3.2.1 双曲线的定义与标准方程（教案）-高教版第三版《数学 拓展模块一（上册）》【上好课】

该教案聚焦双曲线的定义与标准方程，以广州塔轮廓情境导入激活生活经验，通过拉链实验观察动点到两定点距离差的绝对值不变引出定义，承接椭圆学习基础，为后续方程识别与性质研究搭建支架。 此资料采用情境教学与实验探究法，广州塔轮廓观察培养数学眼光，拉链实验与两次平方推导过程强化数学思维，标准方程参数关系梳理提升数学语言表达。即时练习与师生互动助学生掌握定义条件与方程推导，为教师提供清晰教学环节与反馈策略，有效提升课堂效率。

高教版第三版《数学》拓展模块一（上册） 第3章 圆锥曲线 3.2 双曲线 3.2.1 双曲线的标准方程——双曲线的定义与标准方程 授课班级 授课类型 新授课 授课教师 教学时长 1课时（45分钟） 教材分析 教材从广州塔两侧轮廓引出双曲线，借助拉链实验观察动点到两个定点的距离之差的绝对值不变，进而形成双曲线、焦点和焦距的概念；随后类比椭圆标准方程的建立过程，利用图形对称性建系，把几何条件转化为距离关系，经两次平方与代数整理得到焦点在轴上的标准方程及参数关系。 本课承接平面直角坐标系、两点间距离公式以及椭圆定义与标准方程的学习，是认识双曲线并运用坐标法研究其方程的起点，为后续双曲线标准方程的识别、求法及几何性质研究奠定基础。 学情分析 学生已经掌握平面直角坐标系、两点间距离公式，并经历过由椭圆定义建立标准方程的过程，具备类比建系和列式的基础。但学生容易把双曲线的“距离差的绝对值”与椭圆的“距离和”混淆，也可能遗漏常数小于焦距的条件；推导中根式移项、正负号处理和两次平方仍需分步引导与即时反馈。 教学目标 1．理解双曲线、焦点和焦距的定义，准确把握距离差的绝对值及常数小于焦距的条件，掌握焦点在轴上的标准方程和参数关系。 2．能依据图形对称性建立适当坐标系，用两点间距离公式列出关系式，并通过移项、平方和整理推导标准方程。 3．通过观察广州塔轮廓、分析拉链实验和类比椭圆建系过程，体会数形结合与坐标法，提升直观想象、数学抽象和数学运算素养。 教学重难点 教学重点：双曲线定义中的距离差绝对值与限制条件，焦点在轴上的标准方程及参数关系。 教学难点：把距离差的绝对值转化为含正负号的根式方程，并通过两次平方规范推导标准方程。 教学方法 情境教学法、实验探究法、类比归纳法、讲练结合法。 课前准备 教师准备：教材、演示课件。 学生准备：教材、笔记本。 教学环节设计 教学环节 教学内容 设计意图 教学导入 一、观察广州塔轮廓 教师展示广州塔图片并提出问题：广州塔两侧的轮廓线是什么曲线，有什么特点？学生观察后说明，两条轮廓线关于塔中轴线对称，分别从塔的腰部向上下两个方向延伸。教师追问：这样的两支曲线怎样画出，又能用怎样的数量关系刻画？ 借助广州塔轮廓激活生活经验，引导学生关注双曲线的两支结构与对称特点，形成探究其生成条件的需要。 新知讲授 一、通过拉链实验认识双曲线 【实验操作】（1）取一条拉链，把它拉开分成两条，将其中一条剪短。把长的一条的端点固定在点F₁处，短的一条的端点固定在点F₂处；（2）将笔尖放在拉链锁扣M处，随着拉链的拉开或闭合，笔尖画出右侧曲线；（3）交换长、短两条拉链端点的固定位置，笔尖画出左侧曲线。 教师追问：笔尖移动时，哪些量在变化，哪个量保持不变？学生结合拉链不可伸缩的特点说明，点M到两个定点F₁、F₂的距离都在变化，但两距离之差的绝对值始终保持不变。 一般地，把平面内与两个定点F1、F2的距离之差的绝对值为常数（小于|F1F2|）的点的轨迹称为双曲线。这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点之间的距离称为双曲线的焦距。 【概念辨析】定义强调的是“距离之差的绝对值”，不是距离和；这个常数必须小于两焦点间的距离。 【即时练习1】把双曲线定义补充完整：平面内与两个定点的距离之差的____为常数，且这个常数____两定点间的距离。 【答案】绝对值；小于。 【解析】两个关键词必须同时出现：先对距离之差取绝对值，常数还要小于两焦点间的距离。 【即时练习2】判断：平面内到两个定点的距离之差为同一个常数的点的轨迹一定是双曲线。 【答案】错误。 【解析】定义要求距离之差的绝对值为常数，并且这个常数小于两定点间的距离，题干条件不完整。 二、建立焦点在轴上的标准方程 教师提出问题：我们曾利用椭圆的对称性建立平面直角坐标系并推导标准方程。对于双曲线，怎样建立适当的坐标系求它的方程？学生类比已有经验，先选择坐标系，再把定义中的距离关系写成代数式。 【建立坐标系】以经过双曲线两焦点、的直线为x轴，以线段的垂直平分线为y轴。设双曲线上的任意一点为，焦距为，则焦点坐标分别为。 【列出关系】设点与两焦点的距离之差的绝对值为，由定义有，其中。去掉外层绝对值可写为： 【移项并第一次平方】孤立一个根式后，两边平方并整理，得到： 【再次平方并整理】等式两边再次平方，移项、合并同类项，依次得到： 由双曲线定义可知，因此。令，则可得： 焦点在x轴上的双曲线标准方程为，其中；参数关系为；焦点坐标为。 【即时练习3】某双曲线的焦距为10，双曲线上一点到两焦点的距离之差的绝对值为6，则，。 【答案】5；3。 【解析】由得；由得。 【即时练习4】若双曲线标准方程中的，，则。 【答案】5。 【解析】由，得；因为，所以。 按照实验观察、形成定义、类比建系和分步推导的顺序展开，突出距离差绝对值、限制条件及两次平方的依据。 课堂背诵 一、定义填空 合上教材完成：平面内与两个定点的距离之差的____为常数，且这个常数____两定点间的距离，这样的点的轨迹称为双曲线；两个定点称为双曲线的____，两焦点间的距离称为双曲线的____。 【答案】绝对值；小于；焦点；焦距。 【解析】复述时不能遗漏“绝对值”和“常数小于两定点间距离”两个关键条件。 二、公式与条件复述 焦点在轴上时，双曲线的标准方程是什么？参数、、满足什么关系？焦点坐标是什么？ 【答案】标准方程为，其中；参数关系为；焦点坐标为。 【解析】书写时要保留右端的和条件，并注意双曲线中等于与之和。 用挖空复述和完整公式回忆组织提取练习，检查学生对定义条件、标准方程、参数关系和焦点坐标的准确记忆。 师生互动 推导链补全与互评 设焦点为，双曲线上的点满足距离差绝对值条件。两次平方并整理后得到。请补全：由定义可知____，因此可令____，再写出标准方程。学生先独立完成，再与同桌核对条件、参数关系和每一步等价变形。 【答案】第一空：；第二空：；标准方程：。 【解析】常数小于焦距，所以，从而；引入正数后再同时除以即可。 通过补全推导、同伴核对和说明理由暴露运算断点，促使学生把定义条件、代数变形与参数关系连成完整过程。 课堂练习 1．判断：若平面内动点到两个定点的距离之差的绝对值为8，而两定点间的距离为6，则该动点的轨迹是双曲线。 【答案】错误。 【解析】常数8大于两定点间距离6，不满足双曲线定义中“常数小于两定点间距离”的条件。 2．已知，且，则。 【答案】13。 【解析】，又，所以。 3．已知双曲线焦点在x轴上，标准方程为，求焦距。 【答案】10。 【解析】由，得，所以，焦距。 4．已知双曲线的焦点为，双曲线上一点到两焦点的距离之差的绝对值为，求该双曲线的标准方程。 【答案】。 【解析】由焦点坐标得；由距离差的绝对值为得，即。于是，故标准方程如上。 设置定义判断、参数计算、焦距求解和方程建立四个梯度任务，检测课堂达成情况并针对典型错误及时反馈。 课堂小结 学生回答三个问题：双曲线由什么不变量刻画？焦点在轴上时怎样建立标准方程？书写结论时最容易遗漏什么条件？ 【答案】双曲线由动点到两个定点的距离之差的绝对值为常数刻画，且常数小于焦距；建系后用两点间距离公式列式，经移项和两次平方化简；书写时容易遗漏以及。 【解析】拉链实验中的距离差绝对值不变量形成双曲线定义，定义中的距离关系经坐标法转化为焦点在轴上的标准方程。判断与计算时要核对绝对值、常数范围、参数正值和焦点位置。 以不变量、建系推导和易错条件三个问题串联全课，帮助学生形成从几何轨迹到代数方程的清晰认知结构。 作业布置 1．复习本节课的知识点； 2．完成课后练习； 3．整理笔记和易错题。 教学反思 课堂实施中可进一步压缩情境介绍，把更多时间留给拉链实验后的数量关系提炼和标准方程推导。实验观察后应及时追问“什么量变化、什么量不变”，并通过与椭圆定义对照纠正把距离差写成距离和的错误。两次平方处可增加分步板演和同伴核对，突出先孤立根式、再平方整理的顺序。练习反馈应重点收集遗漏绝对值、常数范围和参数关系写反等问题，据此调整问题梯度与讲练节奏。 学科网（北京）股份有限公司 $