3.2.2 双曲线的基本几何性质（练习）-高教版第三版《数学 拓展模块一（上册）》【上好课】（原卷版+解析版）

**基本信息** 本同步练习针对双曲线基本几何性质，采用基础与提升两层设计，通过选择、填空、解答题递进，覆盖概念识别到综合应用，适配新授课巩固需求，培养几何直观与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|范围、开口方向、对称性、顶点等基本概念|以选择填空为主，直接考查概念识别（如判断横坐标是否存在），夯实基础| |提升层|概念辨析（虚轴与实轴关系）、综合性质描述|含辨析选择（如虚轴实轴长度比较）和解答题（系统说明双曲线性质），培养推理与表达能力|

高教版第三版《数学》拓展模块一（上册） 第3章 圆锥曲线 3.2.2 双曲线的基本几何性质 一、选择题 1. 双曲线上某点的横坐标可能是（　　）。 A. −6 B. 0 C. 5 D. 8 【答案】D 【解析】由范围≤−7或≥7可知，四个数中只有8可能成为曲线上点的横坐标。 2. 双曲线与双曲线的开口方向（　　）。 A. 相同，都向左、右 B. 不同，分别向上、下和向左、右 C. 相同，都向上、下 D. 无法比较 【答案】B 【解析】两式正项分别是²项和²项，第一条向上、下开口，第二条向左、右开口。 3. 下列关于标准双曲线的说法正确的是（　　）。 A. 只关于轴对称 B. 只关于轴对称 C. 只关于原点对称 D. 关于轴、轴和原点都对称 【答案】D 【解析】代换→−、→−或同时代换，方程均不变，所以关于两坐标轴和原点对称。 二、填空题 4. 某双曲线的两个顶点为，则它的中心为____，实轴长为____。 【答案】原点；6 【解析】两个顶点关于中心对称，其中点为原点；两顶点间距离为实轴长6。 5. 双曲线的虚轴端点为，则虚半轴长为____，虚轴长为____。 【答案】4；8 【解析】虚轴端点到中心的距离是虚半轴长4，两端点间距离是虚轴长8。 6. 在双曲线上，横坐标等于的点____（填“存在”或“不存在”）。 【答案】不存在 【解析】曲线上点必须满足||≥，而||<，所以这样的点不存在。 7. 点P关于y轴的对称点为，则P的坐标为____，P关于原点的对称点为____。 【答案】(6,1)；(−6,−1) 【解析】关于轴对称时横坐标变号，先还原P(6,1)；再同时改变两个坐标的符号。 8. 双曲线的实轴比虚轴长____。 【答案】2 【解析】实轴长为，虚轴长为，二者相差2。 一、选择题 9. 对于双曲线，有同学说“虚轴叫‘虚’，所以虚轴一定比实轴短”。正确评价是（　　）。 A. 说法正确，虚轴长为5 B. 说法正确，虚轴长为6 C. 说法错误，本题虚轴长10，大于实轴长6 D. 说法错误，两轴长度恒相等 【答案】C 【解析】本题实轴长，虚轴长。‘虚’表示曲线与该轴没有交点，不表示长度较短。 10. 双曲线与坐标轴的交点是（　　）。 A. 只与轴交于(−6,0)、(6,0) B. 只与轴交于(0,−6)、(0,6) C. 与两坐标轴各有两个交点 D. 与两坐标轴都没有交点 【答案】B 【解析】令得=±6；令得²=−20，无实数解，所以只与轴交于两个顶点。 11. 下列结论中，关于双曲线的说法不正确的是（　　）。 A. 中心为原点 B. 顶点为(−,0)、(,0) C. 虚轴就是曲线与轴的交线 D. 焦点、顶点和实轴在同一坐标轴上 【答案】C 【解析】虚轴是按定义在轴上取B₁(0,−)、B₂(0,)得到的线段，并非曲线与轴的交线；曲线与轴没有交点。 二、填空题 12. 双曲线与双曲线的实轴长____，虚轴长____，开口方向____。（填“相同”或“不同”） 【答案】相同；相同；不同 【解析】两式都有、，所以两种轴长分别相同；正项变量互换，开口方向不同。 13. 某双曲线的两个顶点为。该双曲线的焦点、顶点和实轴都在____轴上；它与x轴____交点。（填“有”或“没有”） 【答案】；没有 【解析】顶点位于轴，故实轴在轴上；焦点、顶点和实轴共线。虚轴在轴上，曲线与虚轴没有交点。 14. 点在双曲线上，则m=____。 【答案】 【解析】代入，得，从而，所以=±6。 三、解答题 15. 已知双曲线，请说明：①它的范围与两支位置；②对称性与中心；③顶点、实轴和虚轴的端点及长度；④焦点、顶点与实轴所在坐标轴的关系。 【答案】①由≥0得≥1，即≤−4或≥4；两支分别位于直线=−4的下侧和的上侧。②把、分别或同时换成相反数，方程不变，故关于两坐标轴和原点对称，中心为原点。③、，顶点为(0,−4)、(0,4)，实轴长8，虚轴端点B₁(−3,0)、B₂(3,0)，虚轴长6。④焦点、顶点和实轴均在轴上。 【解析】由标准式先读正项变量确定实轴方向，再分别令一个坐标为0并使用非负性推导范围，最后整理轴长与共线关系。 学科网（北京）股份有限公司 $ 高教版第三版《数学》拓展模块一（上册） 第3章 圆锥曲线 3.2.2 双曲线的基本几何性质 一、选择题 1. 双曲线上某点的横坐标可能是（　　）。 A. −6 B. 0 C. 5 D. 8 2. 双曲线与双曲线的开口方向（　　）。 A. 相同，都向左、右 B. 不同，分别向上、下和向左、右 C. 相同，都向上、下 D. 无法比较 3. 下列关于标准双曲线的说法正确的是（　　）。 A. 只关于轴对称 B. 只关于轴对称 C. 只关于原点对称 D. 关于轴、轴和原点都对称 二、填空题 4. 某双曲线的两个顶点为，则它的中心为____，实轴长为____。 5. 双曲线的虚轴端点为，则虚半轴长为____，虚轴长为____。 6. 在双曲线上，横坐标等于的点____（填“存在”或“不存在”）。 7. 点P关于y轴的对称点为，则P的坐标为____，P关于原点的对称点为____。 8. 双曲线的实轴比虚轴长____。 一、选择题 9. 对于双曲线，有同学说“虚轴叫‘虚’，所以虚轴一定比实轴短”。正确评价是（　　）。 A. 说法正确，虚轴长为5 B. 说法正确，虚轴长为6 C. 说法错误，本题虚轴长10，大于实轴长6 D. 说法错误，两轴长度恒相等 10. 双曲线与坐标轴的交点是（　　）。 A. 只与轴交于(−6,0)、(6,0) B. 只与轴交于(0,−6)、(0,6) C. 与两坐标轴各有两个交点 D. 与两坐标轴都没有交点 11. 下列结论中，关于双曲线的说法不正确的是（　　）。 A. 中心为原点 B. 顶点为(−,0)、(,0) C. 虚轴就是曲线与轴的交线 D. 焦点、顶点和实轴在同一坐标轴上 二、填空题 12. 双曲线与双曲线的实轴长____，虚轴长____，开口方向____。（填“相同”或“不同”） 13. 某双曲线的两个顶点为。该双曲线的焦点、顶点和实轴都在____轴上；它与x轴____交点。（填“有”或“没有”） 14. 点在双曲线上，则m=____。 三、解答题 15. 已知双曲线，请说明：①它的范围与两支位置；②对称性与中心；③顶点、实轴和虚轴的端点及长度；④焦点、顶点与实轴所在坐标轴的关系。 学科网（北京）股份有限公司 $