3.1.2 椭圆的离心率及方程确定（教案）-高教版第三版《数学 拓展模块一（上册）》【上好课】

该教案聚焦椭圆离心率及方程确定核心知识点，通过展示储油罐、储水箱等生活图片引导学生观察椭圆形状差异，衔接已学的标准方程、焦点、顶点等基本量，构建从几何条件到参数关系再到方程确定的学习支架。 此资料以情境化导入激活认知，结合问题探究、直观演示等方法，通过即时练习、条件卡片活动强化离心率与a、b、c的转化及焦点位置分类讨论，培养直观想象、逻辑推理和数学运算素养，助力学生突破难点，教师可通过讲练结合提升教学针对性与效率。

高教版第三版《数学》拓展模块一（上册） 第3章 圆锥曲线 3.1 椭圆——3.1.2 椭圆的离心率及方程确定 授课班级 授课类型 新授课 授课教师 教学时长 1课时（45分钟） 教材分析 教材在学生掌握椭圆两类标准方程、焦点、顶点、长轴和短轴等基本量的基础上，先给出离心率的定义，再通过参数关系说明离心率与椭圆扁平程度的联系；随后以生活情境和典型例题组织性质读取与方程确定，形成由几何条件转化为参数关系、再写标准方程的知识顺序。 本课承接椭圆基本几何性质和标准方程的识别，重点建立离心率与、、之间的联系，并训练由顶点、轴长和离心率反求方程，为继续研究椭圆图像、综合应用以及圆锥曲线中的参数问题奠定基础。 学情分析 学生能够从标准方程中读取、、及焦点方向，也具备分式、根式和平方关系的基本运算能力。学习中容易把焦距与长轴长直接当作与，或误认为离心率能够决定椭圆大小；由条件反求方程时，还可能遗漏焦点位置未知的两种情形，需要通过图形观察、参数关系整理和分类讨论加以纠正。 教学目标 1．理解椭圆离心率的定义、取值范围及其与扁平程度的关系，掌握由离心率联系、、的方法。 2．能根据椭圆方程、顶点、短轴长和离心率等条件求基本量，并确定相应的标准方程。 3．通过观察椭圆形状、转化文字条件和比较两类方程，提升直观想象、逻辑推理和数学运算素养。 教学重难点 教学重点：理解离心率及其几何意义，能由轴长、焦距、顶点和离心率等条件确定参数。 教学难点：把文字条件准确转化为、、之间的关系，并在焦点位置未知时分类写出两类标准方程。 教学方法 问题探究法、直观演示法、对比归纳法、讲练结合法。 课前准备 教师准备：教材、演示课件。 学生准备：教材、笔记本。 教学环节设计 教学环节 教学内容 设计意图 教学导入 教师展示教材“探究与发现”中的储油罐、储水箱图片，提出问题：为什么这些罐体的截面常设计成椭圆形？观察图形时，可以用什么量描述椭圆是较扁还是更接近圆？学生结合图形说出长轴、短轴以及形状差异。 【答案】这些罐体的横截面近似椭圆；比较不同椭圆时，仅知道长轴或短轴还不能统一描述形状，需要寻找反映扁平程度的相对量。 【解析】同样大小的轴长会随图形整体缩放而改变，因此要研究一个不随同比例缩放改变、又能联系焦距和长轴长的比值。教师由此引出离心率。 借助教材生活图片比较椭圆形状，激活长短轴经验并形成寻找统一形状指标的认知需要。 新知讲授 一、椭圆的离心率 把椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率，记作。即。 因为，所以。离心率越接近1，椭圆越扁；离心率越接近0，椭圆越接近圆。离心率的大小反映了椭圆的扁平程度。 教师强调：离心率是焦距与长轴长的比，只反映形状，不单独决定椭圆的大小。 【即时练习1】椭圆的焦距为6，长轴长为10，则离心率=____。 【答案】。 【解析】焦距，长轴长，所以。 【即时练习2】判断：两个椭圆的离心率相等，它们的大小一定相同。 【答案】错误。 【解析】离心率只反映椭圆的扁平程度，不决定长轴和短轴的实际长度。 二、根据性质读取基本量 例5 求椭圆的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点的坐标。 【答案】长轴长10，短轴长8，离心率；焦点坐标为；顶点坐标为（-5，0）、（5，0）、（0，-4）、（0，4）。 【解析】将原方程化为，得。因此，，，再依据焦点在x轴上写出焦点和顶点坐标。 【即时练习3】椭圆的离心率为____。 【答案】。 【解析】，所以。 三、根据条件确定标准方程 例6 分别求满足下列条件的椭圆的标准方程：（1）经过点M（4，0）、N（0，-3）；（2）短轴长为6，离心率为。 【答案】（1）。（2）焦点在x轴上时为；焦点在y轴上时为。 【解析】（1）椭圆与坐标轴的交点是顶点，由M、N得，且长轴在x轴上。（2）由得；由，得。由于题目未说明焦点位置，应分别写出两类方程。 求椭圆的标准方程时，如果椭圆的焦点位置不明确，应分别就焦点在轴和轴上两种情形进行讨论。 【即时练习4】已知椭圆短轴长为8，离心率为，则=____；若焦点位置未知，共有____个标准方程。 【答案】5；2。 【解析】，由得。焦点可在x轴或y轴上，所以有两个标准方程。 【知识检测】已知椭圆长轴长为10、焦距为6，则离心率为____，短轴长为____。 【答案】；8。 【解析】。由得，短轴长为。 按离心率定义、性质读取和条件反求方程的顺序组织学习，以原生公式和分类讨论突破参数转化难点。 课堂背诵 完成下列挖空并逐项复述。 1．椭圆的离心率是焦距与____的比，公式为，取值范围是____。 【答案】长轴长；。 【解析】焦距与长轴长分别是2c和2，二者之比化简为。 2．离心率越接近1，椭圆越____；离心率越接近0，椭圆越接近____。 【答案】扁；圆。 【解析】离心率描述椭圆的扁平程度，不决定图形大小。 3．由条件求标准方程时，焦点位置不明确，应怎样处理？ 【答案】分别就焦点在轴和轴上两种情形进行讨论。 【解析】两种焦点方向对应长半轴分母分别位于²项和²项。 通过公式挖空、形状辨析和分类规则复述，检查学生对离心率及方程确定条件的准确记忆。 师生互动 条件卡片活动：给出、、焦点在y轴上三张卡片。学生独立求、c，再与同桌核对方程中两个分母的位置，并说明每一步依据。 【答案】；标准方程为。 【解析】由得，再由得。焦点在y轴上，所以较大分母100位于y²项下。 教师归纳：先把轴长、焦距、离心率或顶点条件转化为、、，再确定焦点方向，最后书写标准方程；方向未知时必须分类。 利用条件卡片组织参数转化、同伴互检和理由说明，诊断学生是否真正建立方向与分母的对应关系。 课堂练习 1．已知椭圆的长半轴长为10，半焦距为6，求离心率。 【答案】。 【解析】。 2．已知椭圆的离心率为，半焦距为2，求长半轴长和短半轴长。 【答案】长半轴长4，短半轴长。 【解析】由且，得；。 3．椭圆经过点（5，0）和（0，3），且长轴在轴上，求标准方程。 【答案】。 【解析】两点是椭圆在坐标轴上的顶点，因此，长轴在x轴上。 4．已知椭圆的短半轴长为4，离心率为，焦点位置未确定，求椭圆的标准方程。 【答案】，或。 【解析】由得。由于焦点位置未确定，需分别写出长轴在x轴和y轴上的方程。 设置离心率计算、基本量求解、顶点定方程和方向分类四个梯度任务，检测达标并反馈典型错误。 课堂小结 学生回答：离心率怎样定义？它反映椭圆的什么特征？由条件求标准方程时依次做什么？ 【答案】离心率，且，它反映椭圆的扁平程度。求标准方程时，先把条件转化为、b、c的关系，再确定焦点方向，最后写方程；方向未知时分类讨论。 【解析】教师提醒：焦距是2c，长轴长是2；离心率相同只能说明形状相同，不能说明大小相同。 围绕定义、几何意义和方程确定步骤整合全课，帮助学生形成可复述、可运用的参数关系网络。 作业布置 1．复习本节课的知识点； 2．完成课后练习； 3．整理笔记和易错题。 教学反思 课堂实施中应进一步优化生活情境与离心率定义之间的衔接，避免图片讨论停留在直观描述。要重点观察学生是否区分焦距、半焦距、长轴长和长半轴长，并根据作答及时调整公式说明。例6的分类讨论可增加学生板演与互评，让分母位置和焦点方向的对应更清晰。后续还可压缩重复计算，把更多反馈放在条件转化、离心率只反映形状以及焦点位置未知这三个易错点上，以提高练习讲评的针对性。 学科网（北京）股份有限公司 $