3.1.1 椭圆标准方程的识别与求法（教案）-高教版第三版《数学 拓展模块一（上册）》【上好课】

该中职数学教案聚焦椭圆标准方程的识别与求法，课堂导入通过回顾焦点在x轴方程的分母比较，追问引出焦点在y轴情况，搭建旧知到新知的学习支架，衔接前后知识脉络。 特色在于采用对比归纳与讲练结合，通过两类方程对照、例3（2）讨论规范方程转化，培养数学抽象与逻辑推理。练习中分类讨论焦点位置，提升数学运算能力，帮助学生形成稳定解题路径，为教师提供清晰教学流程与错误诊断方法。

高教版第三版《数学》拓展模块一（上册） 第3章 圆锥曲线 3.1 椭圆——3.1.1 椭圆标准方程的识别与求法 授课班级 授课类型 新授课 授课教师 教学时长 1课时（45分钟） 教材分析 本课在学生已认识椭圆定义、焦点、焦距及焦点在轴上的标准方程的基础上，教材先给出焦点在轴上的另一类标准方程和焦点坐标，再依次设置由已知条件求方程、由方程求焦点与焦距、利用椭圆定义求距离等例题，并以分母比较的提示归纳识别方法，形成两类标准方程的完整结构。 本课是椭圆方程应用的承接课：学生在本课获得定方向、定参数、写方程的基本路径，并为后续研究椭圆的几何性质、离心率和图像综合应用建立运算与表达基础。 学情分析 学生已具备椭圆定义、两点间距离公式和参数关系的基础，但容易把两类标准方程的焦点方向判断颠倒，或在由焦距、距离和、过点条件求方程时遗漏参数关系。教学中需借助两类方程的对照、教材例题的规范推理和即时纠错，促使学生形成完整的判断路径。 教学目标 1．理解焦点在轴上的椭圆标准方程、焦点坐标及参数关系，能辨析两类标准方程的焦点所在坐标轴。 2．能依据焦点、焦距、距离和、过点或方程条件，确定、、并求椭圆的标准方程、焦点坐标和焦距。 3．通过比较分母、分析条件和说明理由，发展数学抽象、逻辑推理和数学运算素养。 教学重难点 教学重点：通过两类标准方程的分母大小判断焦点所在坐标轴；正确运用参数关系确定参数。 教学难点：在焦点位置或已知条件不同的情形下，完整地确定方向、参数并写出标准方程。 教学方法 问题探究法、对比归纳法、讲练结合法。 课前准备 教师准备：教材、演示课件。 学生准备：教材、笔记本。 教学环节设计 教学环节 教学内容 设计意图 教学导入 呈现问题：已知椭圆的焦点在轴上，如何从标准方程中判断这一方向？学生回顾分母较大的一项所对应的坐标轴。 【答案】当项的分母较大时，焦点在x轴上。 【解析】椭圆标准方程中较大的分母是，所对应的坐标轴就是焦点所在的坐标轴。 教师追问：若较大的分母在项下，焦点又在何处？引导学生带着这一问题学习另一类标准方程。 通过已学标准方程的分母比较激活经验，形成方向判断的认知需要，自然引出焦点在轴上的标准方程。 新知讲授 一、焦点在轴上的椭圆标准方程 以经过椭圆两焦点、的直线为y轴，以线段的垂直平分线为x轴，建立平面直角坐标系，可得椭圆的标准方程为。 此时椭圆的焦点坐标分别为。 教师组织学生将它与焦点在x轴上的标准方程对照：较大的分母在哪一项下，焦点就在哪个坐标轴上。 二、根据条件求标准方程 例1 根据条件，求椭圆的标准方程。 （1）焦点在轴上，焦距为6，椭圆上的点到两个焦点的距离之和为10。 【解析】由，得。焦点在x轴上，写出标准方程。 【答案】 （2）焦点为，椭圆上一点M的坐标为。 【解析】由椭圆的定义，，计算得。焦点在y轴上。 【答案】 例2 求“情境与问题”中“东方红一号”卫星预定运行轨道的标准方程。 教材图示所对应的建系中，设椭圆方程为，焦点为，顶点为A（-，0）、B（，0）。 【解析】由题中数据列出，解得，再由求得。 【答案】卫星预定运行轨道的方程为。 三、由标准方程求焦点坐标和焦距 例3 已知椭圆的方程，求其焦点坐标和焦距。 （1）；（2）。 【解析】（1），焦点在x轴上。 【答案】焦点为，焦距为。 【解析】（2）将方程化为，因，焦点在y轴上。 【答案】焦点为（0，-1）、（0，1），焦距为2。 温馨提示：要判断椭圆的焦点在哪个坐标轴上，可将椭圆方程化为标准方程，然后观察标准方程中含项与含项的分母，哪项的分母大，焦点就在哪个坐标轴上。 例4 若椭圆上一点P到焦点的距离等于6，求到另一个焦点的距离。 【解析】由椭圆的定义，。又由标准方程知，所以。 【答案】。 按两类方程、参数确定、方程识别与定义应用的顺序呈现教材例题，以对照和规范推理突破方向判断与参数计算。 课堂背诵 完成下列挖空并口头复述。 1．焦点在y轴上的椭圆标准方程是。 【答案】。 2．该椭圆的焦点坐标是____和____。 【答案】（0，-）和（0，）。 3．判断焦点所在坐标轴的要点是什么？ 【答案】先化为标准方程；哪一项的分母大，焦点就在哪个坐标轴上。 通过方程补全、焦点坐标复述和判断方法归纳，集中检查学生对核心符号、条件和规范结论的准确记忆。 师生互动 围绕例3（2）组织同桌讨论：为什么不能直接把中的4和3当作？ 【答案】因为椭圆标准方程右端应为1，需先将等式两边同除以12，化为。 【解析】标准方程中分母才分别对应；比较分母4和3，焦点在y轴上。 教师归纳：解决方程识别题，先化标准式，再定方向，最后利用求焦点和焦距。 以规范化过程为讨论对象，引导学生说明判断依据并纠正直接比较系数的错误，诊断其方程识别的完整性。 课堂练习 练习3.1.1第1题 根据条件，求椭圆的标准方程。 （1），焦点在x轴上；（2），焦点在y轴上。 【答案】（1）；（2）。 【解析】（1）直接代入；（2）先由确定较大分母。 练习3.1.1第2题 已知椭圆的焦距为8，椭圆上的点到两个焦点的距离之和为10，求椭圆的标准方程。 【答案】焦点位置未定，故标准方程可为，或。 【解析】由得；题目没有确定焦点所在坐标轴，需分类讨论。 练习3.1.1第3题 已知椭圆的方程，求其焦点坐标和焦距。 （1）；（2）。 【答案】（1）焦点为，焦距为；（2）焦点为（0，-5）、（0，5），焦距为10。 【解析】（1）先化为；（2）因，焦点在y轴上，均由计算。 练习3.1.1第4题 设点为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，求△P的周长。 【答案】周长为16。 【解析】，，故周长为16。 选取教材四道练习覆盖求方程、分类讨论、焦点焦距和定义应用，通过答案与解析反馈学生的典型错误。 课堂小结 学生用“定方向—定参数—写方程”概括求椭圆标准方程的步骤。 【答案】先由焦点所在坐标轴确定哪一项分母为；再由已知条件求、b、c并满足；最后写出标准方程。 教师补充：由方程求焦点和焦距时，先化标准方程并比较分母；涉及椭圆上一点到两焦点的距离时，使用距离和为2。 引导学生把方向判断、参数计算和方程书写组织为稳定路径，并回扣由方程识别和椭圆定义应用的关键条件。 作业布置 1．复习本节课的知识点； 2．完成课后练习； 3．整理笔记和易错题。 教学反思 课堂实施后应重点观察学生能否先化标准方程再判断焦点方向，尤其关注由一般方程化为标准方程、焦点位置未定时分类讨论以及参数关系的使用是否完整。后续可根据练习中的错误类型调整例题板演的停顿位置，增加对分母与焦点轴对应关系的口头说明，并让学生对关键步骤进行互评。对距离和应用题，应强化由椭圆定义到参数代入的衔接，避免学生只记公式而忽略题设条件。 学科网（北京）股份有限公司 $