3.1.2 椭圆的离心率及方程确定（课件）-高教版第三版《数学 拓展模块一（上册）》【上好课】

该中职数学课件聚焦椭圆离心率的定义、取值范围、与扁平程度关系及标准方程确定，通过“罐体截面为何设计成椭圆形”的生活问题导入，衔接椭圆基本性质，构建从概念理解到方程应用的学习支架。 其亮点在于融合直观想象（观察椭圆形状）、逻辑推理（条件转化与分类讨论）、数学运算（基本量计算），通过即时练习、条件卡片互动等环节强化应用。帮助学生提升数学素养，教师可借助结构化内容高效开展教学。

高教版第三版《数学》 拓展模块一（上册） 第3章 圆锥曲线 3.1.2 椭圆的离心率及 方程确定 学习目标 1．理解椭圆离心率的定义、取值范围及其与扁平程度的关系，掌握由离心率联系、、的方法。 2．能根据椭圆方程、顶点、短轴长和离心率等条件求基本量，并确定相应的标准方程。 3．通过观察椭圆形状、转化文字条件和比较两类方程，提升直观想象、逻辑推理和数学运算素养。 教学引入 思考：为什么这些罐体的截面常设计成椭圆形？可以用什么量描述椭圆是较扁还是更接近圆？ 椭圆的离心率 把椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率，记作e。 焦距是2c，长轴长是2。 离心率反映椭圆的扁平程度 因为，所以。 离心率只反映形状，不单独决定大小。 e越接近0，椭圆越接近圆。 e越接近1，椭圆越扁。 同离心率不代表同大小。 即时练习：定义与形状辨析 1．椭圆的焦距为6，长轴长为10，则离心率。 【答案】。 【解析】。 2．判断：两个椭圆的离心率相等，它们的大小一定相同。 【答案】错误。 【解析】离心率只反映椭圆的扁平程度，不决定长轴和短轴的实际长度。 例5 求椭圆的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点的坐标。 化标准式 → 读、、 → 写轴长、离心率、焦点和顶点 例5 【解析】，，。 长轴长10，短轴长8，。 焦点：（−3，0）、（3，0）。 【答案】顶点：（−5，0）、（5，0）、（0，−4）、（0，4）。 即时练习：由方程求离心率 椭圆的离心率为。 【解析】，，。 ，。 【答案】。 例6：根据条件确定标准方程 （1）经过点（4，0）、N（0，−3）。 （2）短轴长为6，离心率为。 转条件为、、 → 定焦点方向 → 写标准方程 例6（1）：由顶点确定方程 【解析】、N是椭圆在坐标轴上的顶点。 由、N得，，且长轴在轴上。 【答案】。 例6（2）：由短轴长和离心率确定方程 已知，，焦点方向未知。 【解析】由得。 由，得。 焦点位置不明确，应分类讨论。 焦点在轴： 焦点在轴： 温馨提示与即时练习 求椭圆的标准方程时，如果焦点位置不明确，应分别就焦点在轴和轴两种情形进行讨论。 已知椭圆短轴长为8，离心率为，则；若焦点位置未知，共有个标准方程。 【答案】5；2。 【解析】，由得；焦点可在轴或轴上。 知识检测 已知椭圆长轴长为10、焦距为6，则离心率为，短轴长为。 【答案】；8。 【解析】，，；由−得，短轴长。 课堂背诵：定义与形状 1．椭圆的离心率是焦距与的比，公式为，取值范围是。 【答案】长轴长；。 【解析】焦距与长轴长分别是2c和2。 2．离心率越接近1，椭圆越；越接近0，椭圆越接近。 【答案】扁；圆。 【解析】离心率描述扁平程度，不决定图形大小。 课堂背诵：分类讨论 由条件求标准方程时，焦点位置不明确，应怎样处理？ 【答案】分别就焦点在轴和轴上两种情形进行讨论。 【解析】两种焦点方向对应长半轴分母分别位于项和项。 师生互动：条件卡片 条件卡片：、、焦点在轴上。独立求、，再核对两个分母的位置并说明依据。 【解析】由得。 再由−得。 【答案】，；标准方程为。 转化条件 → 确定焦点方向 → 写标准方程 课堂练习（一）：离心率与基本量 1．已知椭圆的长半轴长为10，半焦距为6，求离心率。 【答案】。 【解析】。 2．已知离心率为，半焦距为2，求长半轴长和短半轴长。 【答案】长半轴长4，短半轴长。 【解析】由且得；。 课堂练习（二）：由顶点确定方程 椭圆经过点（5，0）和（0，3），且长轴在轴上，求标准方程。 【解析】两点是椭圆在坐标轴上的顶点，因此，，长轴在轴上。 【答案】。 课堂练习（三）：焦点方向未知 已知椭圆的短半轴长为4，离心率为，焦点位置未确定，求椭圆的标准方程。 【解析】由，得。由于焦点位置未确定，需分类讨论。 焦点在轴： 焦点在轴： 课堂小结 离心率怎样定义？它反映椭圆的什么特征？由条件求标准方程时依次做什么？ 转化、、关系 → 确定焦点方向 → 写标准方程 【答案】，且，它反映椭圆的扁平程度；方向未知时分类讨论。 【解析】焦距是2c，长轴长是2；离心率相同只能说明形状相同，不能说明大小相同。 作业布置 1．复习本节课的知识点； 2．完成课后练习； 3．整理笔记和易错题。 $