3.1.2 椭圆图像与综合应用（课件）-高教版第三版《数学 拓展模块一（上册）》【上好课】

该中职数学课件聚焦椭圆图像绘制、直线与椭圆交点判断及焦点距离和、光学性质应用，通过椭圆球形桌实验导入，回顾定义与方程引出焦点距离关系，搭建旧知到新知的学习支架。 其亮点是情境化导入激发兴趣，分层教学从描点法到顶点快速作图，结合直观想象与数学建模素养，如用焦点距离和解决反弹路程问题，课堂小结结构化自检提升能力，助力学生发展核心素养，教师教学流程清晰高效。

高教版第三版《数学》 拓展模块一（上册） 第3章 圆锥曲线 3.1.2 椭圆图像与综合应用 学习目标 1．会用描点法及顶点、对称性画椭圆图像，能根据标准方程判断图像的关键特征。 2．能通过联立直线与椭圆方程求交点，并由所得一元二次方程的实数解情况判断交点个数。 3．能识别焦点距离和不变关系，解决焦点弦周长与光学性质情境问题，发展直观想象和数学建模素养。 教学引入 展示椭圆球形桌实验示意图：静止在一个焦点的小球沿直线击出，经椭圆壁反弹后为什么会到达另一个焦点？运动路程由什么量决定？ 观察图形，回顾椭圆的定义、标准方程和几何性质，提出可能用到的焦点距离关系。 例7：用描点法画椭圆 例7 用“描点法”画出椭圆的图像。 【解析】由于椭圆具有对称性，一般只需先画出椭圆在第一象限内的图像，然后利用对称性，画出全部图像。 例7：用描点法画椭圆 当≥0时，椭圆的方程可以变形为： ，−5≤≤5 在[0,5]内选取的值，并计算对应的值。 例7：用描点法画椭圆 在[0,5]内，选取几个整数作为的值，计算出对应的值。 0 1 2 3 4 5 3 2.94 2.75 2.4 1.8 0 由数据点生成第一象限图像 以表中的值为横坐标，以对应的值为纵坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点。 用光滑曲线依次连接各点。 x y 利用对称性得到完整椭圆 先得到第一象限内的图像。 关于轴对称。 再关于轴对称，画出全部图像。 四个顶点决定椭圆的大致轮廓 由，得，长轴顶点为−5,0)、。 由，得，短轴顶点为−3)、。 x y 方程实数解个数对应交点个数 联立方程 → 消去一个未知数 → 得到一元二次方程 两个不等实数解 相交 两个相等实数解 相切 无实数解 相离 焦点距离和可以转化为2a 椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于长轴长。 把有关线段重新组合成若干个焦点距离和。 椭圆内壁的光线反射 从椭圆的一个焦点发出的光线经椭圆内壁反射后，必经过另一个焦点。 课堂背诵：三条方法要点 1．画椭圆大致图像时，先确定长轴、短轴方向及四个顶点，再利用对称性用光滑曲线连接。 2．直线与椭圆联立后，根据所得一元二次方程实数解的个数判断交点个数。 3．椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于2a；从一个焦点发出的光线经椭圆内壁反射后经过另一个焦点。 椭圆球形桌中的反弹路程 问题：某椭圆球形桌的长轴长为4 m，点A、B是它的两个焦点。小球从A点沿直线出发，经椭圆壁上一点P反弹后到达B点，经过的路程是多少？ 追问：焦距为2 m是否参与路程计算？它能帮助确定哪些几何量？交流后说明理由。 用焦点距离和求反弹路程 【答案】4 m 【解析】反弹路程为。点P在椭圆上，由椭圆定义可知，所以经过的路程为4 m。 课堂练习（一）：求交点坐标 1．求直线与椭圆的交点坐标。 【答案】(−4,−2)、(4,−2)。 【解析】由−2代入椭圆方程，得，所以，即±4。故交点为(−4,−2)、(4,−2)。 课堂练习（二）：求焦点弦周长 2．椭圆的两个焦点分别为、，经过左焦点的直线与椭圆相交于A、B两点，求△的周长。 【答案】20。 【解析】由于A、B在椭圆上，，。又A、、B共线，所以三角形周长等于上述两个距离和之和，即20。 课堂练习（三）：综合应用 课堂练习（三）：综合应用 课堂小结 1．描点时利用对称性减少计算。 2．快速作图先找长短轴和四个顶点。 3．研究直线与椭圆先联立并关注实数解个数。 4．处理周长与光程时识别焦点距离和并转化为长轴长。 自检：面对一个椭圆综合问题，我能否先判断它主要考查图像、交点、距离和还是光学性质，再选择对应方法？ 作业布置 1．复习本节课的知识点； 2．完成课后练习； 3．整理笔记和易错题。 1．(多选)已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，短轴长等于，离心率为，过焦点作轴的垂线交椭圆于两点，则下列说法正确的是（    ） A．椭圆的方程为 B．椭圆的焦距为2 C． D．的周长为 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 【答案】BC 【详解】对于A，设椭圆的方程为，则由题意得，离心率为，即，即椭圆的方程为，A错误； 对于B，由，可得椭圆的焦距为2，B正确； 对于C，不设椭圆的焦点，将代入中，    可得，故，C正确； 对于D，的周长为，D错误； 故选：BC $