3.1.2 椭圆图像与综合应用（教案）-高教版第三版《数学 拓展模块一（上册）》【上好课】

该教案聚焦椭圆图像绘制、直线与椭圆交点判断及焦点距离和应用等核心知识，以椭圆球形桌光学实验导入，激活椭圆定义与性质，搭建从定义到方程再到综合应用的学习支架。 其特色在于融入数学核心素养，通过问题探究法引导学生用数学眼光观察光学现象，借助联立方程判断交点发展逻辑推理，如小球反弹路程问题培养数学建模能力。分层练习与方法链梳理帮助学生提升直观想象，为教师提供高效综合教学方案，夯实圆锥曲线学习基础。

高教版第三版《数学 拓展模块一（上册）》 第3章 圆锥曲线 3.1.2 椭圆图像与综合应用 授课班级 授课类型 新授课 授课教师 教学时长 1课时（45分钟） 教材分析 教材在椭圆定义、标准方程和几何性质的基础上，先以例7呈现描点作图，再引导学生利用顶点和对称性快速勾画图像，随后安排直线与椭圆交点、焦点距离和及光学性质应用，使图像、方程、性质和实际情境形成连续的知识链。 本课是3.1节的综合收束课时，既检验学生对椭圆标准方程与基本性质的迁移运用，又为后续圆锥曲线中作图、方程联立和几何量转化积累方法经验。 学情分析 学生已掌握椭圆的定义、标准方程、范围、对称性、顶点和离心率，也具备解方程组的基础。学习中容易机械描点、忽视对称性，或在联立方程后只求坐标而不关注实数解个数；对焦点距离和不变与周长、光程之间的转化还需要借助图形和问题链强化。 教学目标 1．会用描点法及顶点、对称性画椭圆图像，能根据标准方程判断图像的关键特征。 2．能通过联立直线与椭圆方程求交点，并由所得一元二次方程的实数解情况判断交点个数。 3．能识别焦点距离和不变关系，解决焦点弦周长与光学性质情境问题，发展直观想象和数学建模素养。 教学重难点 教学重点：优先利用顶点和对称性作图；联立方程求直线与椭圆交点；把焦点距离和转化为长轴长。 教学难点：根据方程解的情况判断交点个数，并在周长、光程等情境中识别椭圆定义所刻画的不变量。 教学方法 问题探究法、直观演示法、讲练结合法。 课前准备 教师准备：教材、演示课件。 学生准备：教材、笔记本。 教学环节设计 教学环节 教学内容 设计意图 教学导入 展示椭圆球形桌实验示意图：静止在一个焦点的小球沿直线击出，经椭圆壁反弹后为什么会到达另一个焦点？运动路程由什么量决定？ 学生观察图形，回顾椭圆的定义、标准方程和几何性质，提出可能用到的焦点距离关系。 以教材光学实验制造认知悬念，激活椭圆定义及基本性质，为图像、方程和应用的综合学习建立问题主线。 新知讲授 一、描点法画椭圆 例7 用“描点法”画出椭圆的图像。 【解析】 由于椭圆具有对称性，一般只需先画出椭圆在第一象限内的图像，然后利用对称性，画出全部图像。 当时，椭圆的方程可以变形为。 在[0,5]内，选取几个整数作为的值，计算出对应的值，列表（表）。 x 0 1 2 3 4 5 y 3 2.94 2.75 2.4 1.8 0 以表中的值为横坐标，以对应的值为纵坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点，用光滑曲线依次连接各点，得到椭圆在第一象限内的图像。然后根据椭圆的对称性，画出全部图像。 【答案】 所作图像如下。 二、利用顶点和对称性画椭圆 由，得，长轴顶点为、；由，得，短轴顶点为、。用光滑曲线连接四个顶点，可画出椭圆的大致图像。 三、直线与椭圆的位置关系 把直线方程与椭圆方程联立，消去一个未知数，得到一元二次方程。方程有两个不等实数解、两个相等实数解或无实数解时，直线与椭圆分别相交、相切或相离。 四、椭圆定义与光学性质的应用 椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于。解决焦点弦周长或反射路程问题时，要把有关线段重新组合成若干个焦点距离和。 从椭圆的一个焦点发出的光线会沿着连接该点和椭圆上点的直线，经椭圆内壁反射后，必经过椭圆的另一个焦点。 按描点、关键点作图、方程联立和不变量应用的顺序组织新知，使学生在图形与代数互证中形成可迁移的方法链。 课堂背诵 1．画椭圆大致图像时，先确定长轴、短轴方向及四个顶点，再利用对称性用光滑曲线连接。 2．直线与椭圆联立后，根据所得一元二次方程实数解的个数判断交点个数。 3．椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于；从一个焦点发出的光线经椭圆内壁反射后经过另一个焦点。 用短时提取复述巩固作图步骤、交点判断和距离和不变量，检查关键方法能否脱离例题准确表达。 师生互动 问题：某椭圆球形桌的长轴长为4 ，点A、B是它的两个焦点。小球从A点沿直线出发，经椭圆壁上一点P反弹后到达B点，经过的路程是多少？ 【答案】 。 【解析】 反弹路程为。点P在椭圆上，由椭圆定义可知，所以经过的路程为。 追问：焦距为2 是否参与路程计算？它能帮助确定哪些几何量？学生交流后说明理由。 通过教材实验问题与追问，让学生辨析必要信息并主动完成线段重组，突出焦点距离和不变的建模价值。 课堂练习 1．求直线与椭圆的交点坐标。 【答案】 、。 【解析】 由代入椭圆方程，得，所以，即。故交点为、。 2．椭圆的两个焦点分别为F₁、F₂，经过左焦点F₁的直线与椭圆相交于A、B两点，求△ABF₂的周长。 【答案】 。 【解析】 由于A、B在椭圆上，，。又A、F₁、B共线，所以三角形周长等于上述两个距离和之和，即。 用一题方程联立和一题焦点弦周长分层检测达标情况，及时暴露漏解、交点判断和线段重组方面的典型错误。 课堂小结 本课形成四条方法线：描点时利用对称性减少计算；快速作图先找长短轴和四个顶点；研究直线与椭圆先联立并关注实数解个数；处理周长与光程时识别焦点距离和并转化为长轴长。 自检：面对一个椭圆综合问题，我能否先判断它主要考查图像、交点、距离和还是光学性质，再选择对应方法？ 将分散任务整理为图像、方程和不变量三类解决路径，帮助学生建立选择方法的依据并为后续迁移作准备。 作业布置 1．复习本节课的知识点； 2．完成课后练习； 3．整理笔记和易错题。 教学反思 本课内容跨度较大，实施时需进一步优化例7描点、交点计算和应用探究的时间配比，避免作图环节耗时过多挤压综合应用。课堂提问可增加对“为什么只取第一象限”“方程解的个数说明什么”“哪些线段能组成焦点距离和”的追问，并根据学生板演及时归纳漏解、符号和线段重组错误。光学实验应突出数学关系，控制情境说明篇幅；后续可依据课堂练习正确率调整联立运算的支架与分层练习梯度。 学科网（北京）股份有限公司 $