精品解析：重庆市南开中学校2027届高三年级质量检测（一）开学考试数学试卷

重庆南开中学高2027届高三年级质量检测（一） 数学试题 注意事项： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求） 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】集合，故 2. 设函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】根据题中函数解析式, 当时,, 所以当时,是周期为2的函数, 所以. 3. 下列函数为偶函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，函数，因为，函数不具有奇偶性； 对于B，函数的定义域为，不关于原点对称，不具有奇偶性； 对于C，函数，定义域为R，， 所以，即，所以函数为奇函数； 对于D，函数，定义域为， ，所以函数为偶函数． 4. 某地区2021至2025年农村家庭人均纯收入（单位：万元）的数据如下表： 年份 2021 2022 2023 2024 2025 年份代号 1 2 3 4 5 人均纯收入 2.9 3.3 4.5 4.8 据此求得关于的线性回归方程为，则上表中实数的值为（ ） A. 3.4 B. 3.5 C. 3.6 D. 3.7 【答案】B 【解析】 【详解】由题可知：＝3，， 所以，解得. 5. 设双曲线（，）的左焦点到两条渐近线的距离之和为，为该双曲线的半焦距，若，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由，渐近线方程为，即，， 则，得 所以，则渐近线方程为. 6. 若，，，且，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】若， 当时，，可得； 当时，，可得，故充分性满足； 若，取，可知不成立，故必要性不满足， 所以“”是“”的充分不必要条件. 7. 已知函数（，）的图像关于点对称，则（ ） A. 1 B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的图像关于点对称得出，列出方程组求解即可． 【详解】因为函数（，）的图象关于点对称， 恒成立， 故，解得或者， 故． 8. 设定义在上的可导函数的导函数为，且满足，，若不等式有且只有一个整数解，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题得，构造函数，由，可得，利用导数分析函数的单调性，画出函数图象，解不等式组即可求解. 【详解】由已知得，即， 令，其中为常数， 又，代入可得，故， ，解得， ，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 作出函数和的图象，由图可知3是唯一的整数解， 故，解得. 二、多选题（本题共3小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分） 9. 已知实数满足，则函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】令，利用导数分析函数的单调性，结合零点存在定理得出的范围，结合幂函数的性质即可判断. 【详解】令，， ，解得， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又，， 所以在和上各存在一个零点，即或， ，当时，在上单调递减，故A正确； 当时，幂函数的图象是下凸的，即增长速度越来越快，故C正确. 10. 已知袋中有4个小球，其中个红球，个黑球，这些球除颜色外没有其他差异．记，，且，，，，是公差为的等差数列．现每次从袋中不放回地随机取一个球观察颜色，记事件为“前两次取到的小球均是黑球”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由概率的性质及等差数列的前n项和公式列方程判断A、B，根据题意及组合数、古典概率的求法求概率判断C，由全概率公式求概率判断D. 【详解】由题可知，A正确； 根据等差数列的前n项和公式，得，解得，B正确； 由题意，时红球有1个，黑球有3个，则，C错误； 由及全概率公式，前两次取到的均是黑球的概率： ，D正确． 11. 已知函数，直线与曲线相切于不同两点和，则下列说法正确的有（ ） A. 当时，的单调递增区间为 B. 的值可以为0 C. 若的导函数的图象关于点对称，则，，成等差数列 D. 直线的斜率为 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A，代入已知参数求导并进行因式分解，利用二次函数的判别式判断导数符号，从而确定函数的单调递增区间，选项B，假设参数为零，利用导函数的单调性推导得出切点数量与题干“两个切点”的要求相矛盾，进而排除此项，选项C，通过联立两切点处的切线方程推导出切点横坐标之和，再利用连续求导找到导函数图像的对称中心，最后比对验证等差中项关系，选项D，基于选项C中求出的导函数对称中心，利用三次函数的对称性质直接代入计算，从而得出公切线的斜率. 【详解】对于A，，， 因为，所以， 其中二次函数部分的判别式，且开口向上， 所以恒成立， 令，则有，即的单调递增区间为，故A正确， 对于B，若，则， 因为单调递增，所以也单调递增， 所以对于任意给定的实数，最多只有一个实数解， 与题目中两个切点矛盾，故B错误， 对于C，设公切线的斜率为， 则切线在点处的方程可表示为: 在点处的方程可表示为:， 由题意得， 因为，则有， 若，代入上式得， 不符合题意，故， 联立两式得，进而有，可得， 将其代入到，即， 整理得，解得或， 若，则，联立解得， 不符合题意，所以， 因为，设，则， 设，则，令，则， 即的图象关于点中心对称， 因为，即，所以成等差数列，故C正确， 对于D，由C知的图象关于点中心对称， 由三次函数对称性可得，若，则， 因为两点处切线斜率相同，即，代入上式得: ，故D正确. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 记的展开式的二项式系数和为，的展开式各项系数和为，则______． 【答案】1936 【解析】 【分析】利用二项式系数和公式计算A，通过赋值法计算B即可． 【详解】因为的二项式系数和为，故； 由展开可得： ， 令，即可得系数和为， 故． 13. 定义在上的函数满足：①，②，，．则______． 【答案】 【解析】 【分析】通过赋值法构造出相邻两项的递推关系，再利用累加法求得函数的通项公式即可求解. 【详解】令得， 整理得， ， 即，即，最终有， 所以. 14. 已知实数、满足且，则的最小值为______． 【答案】90 【解析】 【分析】由换元法，令，，再根据基本不等式求解即可． 【详解】令，，则， 原式， 当且仅当，即， 时取等号， 此时，故最小值为90． 四、解答题（本大题共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 如图所示，在直三棱柱中，为棱的中点，，． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）不妨设，则，，． 连接AD，由直棱柱的性质知，四边形为矩形，又D为的中点， 故，于是，所以， 又，，所以平面ABD，平面ABD，故． 又⊥平面ABC，平面ABC，故⊥AB，又＝，故AB⊥平面 （2）． 【解析】 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 由（1）知，AB、AC、两两垂直，故以A为原点， 分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则： ， ，，， 设平面的一个法向量为， 则，取，得． 记直线BC与平面所成角为，则， 即直线BC与平面所成角的正弦值为． 16. 已知，． （1）当时，求在区间上的最值； （2）若在处取得极大值，求实数的取值范围． 【答案】（1）． （2）． 【解析】 【分析】（1）当时，，求出在区间上的端点值和极值，比较可得最值； （2）求导分解导数，记，，存在唯一，，比较与的大小，利用导数判断在处是否为极大值. 【小问1详解】 当时，，， 令得，令得， 故在单调递减，在单调递增， 又，， 故当时，． 【小问2详解】 ，， 令， ，， 由在处取得极大值且，则，故，在上单调递增，又，；，， 故存在唯一，使得，令，得或， ①当时，故恒成立，单调递增，无极值，不符合题意，舍去； ②当时，，得或，，得， 故在单调递增，在单调递减，在单调递增， 在处取得极小值，不符合题意，舍去； ③当时，，得或，，得， 故在单调递增，在单调递减，在单调递增， 在处取得极大值，满足题意．此时＝0，解得， 综上，实数的取值范围为 17. 已知椭圆：的离心率为且经过点． （1）求椭圆的标准方程； （2）斜率为1的直线与椭圆交于异于的两点、，设直线、的斜率分别为、，请写出与之间的等量关系，并证明你的结论． 【答案】（1） （2）与的等量关系为：． 依题意不过点,故设的方程为，与联立得， 且， 设，则，， ， 上式中分子为， 故，证毕. 【解析】 【分析】（1）离心率和经过的点坐标，以及，求解； （2）设斜率为 1 的直线方程并联立椭圆方程，利用韦达定理得到两根和、两根积，将斜率和通分化简，整体代入韦达式子，化简得分子恒为 0，证出两斜率互为相反数. 【小问1详解】 由题意得，解得， 故椭圆C的标准方程为． 【小问2详解】 略 18. 已知全集，中有个元素，、为全集的任意元子集，设集合所含元素个数为． （1）当，时 ①求的概率； ②求随机变量的分布列； （2）求随机变量的期望．（结果用，表示） 【答案】（1）① ② 3 4 5 6 （2）【解析】 【分析】（1）①先求对立事件的概率，再利用对立事件的概率和为1，得的概率；②随机变量X的取值为：3，4，5，6，再求出对应的概率，得到分布列；（2）方法一：将并集元素个数拆成个 0-1 指示变量之和，利用期望的线性性质，逐个计算单个元素属于并集的概率再相加，无需考虑变量独立性，是最简洁的解法；方法二：利用集合容斥公式，将求并集期望转化为求交集元素个数的期望；交集个数服从经典超几何分布，直接套用期望公式即可求解；方法三：先写出的完整分布列，按期望定义展开求和，再利用组合数递推公式 对复杂求和式化简得到结果. 【小问1详解】 ①由题意可知：事件的对立事件为， 则的概率为所以的概率 ②随机变量的取值为：3，4，5，6， 表示集合相等，即； 表示集合有两个公共元素，即； 同理：， 所以随机变量X的分布列为： 3 4 5 6 【小问2详解】 方法一：令，则， ， 服从两点分布，所以，其中，， 故， 方法二：令，， 则， 令，问题等价于集合确定个元素后，集合从个元素中任取个元素，其中包含集合中元素个数为，显然服从超几何分布． ，，其中， ， 所以 ； 方法三：随机变量的值为：（）， 表示集合与相等，即 ； 表示集合与有 个公共元素，即； 同理：， 所以随机变量的分布列为：（） X … … P … … 所以：， ， 因，,故 . 19. 已知函数，，记，为自然对数的底数． （1）若为增函数，求实数的最小值； （2）若有三个零点，，． （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）求证：． 【答案】（1） （2） （ⅰ） （ⅱ）法一：因为， 故，又，有唯一的正零点，所以， 由，得， 故， ， 又，，故，，故① 令，，单调递减， 所以，于是，即有② 由①②得，即有，证毕！ 法二： 由，得，， ， 故， 同理，设， ，令， ，故单调递增，又， 于是当时，，，单调递减； 当时，，，单调递增． 由洛必达法则得， 所以， 令， 当时，因，，，故，单调递减； 当时，，令， ，在单调递减， ，又，故； ，故． 所以，在单调递减． 又，故， 即，故得证！ 法三： ， 由，得，， ， 故 ， 同理， 令， ，故在和单调递增． 又由洛必达法则得，，， 因，故， ，所以， 因，故，， 所以，所以，故得证！ 【解析】 【分析】（1）方法一：求导研究单调性，求出最小值，令最小值大于等于 0 解参数范围；方法二：参变分离，构造新函数求最小值，转化为恒成立求参数；（2）（i）方法一：分析导函数零点得到原函数单调性，结合零点存在定理判断零点个数；方法二：分离参数构造函数，研究新函数单调性、极限，利用方程解的个数判定零点；（ii）方法一：挖掘与关系式得到，构造辅助函数，利用不等式放缩完成证明；方法二： 等价变形待证不等式，构造函数，研究单调性，比较与大小；方法三：代入零点条件化简代数式，构造，利用函数值域分别得到两边的范围，直接比较大小. 【小问1详解】 ，因为为增函数，所以对任意实数恒成立． 法一：令，得， 故在单调递减，在单调递增， ，解得． 所以，实数a的最小值为． 法二： ，令， ，故在单调递减，在单调递增， ，得．所以，实数a的最小值为. 【小问2详解】 （i）：法一：由 (1) 知在单调递减，在单调递增. 若, 由 (1) 知为增函数，至多只有一个零点，不符合题意； 若, 则,, ,;,, 故存在和, 使得, 且时，,单调递增；时，,单调递减；时，,单调递增. 又, 故,,,;,, 所以存在,, 使得. 综上知，当时，有三个零点, 且. 法二：因为, 所以有一个零点为 0 ， 当时，，记， 令，，故单调递增， 又，于是当时，，，单调递减； 当时，，，单调递增, 由洛必达法则得，，，， 当时，方程没有解，不符合题意； 当时，方程在和各有一个实数解和. 综上知，当时，有三个零点，且. （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆南开中学高2027届高三年级质量检测（一） 数学试题 注意事项： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求） 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设函数，则（ ） A. B. C. D. 3. 下列函数为偶函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 某地区2021至2025年农村家庭人均纯收入（单位：万元）的数据如下表： 年份 2021 2022 2023 2024 2025 年份代号 1 2 3 4 5 人均纯收入 2.9 3.3 4.5 4.8 据此求得关于的线性回归方程为，则上表中实数的值为（ ） A. 3.4 B. 3.5 C. 3.6 D. 3.7 5. 设双曲线（，）的左焦点到两条渐近线的距离之和为，为该双曲线的半焦距，若，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 若，，，且，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知函数（，）的图像关于点对称，则（ ） A. 1 B. C. 3 D. 8. 设定义在上的可导函数的导函数为，且满足，，若不等式有且只有一个整数解，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分） 9. 已知实数满足，则函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 10. 已知袋中有4个小球，其中个红球，个黑球，这些球除颜色外没有其他差异．记，，且，，，，是公差为的等差数列．现每次从袋中不放回地随机取一个球观察颜色，记事件为“前两次取到的小球均是黑球”，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，直线与曲线相切于不同两点和，则下列说法正确的有（ ） A. 当时，的单调递增区间为 B. 的值可以为0 C. 若的导函数的图象关于点对称，则，，成等差数列 D. 直线的斜率为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 记的展开式的二项式系数和为，的展开式各项系数和为，则______． 13. 定义在上的函数满足：①，②，，．则______． 14. 已知实数、满足且，则的最小值为______． 四、解答题（本大题共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 如图所示，在直三棱柱中，为棱的中点，，． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 16. 已知，． （1）当时，求在区间上的最值； （2）若在处取得极大值，求实数的取值范围． 17. 已知椭圆：的离心率为且经过点． （1）求椭圆的标准方程； （2）斜率为1的直线与椭圆交于异于的两点、，设直线、的斜率分别为、，请写出与之间的等量关系，并证明你的结论． 18. 已知全集，中有个元素，、为全集的任意元子集，设集合所含元素个数为． （1）当，时 ①求的概率； ②求随机变量的分布列； （2）求随机变量的期望．（结果用，表示） 19. 已知函数，，记，为自然对数的底数． （1）若为增函数，求实数的最小值； （2）若有三个零点，，． （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $