3.2.2 双曲线的基本几何性质（教案）-高教版第三版《数学 拓展模块一（上册）》【上好课】

该教案聚焦双曲线的范围、对称性、顶点及实轴虚轴等基本几何性质，通过回顾双曲线标准方程，提出从方程研究曲线位置、对称性和交点的问题，激活代数研究图形的经验，搭建从方程到几何性质的学习支架。 该资料以“方程变形—代数判断—图形解释—概念命名”为主线，采用问题探究与数形结合法，通过即时练习（如判断横坐标范围）和错误辨析（如实轴虚轴混淆）发展数学抽象、逻辑推理和直观想象。帮助学生形成方程读取性质的方法，助力教师高效突破重难点。

高教版第三版《数学》拓展模块一（上册） 第3章 圆锥曲线 3.2.2 双曲线的基本几何性质 授课班级 授课类型 新授课 授课教师 教学时长 1课时（45分钟） 教材分析 教材在双曲线定义和两类标准方程的基础上，提出由标准方程研究双曲线几何性质的问题，依次讨论范围、对称性和顶点，再由顶点引出实轴、虚轴及半轴长。内容按照“方程变形—代数判断—图形解释—概念命名”的顺序展开，使双曲线的位置、对称结构和基本几何要素形成联系。 本课承接双曲线标准方程的识别与求法，着重建立由方程读取范围、对称性、顶点和实虚轴的基本方法，为进一步研究双曲线图像与相关性质提供必要的坐标、参数和图形基础。 学情分析 学生已经能够识别双曲线的两类标准方程，知道正项所在变量对应焦点方向，并掌握参数、、的关系，但容易把椭圆的有界范围迁移到双曲线，或混淆实轴、虚轴与曲线实际交点。教学中需让学生从方程推导结论，再结合图形标注进行辨析，避免只凭图像记忆。 教学目标 1．理解双曲线的范围、对称性、中心、顶点、实轴、虚轴及半轴长等基本几何性质。 2．能依据双曲线标准方程确定两支位置、对称轴、中心、顶点、实轴和虚轴，并能从正项所在变量判断开口方向。 3．经历由标准方程推导几何性质并与图形对应的过程，发展数学抽象、直观想象和逻辑推理素养。 教学重难点 教学重点：由双曲线标准方程得到范围、对称性、顶点及实轴、虚轴等基本性质。 教学难点：区分实轴与虚轴，准确理解横坐标或纵坐标范围与两支位置的关系。 教学方法 问题探究法、数形结合法、对比归纳法、讲练结合法。 课前准备 教师准备：教材、演示课件。 学生准备：教材、笔记本。 教学环节设计 教学环节 教学内容 设计意图 教学导入 回顾：双曲线标准方程中，哪一个平方项为正，焦点就在哪一个坐标轴上。焦点方向能帮助我们判断曲线的开口方向吗？ 以双曲线为研究对象，思考可以怎样从方程判断曲线上点的位置、图形的对称性以及曲线与坐标轴的交点。 【答案】 可以通过方程变形研究坐标范围，通过坐标取相反数研究对称性，通过令一个坐标为0研究曲线与坐标轴的交点。 【解析】 标准方程把曲线上点的坐标与参数联系起来，代数变形、代换和特殊值均可转化为几何信息。 由已学标准方程提出研究任务，激活代数研究图形的经验，明确本课的探究主线。 新知讲授 一、双曲线的范围 将标准方程变形为。因为，所以，即。 因此，双曲线上点的横坐标满足；双曲线的左、右两支分别位于直线的左侧和直线的右侧。 即时练习1：双曲线上点的横坐标范围是什么？曲线向哪个方向开口？ 【答案】 ；曲线向左、右开口。 【解析】 由得；正项为含的项，所以实轴在x轴上，双曲线向左、右开口。 二、双曲线的对称性 在标准方程中，把换成，或把换成，方程均不变；同时把两者换成相反数，方程仍不变。 双曲线关于轴、轴和原点对称；轴、轴都是双曲线的对称轴，坐标原点是双曲线的对称中心，简称中心。 即时练习2：若点P（5，2）在一个以坐标轴为对称轴、以原点为中心的双曲线上，写出由对称性得到的另外三个点。 【答案】 （5，-2）、（-5，2）、（-5，-2）。 【解析】 分别写出点P关于轴、轴和原点的对称点。 三、顶点、实轴和虚轴 令，得，所以双曲线与x轴的两个交点为。 双曲线与实轴的两个交点称为双曲线的顶点。线段称为双曲线的实轴，它的长等于，是双曲线的实半轴长。 令，得，该方程没有实数解，所以双曲线与y轴没有交点。 在y轴上取，线段称为双曲线的虚轴，它的长等于，是双曲线的虚半轴长。 双曲线的焦点、顶点与实轴都在同一个坐标轴上。 即时练习3：写出双曲线的顶点、实轴长、虚轴长和中心。 【答案】 顶点为；实轴长为；虚轴长为；中心为坐标原点。 【解析】 由，按顶点、实轴长和虚轴长读取。 沿教材顺序由方程推导范围、对称性和顶点，并用图形与即时练习建立性质之间的联系。 课堂背诵 完成挖空并口头复述。 1．双曲线关于____轴、____轴和____对称，坐标原点是双曲线的____。 【答案】 ；；原点；中心。 【解析】 将方程中的横、纵坐标分别或同时换成相反数，方程均不变。 2．双曲线的顶点为____，实轴长为____，虚轴长为____。 【答案】 ；；。 【解析】 正项在含横坐标的项，实轴在轴上；顶点是曲线与实轴的两个交点。 通过挖空和复述检查学生对对称性、顶点、实轴与虚轴等规范结论的准确记忆。 师生互动 辨析：对于双曲线，有同学说“实轴长为8，虚轴长为6”。请判断并说明理由。 【答案】 说法错误；实轴长为6，虚轴长为8。 【解析】 正项在含的项，实轴在y轴上；由，实轴长为，虚轴长为。 教师引导学生归纳：先由正项确定实轴和开口方向，再读取、，最后写顶点和轴长。 通过典型错误辨析暴露把分母大小等同于实虚轴的误区，形成先定方向再读参数的路径。 课堂练习 1．求双曲线的横坐标范围，并说明两支的位置。 【答案】 ；左支在直线左侧，右支在直线右侧。 【解析】 由，范围为。 2．若点（4，-3）在一个关于两坐标轴对称的双曲线上，写出由对称性得到的另外三个点。 【答案】 （4，3）、（-4，-3）、（-4，3）。 【解析】 依次取关于轴、轴和原点的对称点。 3．写出双曲线的顶点、实轴长、虚轴长和开口方向。 【答案】 顶点为；实轴长为；虚轴长为；向上、下开口。 【解析】 正项在含的项，故实轴在y轴上；由读取顶点和轴长。 4．已知双曲线的中心为原点，实轴在x轴上，两个顶点为，虚轴长为。写出、b的值及标准方程。 【答案】 ；标准方程为。 【解析】 顶点为，故；由虚轴长得。 用分层练习覆盖范围、对称性、顶点轴长和由几何要素写方程，检查课堂达标情况。 课堂小结 请从“范围—对称性—顶点与轴—判断顺序”四方面概括本课。 【答案】 对于，有；图形关于两坐标轴和原点对称；顶点为，实轴长和虚轴长分别为。 【解析】 读取性质时先看正项确定实轴和开口方向，再读、，最后写范围、顶点和轴长。 按性质结构和判断路径整理本课内容，帮助学生形成可直接迁移的方程读取方法。 作业布置 1．复习本节课的知识点； 2．完成课后练习； 3．整理笔记和易错题。 教学反思 课堂实施后应重点观察学生能否从标准方程主动推导范围和对称性，而不是只凭图形记忆结论。后续可根据即时练习的错误类型，调整代数推导与图形标注的停顿位置，增加横向开口与纵向开口的对比，并让学生用完整语句说明实轴、虚轴和顶点的判断依据。若学生仍把虚轴误认为曲线与坐标轴的交线，可补充令坐标为零的反例验证，并通过同伴互评强化规范表达，使数与形的对应更加稳定。 学科网（北京）股份有限公司 $