并能从正项所在变量判断开口方向。 3．经历由标准方程推导几何性质并与图形对应的过程，发展数学抽象、直观想象和逻辑推理素养。 教学导入：从标准方程研究图形 回顾：双曲线标准方程中，哪一个平方项为正，焦点就在哪一个坐标轴上。 −（，） 焦点方向能帮助我们判断曲线的开口方向吗？怎样从方程判断点的位置、图形的对称性以及曲线与坐标轴的交点？ 【答案】可以通过方程变形研究坐标范围，通过坐标取相反数研究对称性，通过令一个坐标为0研究曲线与坐标轴的交点。 【解析】标准方程把曲线上点的坐标与参数联系起来，代数变形、代换和特殊值均可转化为几何信息。 范围：从方程推出坐标约束 − − ≥0 → ≥1 ≥ → ≤−或≥ 范围结论：两支位置与开口方向 双曲线上点的横坐标满足≤−或≥； 左支位于直线−的左侧，右支位于直线的右侧； 双曲线向左、右开口。 即时练习1：范围与开口方向 双曲线−上点的横坐标范围是什么？曲线向哪个方向开口？ 【答案】 ≤−4或≥4；曲线向左、右开口。 【解析】 由得；正项为含的项，所以实轴在轴上，双曲线向左、右开口。 对称性：代换不改变方程 − 把换成−，方程不变。 把换成−，方程不变。 把(x,y)换成(−x,−y)，方程仍不变。 双曲线关于轴、轴和原点对称；轴、轴是对称轴，原点是中心。 即时练习2：由对称性写点 若点P(5,2)在一个以坐标轴为对称轴、以原点为中心的双曲线上，写出由对称性得到的另外三个点。 【答案】关于轴的对称点为(5,−2)。 关于轴和原点的对称点分别为(−5,2)、(−5,−2)。 【解析】分别写出点P关于轴、轴和原点的对称点。 顶点：令寻找实轴交点 令 ± −,0)、 双曲线与实轴的两个交点−,0)、称为双曲线的顶点。 实轴、虚轴与基本几何要素 称为实轴，长为2；是实半轴长。 令，得−，无实数解。 取−b)、，称为虚轴，长为2b；是虚半轴长。 双曲线的焦点、顶点与实轴都在同一个坐标轴上。 即时练习3：读取顶点与轴长 写出双曲线−的顶点、实轴长、虚轴长和中心。 【答案】 顶点为(−5,0)、(5,0)；实轴长为10，虚轴长为4；中心为原点。 【解析】 由、，按顶点(±,0)、实轴长2、虚轴长2b读取。 课堂背诵：对称性与顶点轴长 1．双曲线关于轴、轴和对称，坐标原点是双曲线的。 【答案】；；原点；中心。 【解析】横、纵坐标分别或同时换成相反数，方程均不变。 课堂背诵 双曲线−的顶点为，实轴长为，虚轴长为。 【答案】(−,0)、(,0)；2；2b。 【解析】正项在含横坐标的项，实轴在轴上；顶点是曲线与实轴的两个交点。 师生互动：辨析实轴长与虚轴长 对于双曲线−，有同学说“实轴长为8，虚轴长为6”。请判断并说明理由。 【答案】说法错误；实轴长为6，虚轴长为8。 【解析】正项在含的项，实轴在轴上；由，，得，。 先由正项确定实轴和开口方向，再读取、，最后写顶点和轴长。 课堂练习（一） 求双曲线−的横坐标范围，并说明两支的位置。 【答案】≤−6或≥6；左支在−6左侧，右支在右侧。 【解析】由，范围为≥6。 课堂练习（二） 若点(4,−3)在一个关于两坐标轴对称的双曲线上，写出由对称性得到的另外三个点。 【答案】(4,3)、(−4,−3)、(−4,3)。 【解析】依次取关于轴、轴和原点的对称点。 课堂练习（三） 写出双曲线−的顶点、实轴长、虚轴长和开口方向。 【答案】顶点为(0,−5)、(0,5)；向上、下开口。 实轴长为10；虚轴长为6。 【解析】正项在含的项，故实轴在轴上；由，读取顶点和轴长。 课堂练习（四） 已知双曲线的中心为原点，实轴在轴上，两个顶点为(−4,0)、(4,0)，虚轴长为6。写出、的值及标准方程。 由顶点(±,0)得 由得 【答案】，；标准方程为−。 【解析】顶点确定实半轴长，虚轴长确定虚半轴长，再代入实轴在轴上的标准形式。 课堂小结 请从“范围—对称性—顶点与轴—判断顺序”四方面概括本课。 方面 结论 范围 −中，≤−或≥。 对称性 图形关于轴、轴和原点对称，原点是中心。 顶点与轴 顶点为(−,0)、(,0)，实轴长2，虚轴长2。 判断顺序 先看正项确定实轴和开口方向，再读、，最后写范围、顶点和轴长。 作业布置 1．复习本节课的知识点； 2．完成课后练习； 3．整理笔记和易错题。 $