3.2.1 双曲线的定义与标准方程（课件）-高教版第三版《数学 拓展模块一（上册）》【上好课】

该中职数学课件聚焦双曲线的定义、焦点、焦距及焦点在x轴上的标准方程，通过广州塔轮廓观察和拉链实验操作导入，搭建从生活实例到实验抽象再到数学定义的学习支架。 其亮点在于结合生活实例和实验培养数学眼光，推导方程中两次平方及参数关系推导体现数学思维，标准方程与参数关系强化数学语言。通过即时练习辨析定义条件、师生互动补全推导链等，助学生提升直观想象和数学运算素养，为教师提供结构化教学流程，提高教学效率。

高教版第三版《数学》 拓展模块一（上册） 第3章 圆锥曲线 3.2.1 双曲线的定义与 标准方程 学习目标 1．理解双曲线、焦点和焦距的定义，准确把握距离差的绝对值及常数小于焦距的条件，掌握焦点在轴上的标准方程和参数关系。 2．能依据图形对称性建立适当坐标系，用两点间距离公式列出关系式，并通过移项、平方和整理推导标准方程。 3．通过观察广州塔轮廓、分析拉链实验和类比椭圆建系过程，体会数形结合与坐标法，提升直观想象、数学抽象和数学运算素养。 广州塔轮廓有什么特点？ 广州塔两侧的轮廓线是什么曲线，有什么特点？ 两条轮廓线关于塔中轴线对称，分别从塔的腰部向上下两个方向延伸。 这样的两支曲线怎样画出，又能用怎样的数量关系刻画？ 拉链实验 1．取一条拉链，把它拉开分成两条，将其中一条剪短；长、短拉链端点分别固定在、处。 2．将笔尖放在锁扣处，随着拉链拉开或闭合，画出右侧曲线。 3．交换长、短拉链端点的固定位置，画出左侧曲线。 距离之差的绝对值保持不变 笔尖移动时，哪些量在变化，哪个量保持不变？ 点到、的距离都在变化，但两距离之差的绝对值始终保持不变。 一般地，把平面内与两个定点、的距离之差的绝对值为常数（小于）的点的轨迹称为双曲线。这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点之间的距离称为双曲线的焦距。 关键：距离之差的绝对值；不是距离和；常数必须小于焦距。 即时练习：定义条件辨析 1．把双曲线定义补充完整：平面内与两个定点的距离之差的为常数，且这个常数两定点间的距离。 【答案】绝对值；小于。 【解析】两个关键词必须同时出现：先对距离之差取绝对值，常数还要小于两焦点间的距离。 2．判断：平面内到两个定点的距离之差为同一个常数的点的轨迹一定是双曲线。 【答案】错误。 【解析】定义要求距离之差的绝对值为常数，并且这个常数小于两定点间的距离，题干条件不完整。 为双曲线建立坐标系 怎样建立适当的坐标系求双曲线的方程？ 以经过两焦点、的直线为轴，以线段的垂直平分线为轴。 设M(x,y)，焦点为、。 焦距为2c。 把定义写成距离方程 其中。 去掉外层绝对值，可写成含±号的根式方程： 移项并第一次平方 再次平方并整理 公共因子： 得到焦点在轴上的标准方程 ，；；焦点为、。 即时练习：参数读取与计算 1．某双曲线的焦距为10，双曲线上一点到两焦点的距离之差的绝对值为6，则，。 【答案】5；3。 【解析】由得；由得。 2．若双曲线标准方程中的，，则。 【答案】5。 【解析】由，得；因为，所以。 课堂背诵：定义填空 合上教材完成：平面内与两个定点的距离之差的为常数，且这个常数两定点间的距离，这样的点的轨迹称为双曲线；两个定点称为双曲线的，两焦点间的距离称为双曲线的。 【答案】绝对值；小于；焦点；焦距。 【解析】复述时不能遗漏“绝对值”和“常数小于两定点间距离”两个关键条件。 课堂背诵：公式与条件复述 焦点在轴上时，双曲线的标准方程是什么？参数、、满足什么关系？焦点坐标是什么？ ，；；、。 【解析】书写时要保留右端的1和条件，，并注意双曲线中等于与之和。 师生互动：补全推导链 设焦点为、，双曲线上的点M(x,y)满足距离差绝对值条件。两次平方并整理后得到。请补全：由定义可知，因此可令，再写出标准方程。学生先独立完成，再与同桌核对条件、参数关系和每一步等价变形。 【答案】第一空：。 第二空：（）。 标准方程：。 【解析】常数2小于焦距2c，所以，从而；引入正数后再同时除以即可。 课堂练习（一）：定义与参数 1．判断：若平面内动点到两个定点的距离之差的绝对值为8，而两定点间的距离为6，则该动点的轨迹是双曲线。 【答案】错误。 【解析】常数8大于两定点间距离6，不满足双曲线定义中“常数小于两定点间距离”的条件。 2．已知，且，，则。 【答案】13。 【解析】，又，所以。 课堂练习（二）：由方程求焦距 已知双曲线焦点在轴上，标准方程为，求焦距。 ， ，， 【答案】10。 【解析】由，，得，所以，焦距。 课堂练习（三）：由焦点和距离差求方程 已知双曲线的焦点为、，双曲线上一点到两焦点的距离之差的绝对值为6，求该双曲线的标准方程。 由焦点坐标得。 由得。 。 课堂小结 学生回答三个问题：双曲线由什么不变量刻画？焦点在轴上时怎样建立标准方程？书写结论时最容易遗漏什么条件？ 1．距离之差的绝对值为常数，且常数小于焦距。 2．建系后用两点间距离公式列式，经移项和两次平方化简。 3．标准方程为；保留、及。 核对绝对值、常数范围、参数正值和焦点位置。 作业布置 1．复习本节课的知识点； 2．完成课后练习； 3．整理笔记和易错题。 $