3.2.1 双曲线标准方程的识别与求法（教案）-高教版第三版《数学 拓展模块一（上册）》【上好课】

该教案聚焦双曲线两种标准方程的识别与求法，通过回顾焦点在x轴的标准方程及参数关系，对比交换x、y位置的方程引发思考，搭建新旧知识联系的学习支架，自然引出焦点在y轴的标准方程。 特色在于采用对比归纳与问题探究法，通过方程结构横向比较、“正项对应焦点轴”口诀强化数学抽象，即时纠错和规范表达培养逻辑推理，课堂练习递进设计提升直观想象。帮助学生掌握参数关系与解题步骤，助力教师聚焦重点、高效突破重难点。

高教版第三版《数学》拓展模块一（上册） 第3章 圆锥曲线 3.2.1 双曲线标准方程的识别与求法 授课班级 授课类型 新授课 授课教师 教学时长 1课时（45分钟） 教材分析 教材在双曲线定义和焦点在轴的标准方程已经学习的基础上，进一步给出焦点在轴的标准方程，并通过两类典型任务组织知识：一类是由焦点位置、焦距、距离差或过点条件求标准方程，另一类是由方程识别焦点所在坐标轴、焦点坐标和焦距。教材用“正项对应焦点轴”概括两种标准方程的辨认方法，使方程结构、参数关系与几何要素形成联系。 本课承接双曲线定义和焦点在x轴的标准方程，进一步学习焦点在y轴的标准方程，并通过两类典型任务联系方程结构、参数关系与几何要素，为后续几何性质的学习奠定基础。 学情分析 学生已经理解双曲线定义，并在上一课时经历了焦点在轴时标准方程及参数关系的推导，具备由几何条件确定参数的基础。但面对焦点在轴的情形，容易机械套用原式；面对非标准形式，容易忽略先化为标准方程，或误把负项对应的坐标轴判断为焦点轴。教学中需借助两种方程的对比、口头说明理由和即时纠错，强化符号、轴向与参数之间的对应关系。 教学目标 1．掌握焦点在轴的双曲线标准方程，能比较并识别两种标准方程的结构，理解参数、、之间的关系。 2．能根据焦点位置、焦距、距离差或过点条件求双曲线的标准方程，能由方程求焦点坐标和焦距。 3．在观察方程结构、比较两种形式和说明判断理由的过程中，发展数学抽象、直观想象与逻辑推理素养。 教学重难点 教学重点：双曲线两种标准方程的识别，以及由已知条件求标准方程。 教学难点：把几何条件准确转化为参数条件，并依据正项所在位置判断焦点轴。 教学方法 问题探究法、对比归纳法、讲练结合法。 课前准备 教师准备：教材、演示课件。 学生准备：教材、笔记本。 教学环节设计 教学环节 教学内容 设计意图 教学导入 回顾：焦点在轴的双曲线标准方程具有什么结构？其中、、满足什么关系？请学生只说结论，不重复推导过程。 教师给出方程与方程，追问：两式只交换了x、y的位置，焦点方向会发生怎样的变化？ 教材图示：双曲线情境与坐标系示意图。 以简短回顾激活上一课时结论，通过两式对比制造认知冲突，自然引出焦点在轴的标准方程及识别方法。 新知讲授 一、比较两种标准方程 教材图示：焦点在y轴的双曲线与坐标系示意图。 回顾焦点在x轴的标准方程：，焦点坐标为。本课仅回顾该结论。 焦点在y轴的双曲线标准方程为，其中。 此时焦点坐标为，焦距为。 即时判断：比较两种标准方程，观察哪一个平方项为正。含²的项为正，焦点在轴上；含²的项为正，焦点在轴上。 二、求双曲线标准方程的基本步骤 第一步辨轴：根据焦点坐标或正项位置确定方程形式；第二步定量：由距离差确定2，由焦距确定2c，再用²=²+²求其余参数；第三步写式：将²、²代入对应标准形式；第四步检验：核对焦点方向、参数正值和已知条件。 例：焦点在x轴上，焦距为14，双曲线上一点到两个焦点的距离之差的绝对值等于6。由，得。 【答案】 【解析】 先由焦点在轴上确定标准方程形式，再由焦距与距离差分别求和，最后利用参数关系求²。 通过横向比较突出两种标准方程的共同结构和轴向差异，再用固定步骤示范几何条件向参数条件的转化。 课堂背诵 请完成口头补全： 请补全焦点在y轴时的方程、焦点坐标和参数关系 【答案】；；。 【解析】双曲线标准方程中，哪一个平方项为正，焦点就在哪一个坐标轴上。 通过完整复述和补全检查学生对方程形式、焦点坐标及参数关系的准确记忆，为后续运用建立清晰提取线索。 师生互动 任务：将方程化为标准方程，并说明焦点在哪个坐标轴上。学生先独立判断，再同桌互相说明理由。 【答案】焦点在轴上。 【解析】先化为，含y²的项为正，所以焦点在y轴上。 要求学生先化标准式再说明理由，以交流和互评暴露“未化标准式直接看符号”等典型错误，强化规范判断流程。 课堂练习 1．判断方程的焦点所在坐标轴，并求焦点坐标和焦距。 【答案】焦点在轴上；焦点坐标为,0)、(5,0)，焦距为10。 【解析】，故c=5。 2．判断方程的焦点所在坐标轴，并求焦点坐标和焦距。 【答案】焦点在轴上；焦点坐标为(0,-6)、(0,6)，焦距为12。 【解析】，故c=6。 3．已知双曲线焦点在轴上，焦距为10，双曲线上一点到两个焦点的距离之差的绝对值等于6，求标准方程。 【答案】 【解析】由得。 4．已知双曲线焦点在x轴上，且经过点，其中，求标准方程。 【答案】 【解析】设方程为，代入已知点得。 用四个题次覆盖辨轴、求焦点、由定义量求方程和过点待定系数，形成由基础识别到综合求法的递进检测。 课堂小结 请用四句话概括本课：两种标准方程看什么辨轴？由焦距和距离差分别得到什么参数？参数、、满足什么关系？求方程时按怎样的顺序进行？ 【答案】看正项所在的平方项辨轴；由焦距得到2c，由距离差的绝对值得到2；²=²+²；按“辨轴—定量—写式—检验”的顺序求解。 【解析】辨轴决定方程形式，定量确定参数，写式完成表达，检验用于发现轴向或参数错误。 以问题串引导学生主动提炼方程结构和解题路径，把零散结论整理为可迁移使用的认知框架。 作业布置 1．复习本节课的知识点； 2．完成课后练习； 3．整理笔记和易错题。 教学反思 本课教学应避免把上一课时已完成的焦点在轴标准方程推导重新展开，导入阶段以结论回顾和结构对比为主，把时间集中用于焦点在轴的方程、辨轴规则和求方程步骤。实施中需观察学生能否先把非标准方程化为标准式，能否区分焦距2c与参数、距离差2与参数，并据此调整例题讲解速度。课堂练习后可根据错误类型安排同伴说明理由，强化“正项对应焦点轴”和“先辨轴后定量”的规范表达；若过点求方程完成度偏低，后续应增加待定系数法的分步提示。 学科网（北京）股份有限公司 $