3.1.2 椭圆的基本几何性质（课件）-高教版第三版《数学 拓展模块一（上册）》【上好课】

该中职数学课件聚焦椭圆的范围、对称性、顶点、长轴、短轴及参数关系等基本几何性质，通过回顾圆的研究方法引导学生类比，从观察椭圆标准方程出发推导几何性质，搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于以标准方程为核心，通过代数推导（如范围的不等式推导）、对称代换（如x换-x判断对称性）、即时练习（如坐标范围计算）等环节，发展数学抽象、逻辑推理素养。采用“观察-推导-解释-应用”教学方法，课堂小结梳理“范围-对称性-顶点-参数”逻辑链，帮助学生系统掌握知识，教师可通过结构化练习提升教学效率。

高教版第三版《数学》 拓展模块一（上册） 第3章 圆锥曲线 3.1.2 椭圆的基本几何性质 学习目标 1．理解椭圆的范围、对称性、顶点、对称轴、中心、长轴、短轴及半轴长等基本几何性质。 2．能依据椭圆标准方程确定范围、顶点、对称轴、中心和长短轴，并能说明焦点位于长轴。 3．经历由标准方程推导几何性质的过程，发展数学抽象、直观想象和逻辑推理素养。 教学导入 回顾圆的研究方法：我们曾利用圆的标准方程得到圆的几何性质。 是否也可以利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质？ 观察方程 → 推导性质 → 解释图形 研究对象与观察方向 （） 学生交流：可以从方程中观察哪些信息？ 【答案】可以研究点的坐标范围、图形的对称性以及曲线与坐标轴的交点等。 【解析】标准方程把曲线上点的坐标与参数联系起来，可通过不等式、代换和令某一坐标为0等方法获得图形性质。 范围的代数推导 ≥0 → ≤1 → ≤≤ ≥0 → ≤1 → ≤≤ 横、纵坐标都受到参数、的限制。 范围与范围矩形 ± ± 椭圆位于直线±和±所围成的矩形内。 即时练习1：坐标范围 椭圆上点P（，）的横、纵坐标范围分别是什么？ 【答案】≤≤5，≤≤3。 【解析】由较大分母25和较小分母9分别得到长半轴长5、短半轴长3，再写出对应坐标范围。 对称性 换成，方程不变。 换成，方程不变。 、同时换成、，方程仍不变。 对称轴与中心 关于轴对称 关于轴对称 关于原点对称 轴、轴是对称轴，原点是椭圆的中心。 x y 即时练习2：对称点 若点P（2，1）在一个中心位于原点、对称轴为坐标轴的椭圆上，写出由对称性得到的另外三个点。 【答案】（2，）、（，1）、（，）。 【解析】分别作点P关于轴、轴和原点的对称点。 x y 顶点的方程推导 令 → ± 令 → ± （，0）、（，0） （0，）、（0，） 曲线与坐标轴的交点就是椭圆的四个顶点。 顶点、长轴、短轴与半轴长 ：长轴，长2 ：短轴，长2b 、：长、短半轴长 椭圆的焦点在长轴上。 参数、、的关系 长度为、、的三条线段可组成直角三角形，图形直观呈现三个参数的关系。 即时练习3：顶点、轴长和焦点方向 写出椭圆的顶点、长轴长、短轴长和焦点所在坐标轴。 【答案】顶点为（，0）、（4，0）、（0，）、（0，）；长轴长8，短轴长，焦点在轴上。 【解析】由，得、；较大分母在项下，所以长轴和焦点均在轴上。 课堂背诵（一）：对称性与轴长 【答案】；；原点；中心。 2．椭圆（）的长轴长为，短轴长为。 【答案】2；2b。 1．椭圆关于轴、轴和对称，坐标原点是椭圆的。 课堂背诵（二）：焦点位置 3．椭圆的焦点位于哪一条轴上？ 【答案】长轴上。 对称性 → 轴长 → 焦点位置 师生互动：参数与长轴方向辨析 对于椭圆，有同学说“，，长轴在轴上”。他的判断哪里需要修正？ 【答案】应取，，长轴在轴上。 【解析】标准方程约定，较大分母25是，它位于项下，因此长轴在轴上；顶点为（0，±5）和（±3，0）。 先比较分母定长轴方向 → 再确定、 → 最后读取性质 课堂练习（一）：范围与对称性 【答案】≤≤6，≤≤。 【解析】由、直接写出坐标范围。 2．若点（3，）在一个关于两坐标轴对称的椭圆上，写出由对称性得到的另外三个点。 【答案】（3，2）、（，）、（，2）。 【解析】依次取关于轴、轴和原点的对称点。 1．椭圆的横、纵坐标范围分别是什么？ 课堂练习（二）：顶点与轴长 求椭圆的四个顶点、长轴长和短轴长。 【答案】顶点为（，0）、（，0）、（0，）、（0，2）；长轴长，短轴长4。 【解析】由、，按（±，0）、（0，±）写出顶点，并计算2、2b。 课堂练习（三）：参数关系与焦点坐标 已知椭圆的长半轴长为5，短半轴长为4，焦点在轴上。求，并写出焦点坐标。 【答案】，焦点坐标为（，0）、（3，0）。 【解析】由，得；焦点位于长轴即轴上。 课堂小结 范围 → 对称性 → 顶点与轴 → 参数关系 【答案】由标准方程可得≤≤，≤≤；椭圆关于两坐标轴和原点对称；顶点为（±，0）、（0，±）；长、短轴长分别为2、2b；焦点位于长轴上。 研究方法：通过不等式确定范围，通过代换判断对称性，通过令坐标为0确定顶点。 作业布置 1．复习本节课的知识点； 2．完成课后练习； 3．整理笔记和易错题。 $