3.1.1 椭圆标准方程的识别与求法（课件）-高教版第三版《数学 拓展模块一（上册）》【上好课】

该中职数学课件聚焦椭圆标准方程的识别与求法，涵盖焦点在x轴、y轴的方程形式及a,b,c参数关系，通过“如何判断焦点方向”等问题导入，结合椭圆定义搭建从概念到方程辨析的学习支架，衔接前后知识。 其亮点在于采用情境化案例（如“东方红一号”卫星轨道）、互动讨论（方程化标准式的必要性）和结构化小结（“定方向→定参数→写方程”步骤），发展数学抽象、逻辑推理与数学运算素养。实例丰富如分类讨论焦点位置，帮助学生提升解题能力，教师可借助清晰流程高效教学。

高教版第三版《数学》 拓展模块一（上册） 第3章 圆锥曲线 3.1.1 椭圆标准方程的 识别与求法 学习目标 1．理解焦点在轴上的椭圆标准方程、焦点坐标及参数关系，能辨析两类标准方程的焦点所在坐标轴。 2．能依据焦点、焦距、距离和、过点或方程条件，确定、、并求椭圆的标准方程、焦点坐标和焦距。 3．通过比较分母、分析条件和说明理由，发展数学抽象、逻辑推理和数学运算素养。 从分母判断焦点方向 问题：已知椭圆的焦点在轴上，如何从标准方程中判断这一方向？ 【答案】当项的分母较大时，焦点在轴上。 【解析】较大的分母是，所对应的坐标轴就是焦点所在的坐标轴。 追问：若较大的分母在项下，焦点又在何处？ 焦点在轴上的标准方程 以经过两焦点、的直线为轴，以线段的垂直平分线为轴。 （） 焦点：（0，−）、（0，） 两类标准方程的识别 焦点所在轴 标准方程 焦点坐标 轴 （−，0）、（，0） 轴 （0，−）、（0，） 较大的分母在哪一项下，焦点就在哪个坐标轴上。 例1（1）：由焦距与距离和求方程 焦点在轴上，焦距为6，椭圆上的点到两个焦点的距离之和为10。 【解析】由，，得，，−。焦点在轴上，写出标准方程。 【答案】。 例1（2）：由焦点与过点条件求方程 焦点为（0，−2），（0，2），椭圆上一点的坐标为（−，）。 【解析】由椭圆的定义，，计算得，，，。焦点在轴上。 【答案】。 例2：卫星轨道情境与建系 求“情境与问题”中“东方红一号”卫星预定运行轨道的标准方程。 设椭圆方程为，焦点为（−，0），顶点为A（−，0）、B（，0）。 例2：卫星轨道的计算 【解析】−， 解得， 由，得≈7715.6 【答案】卫星预定运行轨道的方程为。 例3：由方程求焦点与焦距 （1） 【解析】，，，，焦点在轴上。 【答案】焦点为（−，0）、（，0），焦距为。 （2） 【解析】化为，因，，，，焦点在轴上。 【答案】焦点为（0，−1）、（0，1），焦距为2。 温馨提示 要判断椭圆的焦点在哪个坐标轴上，可将椭圆方程化为标准方程，然后观察含项与含项的分母：哪项的分母大，焦点就在哪个坐标轴上。 化标准式 → 比分母 → 定焦点轴 例4：利用椭圆定义求距离 若椭圆上一点P到焦点的距离等于6，求到另一个焦点的距离。 【解析】由椭圆的定义，。又由标准方程知，，所以。 【答案】。 课堂背诵 1．焦点在轴上的椭圆标准方程是什么？ 【答案】（）。 2．该椭圆的焦点坐标是和。 【答案】（0，−）和（0，）。 3．判断焦点所在坐标轴的要点是什么？ 【答案】先化为标准方程；哪一项的分母大，焦点就在哪个坐标轴上。 师生互动：为什么不能直接比较系数 讨论：为什么不能直接把中的4和3当作、？ 【答案】标准方程右端应为1，需两边同除以12，化为。 【解析】标准方程中分母才对应、；比较分母4和3，焦点在轴上。 先化标准式 → 再定方向 → 最后求焦点和焦距 课堂练习1：根据条件求方程 （1），，焦点在轴上。 【答案】。 【解析】直接代入，。 （2），，焦点在轴上。 定方向 → 定参数 → 写方程 【答案】。 【解析】先由确定较大分母。 课堂练习2：分类讨论 已知椭圆的焦距为8，椭圆上的点到两个焦点的距离之和为10，求椭圆的标准方程。 【解析】由、得、，−；题目没有确定焦点所在坐标轴，需分类讨论。 【答案】，或。 课堂练习3：求焦点与焦距 （1）。 【答案】焦点为（−，0）、（，0），焦距为。 【解析】先化为。 （2）。 化标准式 → 比分母 → 求 【答案】焦点为（0，−5）、（0，5），焦距为10。 【解析】因，焦点在轴上，由−计算。 课堂练习4：三角形的周长 设点、为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，求△的周长。 P 【解析】，。 【答案】周长为16。 课堂小结 用“定方向 → 定参数 → 写方程”概括求椭圆标准方程的步骤 【答案】先由焦点所在坐标轴确定哪一项分母为；再由已知条件求、、并满足；最后写出标准方程。 由方程求焦点和焦距时，先化标准方程并比较分母；涉及椭圆上一点到两焦点的距离时，使用距离和为2a。 作业布置 1．复习本节课的知识点； 2．完成课后练习； 3．整理笔记和易错题。 $