3.1.2 椭圆的基本几何性质（教案）-高教版第三版《数学 拓展模块一（上册）》【上好课】

该教案聚焦椭圆的范围、对称性、顶点等基本几何性质，课堂导入通过回顾圆的方程研究方法，引导学生迁移经验，以“观察方程—推导性质—解释图形”为主线，搭建前后知识联系的学习支架。 该资料以代数推导为核心，结合数形结合与问题探究法，通过即时练习（如判断坐标范围）、小组讨论（辨析参数与坐标轴关系）发展数学思维（推理意识）和数学眼光（几何直观）。帮助学生形成规范研究路径，提升概念理解与应用能力，为教师提供清晰教学流程与互动设计。

高教版第三版《数学》拓展模块一（上册） 第3章 圆锥曲线 3.1 椭圆——3.1.2 椭圆的基本几何性质 授课班级 授课类型 新授课 授课教师 教学时长 1课时（45分钟） 教材分析 本课在学生掌握椭圆标准方程的基础上，教材以方程为工具，依次研究椭圆的范围、对称性和顶点，引出对称轴、中心、长轴、短轴及长短半轴长等基本概念，并结合参数关系说明焦点位于长轴以及、、的几何联系，体现由代数式研究曲线性质的基本路径。 本课承接椭圆标准方程的识别与求法，重点帮助学生形成“观察方程—推导性质—解释图形”的研究方法，为后续利用椭圆性质解决问题奠定概念、图形与推理基础。 学情分析 学生已能识别椭圆标准方程并理解参数、、的关系，也具备由方程讨论取值范围和对称性的经验，但容易只凭图形记忆性质，忽略由方程推出结论的依据；对顶点、长短轴和半轴长等概念还可能混淆。教学中需通过代数推导、图形观察和即时辨析建立对应关系。 教学目标 1．理解椭圆的范围、对称性、顶点、对称轴、中心、长轴、短轴及半轴长等基本几何性质。 2．能依据椭圆标准方程确定范围、顶点、对称轴、中心和长短轴，并能说明焦点位于长轴。 3．经历由标准方程推导几何性质的过程，发展数学抽象、直观想象和逻辑推理素养。 教学重难点 教学重点：由椭圆标准方程研究范围、对称性和顶点，准确辨认长轴、短轴及半轴长。 教学难点：把代数推导与几何图形对应起来，并运用关系解释焦点与长轴的位置关系。 教学方法 问题探究法、数形结合法、讲练结合法。 课前准备 教师准备：教材、演示课件。 学生准备：教材、笔记本。 教学环节设计 教学环节 教学内容 设计意图 教学导入 回顾圆的研究方法：我们曾利用圆的标准方程得到圆的几何性质。提出问题：是否也可以利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质？ 以椭圆为研究对象，学生交流可以从方程中观察哪些信息。 【答案】可以研究点的坐标范围、图形的对称性以及曲线与坐标轴的交点等。 【解析】标准方程把曲线上点的坐标与参数联系起来，可通过不等式、代换和令某一坐标为0等方法获得图形性质。 以已学圆的研究经验迁移到椭圆，激活方程意识并明确本课由代数研究图形的主线。 新知讲授 一、椭圆的范围 由，可得，从而；同理，。 椭圆位于直线和所围成的矩形内。 即时练习1：椭圆上点P（x，y）的横、纵坐标范围分别是什么？ 【答案】-5≤≤5，-3≤≤3。 【解析】由较大分母25和较小分母9分别得到长半轴长5、短半轴长3，再写出对应坐标范围。 二、椭圆的对称性 在椭圆标准方程中，把换成-，方程不变；把换成-，方程也不变；同时把、分别换成-、-，方程仍不变。 椭圆关于轴、轴对称，也关于原点对称；轴与轴都是椭圆的对称轴，坐标原点是椭圆的对称中心，简称中心。 即时练习2：若点P（2，1）在一个中心位于原点、对称轴为坐标轴的椭圆上，写出由对称性得到的另外三个点。 【答案】（2，-1）、（-2，1）、（-2，-1）。 【解析】分别作点P关于轴、轴和原点的对称点。 三、椭圆的顶点、长轴和短轴 令y=0，得x=±；令x=0，得y=±b。因此椭圆的四个顶点为。 线段和分别称为椭圆的长轴和短轴，长度分别为2和2b；和b分别是长半轴长和短半轴长。椭圆的焦点在长轴上。 由，长度为、b、c的三条线段可组成直角三角形，图形直观呈现三个参数的关系。 即时练习3：写出椭圆的顶点、长轴长、短轴长和焦点所在坐标轴。 【答案】顶点为（-4，0）、（4，0）、（0，-）、（0，）；长轴长8，短轴长2，焦点在轴上。 【解析】由得=4、b=；较大分母在x²项下，所以长轴和焦点均在x轴上。 按范围、对称性和顶点的教材顺序展开推导，配合图形和即时练习建立方程、参数与几何性质的对应。 课堂背诵 完成下列挖空并口头复述。 1．椭圆关于____轴、____轴和____对称，坐标原点是椭圆的____。 【答案】；；原点；中心。 2．椭圆的长轴长为____，短轴长为____。 【答案】2；2b。 3．椭圆的焦点位于哪一条轴上？ 【答案】长轴上。 通过挖空和口头复述集中检查对称性、中心、长短轴及焦点位置等规范结论的准确记忆。 师生互动 小组讨论：对于椭圆，有同学说“=3，b=5，长轴在x轴上”。他的判断哪里需要修正？ 【答案】应取，，长轴在轴上。 【解析】标准方程约定>b>0，较大分母25是，它位于y²项下，因此长轴在y轴上；顶点为（0，±5）和（±3，0）。 教师归纳：先比较分母确定长轴方向，再确定、，最后写范围、顶点、轴长和焦点位置。 通过辨析参数与坐标轴的常见混淆，引导学生说明判断依据，形成先定方向再读参数的规范路径。 课堂练习 1．椭圆的横、纵坐标范围分别是什么？ 【答案】-6≤≤6，-2√5≤≤2√5。 【解析】由=6、b=直接写出坐标范围。 2．若点（3，-2）在一个关于两坐标轴对称的椭圆上，写出由对称性得到的另外三个点。 【答案】（3，2）、（-3，-2）、（-3，2）。 【解析】依次取关于轴、轴和原点的对称点。 3．求椭圆的四个顶点、长轴长和短轴长。 【答案】顶点为（-2，0）、（2，0）、（0，-2）、（0，2）；长轴长4，短轴长4。 【解析】由=、b=2，按（±，0）、（0，±b）写出顶点，并计算2、2b。 4．已知椭圆的长半轴长为5，短半轴长为4，焦点在轴上。求，并写出焦点坐标。 【答案】，焦点坐标为（-3，0）、（3，0）。 【解析】由，得c=3；焦点位于长轴即x轴上。 用四道分层练习覆盖范围、对称性、顶点轴长和焦点位置，检查学生能否由标准方程完整读取几何信息。 课堂小结 学生从“范围—对称性—顶点与轴—参数关系”四方面概括椭圆的基本几何性质。 【答案】由标准方程可得；椭圆关于两坐标轴和原点对称；顶点为（±，0）、（0，±b）；长、短轴长分别为2、2b；焦点位于长轴上。 教师强调研究方法：从方程出发，通过不等式确定范围，通过代换判断对称性，通过令坐标为0确定顶点。 以性质结构和推导方法双线小结，帮助学生形成由方程解释图形并可迁移使用的认知框架。 作业布置 1．复习本节课的知识点； 2．完成课后练习； 3．整理笔记和易错题。 教学反思 课堂实施后应重点观察学生能否从标准方程主动推出范围、对称性和顶点，而不是只凭图形记忆结论。后续可根据即时练习的错误类型，调整代数推导与图形标注的停顿位置，增加对长轴方向、与取值约定的对比说明，并让学生口头解释每项性质的方程依据。对顶点、轴长和半轴长易混问题，可强化表格化整理和同伴互评，使概念辨析与规范表达同步落实。 学科网（北京）股份有限公司 $